2024-2025学年度北师版九上数学4.4探索三角形相似的条件(第二课时)【课外培优课件】
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∴△ BGF ∽△ CGE .
∴ ＝ .∴ ＝ .
又∵∠ FGE ＝∠ BGC ，
∴△ FGE ∽△ BGC .
∴ ＝ .
∴ EF ·CG ＝ EG ·CB .
数学 九年级上册 BS版
12. （选做）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝ BC ，
数学 九年级上册 BS版
演示完毕
谢谢观看
B. ＝
C. ∠ AED ＝∠ B
D. ∠ ADE ＝∠ C
（第1题图）
数学 九年级上册 BS版
2. 如图，下面能判定△ ACD ∽△ ABC 的条件是（ C ）
A. ＝
B. ＝
C. AC2＝ AB ·AD
D. CD2＝ AD ·AB
（第2题图）
数学 九年级上册 BS版
OA ＝ AB ＝ BC ＝ CD . 现有下列结论：①△ AOB ∽△ BOD ；②
△ BOC ∽△ BDO ；③△ COD ∽△ BDO . 其中成立的有 ②
（填序号）.
数学 九年级上册 BS版
7.
如图，在△ ABC 与△ ADE 中，已知 ＝ ，且∠ EAC ＝∠
DAB . 求证：△ ABC ∽△ ADE .
∴ ＝ 2 ，∠ BAC ＝45°.∵点 Q 是正方形 APEF 的中心，∴
＝ 2 ，∠ PAQ ＝45°.∴∠ BAP ＋∠ PAC ＝∠ PAC ＋∠ CAQ .
∴∠ BAP ＝∠ CAQ . 又∵ ＝ ，∴△ ABP ∽△ ACQ . ∴ ＝
＝
2
∴△ ABD ∽△ ACE .
数学 九年级上册 BS版
（2）如图2，当α＝45°时，点 E 在 AB 的延长线上，延长 DB 交
CE 于点 F ，求∠ DFE 的度数；
数学 九年级上册 BS版
（2）解：如图1.∵在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝ BC ，
∴∠ ABC 纸片中，已知∠ C ＝90°， BC ＝5， AC ＝7，
将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的
是（ D ）
数学 九年级上册 BS版
4.
如图，已知 ＝ ，请你再补充一个条件：
∠ BAC ＝
∠ DAE （或∠ CAE ＝∠ BAD ），使得△ ABC ∽△ ADE .
将△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转α得到△ ADE ，连接 BD ，
CE .
数学 九年级上册 BS版
（1）如图1，当0°＜α＜45°时，求证：△ ABD ∽△ ACE ；
（1）证明：由旋转的性质可知， AD ＝ AB ， AE ＝ AC ，∠ BAD
＝∠ CAE ，∴ ＝ .
∴∠1＝∠2，∠1＋∠4＝90°，
∠2＋∠3＝180°－∠ ABC ＝90°.∴∠4＝∠3.
∴△ DEM ≌△ BCN . ∴ EM ＝ CN .
∠5 = ∠6，
在△ FME 和△ FNC 中，ቐ∠＝∠，
图2
＝，
∴△ FEM ≌△ FCN （AAS）.∴ EF ＝ CF .
∴点 F 是线段 CE 的中点.
点 F 是线段 CE 的中点.
数学 九年级上册 BS版
（3）证明：如图2，过点 E 作 EM ⊥ DF 于点 M ，过点 C 作 CN ⊥
DF ，交 DF 的延长线于点 N ，则∠ DME ＝∠ EMF ＝∠ BNC ＝90°.
由旋转的性质可知， DE ＝ BC ， AD ＝ AB ，
∠ ADE ＝∠ ABC ＝90°，
∴△ GCD ∽△ GEC .
∴∠ GDC ＝∠ GCE .
∵ AB ∥ CD ，∴∠ ABD ＝∠ BDC .
∴∠ ACF ＝∠ ABD .
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（2）连接 EF ，求证： EF ·CG ＝ EG ·CB .
证明：（2）∵∠ ABD ＝∠ ACF ，∠ BGF ＝∠ CGE ，
（第4题图）
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5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ B ＝∠ ACD ， AB ＝6， BC
＝4， AC ＝5， CD ＝7.5，则 AD ＝
6.25 .
（第5题图）
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6. 如图，在Rt△ OAD 中，∠ A ＝90°，点 B ， C 在边 AD 上，且
证明：∵∠ EAC ＝∠ DAB ，
∴∠ EAC ＋∠ BAE ＝∠ DAB ＋∠ BAE ，
即∠ BAC ＝∠ DAE .
又∵ ＝ ，
∴△ ABC ∽△ ADE .
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8. 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 P 在边 BC 上，点 Q 为边 DC
的中点， BP ＝3 PC . 求证：△ CPQ ∽△ DQA .
11. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∥ CD ，对角线 AC ， BD
相交于点 E ，点 F 在边 AB 上，连接 CF ，交线段 BE 于点 G ，且
CG2＝ GE ·GD .
（1）求证：∠ ACF ＝∠ ABD ；
2
证明：（1）∵ CG ＝ GE ·GD ，∴ ＝ .
又∵∠ CGD ＝∠ EGC ，
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ BC ＝ CD ＝ AD ，∠ C ＝∠ D ＝90°.
∵点 Q 为 DC 的中点，
1
1
∴ CQ ＝ DQ ＝ CD ＝ AD .
2
2
1
1
∵ BP ＝3 PC ，∴ CP ＝ CB ＝ CD .
4
4
1
1
∴ CP ＝ DQ . ∴ ＝ ＝ .
2
2
由旋转的性质可知， AD ＝ AB ， AE ＝ AC ，∠ DAE ＝∠ BAC ＝
45°，
∴∠1＝∠2＝67.5°，∠3＝∠ ACE ＝67.5°.
∴∠4＝∠2＝67.5°.
∴∠ BFE ＝180°－∠3－∠4＝45°.
图1
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（3）如图3，当45°＜α＜90°时，延长 DB 交 CE 于点 F ，求证：
又∵∠ C ＝∠ D ，∴△ CPQ ∽△ DQA .
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9. 如图，已知点 A ， B ， C ， D ， E ， F ， G ， H ， K 都是7×8
方格纸中的格点，为使△ DEM ∽△ ABC 成立，则点 M 应是 F ，
G ， H ， K 四点中的点
H
.
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10. 如图，在正方形 ADBC 中，已知点 P 是边 BC 上一点，以 AP
为边作正方形 APEF ，点 Q 是正方形 APEF 的中心，连接 CQ . 若
正方形 APEF 的边长为5， CQ ＝
为 4 .
2
，则正方形 ADBC 的边长
2
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【解析】如答图，连接 AB ， AQ . ∵四边形 ADBC 是正方形，
，∴ BP ＝1.设 PC ＝ x ，则 AC ＝ BC ＝1＋ x .
2
2
2
2
2
2
2
2 .∵ CQ ＝
在Rt△ APC 中， AP ＝ AC ＋ PC ，即5 ＝ 1＋ ＋ x ，解得 x1
＝－4（不合题意，舍去）， x2＝3，∴正方形 ADBC 的边长为3
＋1＝4.故答案为4.
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第四章
4
图形的相似
探索三角形相似的条件(第二课时)
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1. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上， DE
与 BC 不平行，添加下列条件之一仍不能判定△ ADE ∽△ ACB
的是（ B ）
A. ＝
∴ ＝ .∴ ＝ .
又∵∠ FGE ＝∠ BGC ，
∴△ FGE ∽△ BGC .
∴ ＝ .
∴ EF ·CG ＝ EG ·CB .
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12. （选做）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝ BC ，
数学 九年级上册 BS版
演示完毕
谢谢观看
B. ＝
C. ∠ AED ＝∠ B
D. ∠ ADE ＝∠ C
（第1题图）
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2. 如图，下面能判定△ ACD ∽△ ABC 的条件是（ C ）
A. ＝
B. ＝
C. AC2＝ AB ·AD
D. CD2＝ AD ·AB
（第2题图）
数学 九年级上册 BS版
OA ＝ AB ＝ BC ＝ CD . 现有下列结论：①△ AOB ∽△ BOD ；②
△ BOC ∽△ BDO ；③△ COD ∽△ BDO . 其中成立的有 ②
（填序号）.
数学 九年级上册 BS版
7.
如图，在△ ABC 与△ ADE 中，已知 ＝ ，且∠ EAC ＝∠
DAB . 求证：△ ABC ∽△ ADE .
∴ ＝ 2 ，∠ BAC ＝45°.∵点 Q 是正方形 APEF 的中心，∴
＝ 2 ，∠ PAQ ＝45°.∴∠ BAP ＋∠ PAC ＝∠ PAC ＋∠ CAQ .
∴∠ BAP ＝∠ CAQ . 又∵ ＝ ，∴△ ABP ∽△ ACQ . ∴ ＝
＝
2
∴△ ABD ∽△ ACE .
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（2）如图2，当α＝45°时，点 E 在 AB 的延长线上，延长 DB 交
CE 于点 F ，求∠ DFE 的度数；
数学 九年级上册 BS版
（2）解：如图1.∵在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝ BC ，
∴∠ ABC 纸片中，已知∠ C ＝90°， BC ＝5， AC ＝7，
将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的
是（ D ）
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4.
如图，已知 ＝ ，请你再补充一个条件：
∠ BAC ＝
∠ DAE （或∠ CAE ＝∠ BAD ），使得△ ABC ∽△ ADE .
将△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转α得到△ ADE ，连接 BD ，
CE .
数学 九年级上册 BS版
（1）如图1，当0°＜α＜45°时，求证：△ ABD ∽△ ACE ；
（1）证明：由旋转的性质可知， AD ＝ AB ， AE ＝ AC ，∠ BAD
＝∠ CAE ，∴ ＝ .
∴∠1＝∠2，∠1＋∠4＝90°，
∠2＋∠3＝180°－∠ ABC ＝90°.∴∠4＝∠3.
∴△ DEM ≌△ BCN . ∴ EM ＝ CN .
∠5 = ∠6，
在△ FME 和△ FNC 中，ቐ∠＝∠，
图2
＝，
∴△ FEM ≌△ FCN （AAS）.∴ EF ＝ CF .
∴点 F 是线段 CE 的中点.
点 F 是线段 CE 的中点.
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（3）证明：如图2，过点 E 作 EM ⊥ DF 于点 M ，过点 C 作 CN ⊥
DF ，交 DF 的延长线于点 N ，则∠ DME ＝∠ EMF ＝∠ BNC ＝90°.
由旋转的性质可知， DE ＝ BC ， AD ＝ AB ，
∠ ADE ＝∠ ABC ＝90°，
∴△ GCD ∽△ GEC .
∴∠ GDC ＝∠ GCE .
∵ AB ∥ CD ，∴∠ ABD ＝∠ BDC .
∴∠ ACF ＝∠ ABD .
数学 九年级上册 BS版
（2）连接 EF ，求证： EF ·CG ＝ EG ·CB .
证明：（2）∵∠ ABD ＝∠ ACF ，∠ BGF ＝∠ CGE ，
（第4题图）
数学 九年级上册 BS版
5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ B ＝∠ ACD ， AB ＝6， BC
＝4， AC ＝5， CD ＝7.5，则 AD ＝
6.25 .
（第5题图）
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6. 如图，在Rt△ OAD 中，∠ A ＝90°，点 B ， C 在边 AD 上，且
证明：∵∠ EAC ＝∠ DAB ，
∴∠ EAC ＋∠ BAE ＝∠ DAB ＋∠ BAE ，
即∠ BAC ＝∠ DAE .
又∵ ＝ ，
∴△ ABC ∽△ ADE .
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8. 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 P 在边 BC 上，点 Q 为边 DC
的中点， BP ＝3 PC . 求证：△ CPQ ∽△ DQA .
11. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∥ CD ，对角线 AC ， BD
相交于点 E ，点 F 在边 AB 上，连接 CF ，交线段 BE 于点 G ，且
CG2＝ GE ·GD .
（1）求证：∠ ACF ＝∠ ABD ；
2
证明：（1）∵ CG ＝ GE ·GD ，∴ ＝ .
又∵∠ CGD ＝∠ EGC ，
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ BC ＝ CD ＝ AD ，∠ C ＝∠ D ＝90°.
∵点 Q 为 DC 的中点，
1
1
∴ CQ ＝ DQ ＝ CD ＝ AD .
2
2
1
1
∵ BP ＝3 PC ，∴ CP ＝ CB ＝ CD .
4
4
1
1
∴ CP ＝ DQ . ∴ ＝ ＝ .
2
2
由旋转的性质可知， AD ＝ AB ， AE ＝ AC ，∠ DAE ＝∠ BAC ＝
45°，
∴∠1＝∠2＝67.5°，∠3＝∠ ACE ＝67.5°.
∴∠4＝∠2＝67.5°.
∴∠ BFE ＝180°－∠3－∠4＝45°.
图1
数学 九年级上册 BS版
（3）如图3，当45°＜α＜90°时，延长 DB 交 CE 于点 F ，求证：
又∵∠ C ＝∠ D ，∴△ CPQ ∽△ DQA .
数学 九年级上册 BS版
9. 如图，已知点 A ， B ， C ， D ， E ， F ， G ， H ， K 都是7×8
方格纸中的格点，为使△ DEM ∽△ ABC 成立，则点 M 应是 F ，
G ， H ， K 四点中的点
H
.
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10. 如图，在正方形 ADBC 中，已知点 P 是边 BC 上一点，以 AP
为边作正方形 APEF ，点 Q 是正方形 APEF 的中心，连接 CQ . 若
正方形 APEF 的边长为5， CQ ＝
为 4 .
2
，则正方形 ADBC 的边长
2
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【解析】如答图，连接 AB ， AQ . ∵四边形 ADBC 是正方形，
，∴ BP ＝1.设 PC ＝ x ，则 AC ＝ BC ＝1＋ x .
2
2
2
2
2
2
2
2 .∵ CQ ＝
在Rt△ APC 中， AP ＝ AC ＋ PC ，即5 ＝ 1＋ ＋ x ，解得 x1
＝－4（不合题意，舍去）， x2＝3，∴正方形 ADBC 的边长为3
＋1＝4.故答案为4.
数学 九年级上册 BS版
数学 九年级上册 BS版
第四章
4
图形的相似
探索三角形相似的条件(第二课时)
数学 九年级上册 BS版
1. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上， DE
与 BC 不平行，添加下列条件之一仍不能判定△ ADE ∽△ ACB
的是（ B ）
A. ＝