高考数学压轴专题徐州备战高考《三角函数与解三角形》经典测试题含解析

【最新】数学复习题《三角函数与解三角形》专题解析(2)
一、选择题
1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛
⎫=++<< ⎪+++-⎝
⎭的最小值为
（ ） A
B
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】
2
2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos
1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x +++-+++=
++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x
x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=
+=⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛
⎫=
+<< ⎪⎝
⎭， 322222
21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '
'
'
--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 令()cos 0,1t x =∈，()
32
61g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 所以当03
x π
<<时，
()1
1,02
t g t <<<，从而()'0f x <； 当
3
2
x π
π
<<
时，()1
0,02
t g t <<
>，从而()'0f x >. 故(
)min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ）
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．锐角三角形
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】
根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：
sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，
即有sin sin a A c C =，
又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．
3．函数()[]()
cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．
53
π B ．2π
C ．
76
π D ．π
【答案】B 【解析】 【分析】
根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】
令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1
sin 2
x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-
或32x π=或6x π=或56
x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522
266
s π
πππ
π=-+
++=，故选B. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
4．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2cos cos b C c B =，则
111
tan tan tan A B C
++的最小值为（ ）
A．27
3
B．5C．
7
3
D
．25
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据已知条件，把边化成角得到B,C关系式，结合均值定理可求.
【详解】
∵2cos cos
b C
c B
=，∴2sin cos sinCcos
B C B
=，
∴tan2tan
C B
=.又A B Cπ
++=，
∴
()()
tan tan tan
A B C B C
π
=-+=-+
⎡⎤
⎣⎦
22
tan tan3tan3tan
1tan tan12tan2tan1
B C B B
B C B B
+
=-=-=
---
，
∴
2
1112tan111
tan tan tan3tan tan2tan
B
A B C B B B
-
++=++
27
tan
36tan
B
B
=+.
又∵在锐角ABC
∆中, tan0
B>,∴
272727
tan2tan
36tan36tan
B B
B B
+≥⨯=，当且仅当
7
tan B=时取等号，
∴
min
11127
tan tan tan3
A B C
⎛⎫
++=
⎪
⎝⎭
，故选A.
【点睛】
本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.
5．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.
由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'
2357︒'
2413︒'
2428︒'
2444︒'
正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代
公元元年
公元前2000年
公元前4000年
公元前6000年
公元前8000年
根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年
【答案】D 【解析】 【分析】
先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】
解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：
则16tan 1.610α=
=，169.4tan 0.6610
β-==， tan tan 1.60.66
tan()0.4571tan tan 1 1.60.66
αβαβαβ---=
=≈++⨯g ．
0.4550.4570.461<<Q ，
∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．
故选：D ． 【点睛】
本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．
6．设函数f (x )=cos (x +
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π
B ．y=f(x)的图像关于直线x=
83
π
对称
C ．f(x+π)的一个零点为x=6
π D ．f(x)在(
2
π
,π)单调递减 【答案】D 【解析】
f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝－cos 2π＝
0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.
7．要得到函数y ＝sin （2x +9π）的图象，只需将函数y ＝cos （2x ﹣9
π
）的图象上所有点（ ） A ．向左平移518
π
个单位长度 B ．向右平移518
π
个单位长度 C ．向左平移536
π
个单位长度 D ．向右平移
536
π
个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】
先将函数cos 29y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
转化为7sin 218
y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再结合两函数解析式进行对比，得出结论． 【详解】 函数75cos 2sin 2sin 2sin 299218369y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-
=-+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦ ∴要得到函数sin 29y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，
只需将函数cos 29y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象上所有点向右平移
536
π
个单位长度，故选D ． 【点睛】
本题考查函数()sin y A x b ωϕ=++的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论．
8．将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关
于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）
A ．()sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．()sin 2π6f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
C ．()sin 4π6f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．()sin 4π6f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意利用函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由
12f πω⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得()f x 的解析式．
【详解】
解：将函数()()sin (0,)2
f x x π
ωφωφ=+><
的图象向右平移
6
π
个单位长度后，可得sin 6y x ωπωφ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
的图象；
∵所得图象关于y 轴对称，∴6
2
k ωπ
π
φπ-+=+
，k Z ∈．
∵()1sin sin 2f ππφφω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭
，即1sin 2φ=，26ππφφ<=，. ∴63
k ωπ
π
π-
=+
，620k ω=-->, 则当ω取最小值时，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 46f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. 故选C ． 【点睛】
本题主要考查函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．
9．已知函数()3cos(
2)2
f x x π
=+，若对于任意的x ∈R ，都有12()()()f x f x f x 剟
成立，则12x x -的最小值为（ ）
A ．4
B ．1
C ．
12
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意得出()f x 的一个最大值为()2f x ，一个最小值为()1f x ，于此得出12x x -的最小值为函数()y f x =的半个周期，于此得出答案． 【详解】
对任意的x ∈R ，()()()12f x f x f x 剟
成立. 所以()()2min 3f x f x ==-，()()2max 3f x f x ==，所以12min
22
T
x x -=
=，故选D ． 【点睛】
本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．
10．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（ ）
A ．(0,
]4
π B ．(0,]2
π
C ．3(0,
]4
π D ．3(0,
]2
π 【答案】B 【解析】 【分析】
根据直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到1
2
ω=
，则()1
tan 2
4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后求得其单调增区间，再根据()f x 在()(),0m m m ->上是增
函数，由(,)m m -是增区间的子集求解. 【详解】
因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期， 所以12ω=，()1
tan 2
4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
由12
242k x k π
ππππ-
<
+<+，得322()22k x k k ππ
ππ-<<+∈Z ， 所以()f x 在3,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上是增函数，
由3(,),22m m ππ⎛⎫
-⊆- ⎪⎝
⎭， 解得02
m π
<≤.
故选：B 【点睛】
本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题
11．已知2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 14πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．5
3-
B ．35
-
C ．
35
D ．
53
【答案】B 【解析】 【分析】
根据诱导公式计算得到35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan tan 147
2πππαα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得
答案. 【详解】
由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦， 又2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得333sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，313tan tan 314725tan 7πππααπα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪
⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪
⎝⎭
. 故选：B . 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.
12．函数()2
2sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦的值域为（ ） A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．50,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】A 【解析】 【分析】
化简得到()2
3sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】
根据2
2
sin cos 1x x +=，得()2
3sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
， 令sin t x =，由2,36x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦，得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
， 故[]0,1t ∈，有2
321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13
t =
， 当1
3t =
时，最大值43
y =；当1t =时，最小值0y =， 综上，函数()f x 的值域为40,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 故选：A . 【点睛】
本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.
13．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若
121
cos 4
F MF ∠=
,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A
．y = B
．3
y x =±
C ．y x =±
D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】
Q 双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 1212
22MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:
∴ 1212
122
2
122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅
可得:2
2
2
1
(2)(4)(2)2424
c a a a a =+-⋅⋅⋅
化简可得:2c a =
由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-=
可得:b =
Q 双曲线渐近线方程为:b y x a
=±
则双曲线渐近线方程为: y = 故选:A. 【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.
14．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称，则()f x 的最大值为（ ）
A ．2
B
C ．
D 或【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数2
()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称，则有()(0)2
f f π
-=，解得a ，得到函数再求最值. 【详解】
因为函数2
()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称， 所以()(0)2f f π
-=，
即220a a +-=， 解得2a =-或1a =，
当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫
=--=-
⎪⎝
⎭
，此时()f x 的最大值为
；
当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛
⎫=+-=- ⎪⎝
⎭，此时()f x ；
综上()f x 或. 故选：D 【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
15．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos a B b A C +=
，
1a =，b =c =（ ）
A
B ．1
C
D 【答案】B
【解析】
【分析】
先由正弦定理将cos cos a B b A +=中的边转化为角，可得sin()A B +=可求出角6C π=
，再利用余弦定理可求得结果. 【详解】
解：因为cos cos 2cos a B b A C
+=，
所以正弦定理得，sin cos sin cos A B B A +=
所以sin()A B +=sin 2cos C C C
=，
因为sin 0C ≠，所以cos C =， 又因为(0,)C π∈，所以6C π=
，
因为1a =，b =
所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c =
故选：B
【点睛】
此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.
16．函数()sin())f x x x ωϕωϕ=+++（ω＞0）的图像过点（1，2），若f （x ）相邻的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝6，则f （x ）的单调增区间为（ ）
A ．[－2＋12k ，4＋12k]（k ∈Z ）
B ．[－5＋12k ，1＋12k]（k ∈Z ）
C ．[1＋12k ，7＋12k]（k ∈Z ）
D ．[－2＋6k ，1＋6k]（k ∈Z ）
【答案】B
【解析】
由题意得()23f x sin x πωϕ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，根据相邻两个零点满足126x x -=得到周期为12T =，于是可得6
π=
ω．再根据函数图象过点()1,2求出2()k k Z ϕπ=∈，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间．
【详解】
由题意得()()()23f x sin x x sin x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++=++
⎪⎝⎭， ∵()f x 相邻的两个零点1x ，2x 满足126x x -=，
∴函数()f x 的周期为12T =， ∴6
π=ω， ∴()26
3f x sin x ππϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 又函数图象过点()1,2， ∴2222632sin sin cos πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴cos 1ϕ=，
∴2()k k Z ϕπ=∈，
∴()263f x sin x ππ⎛⎫=+
⎪⎝⎭． 由22,2632
k x k k Z ππππππ-+≤+≤
+∈， 得512112,k x k k Z -+≤≤+∈， ∴()f x 的单调增区间为[]
()512,112k k k Z -++∈．
故选B ．
【点睛】
解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，属于基础题．
17．已知向量m =r (1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r ，且m r ⊥n r
，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ）
A ．12
B ．2
C ．
D ．﹣2 【答案】B
【解析】
根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ
+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案.
【详解】 因为向量m =r (1，cosθ)，n =r (sinθ，﹣2)， 所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r 因为m r ⊥n r ，
所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，
所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141
sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B.
【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
18．化简21sin 352sin 20︒︒-
=（ ）
A ．12
B ．12-
C ．1-
D ．1
【答案】B
【解析】
【分析】
利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.
【详解】 依题意，原式1cos7011cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202
--==-⨯=-⨯=-o o o o o o ，故选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.
19．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论：
①()f x 是奇函数；
②()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增； ③π是()f x 的周期；
④()f x 的最大值为2.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】C
【解析】
【分析】
计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案.
【详解】 ()()()sin tan cos tan f x x x =-，
()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，
所以()f x 为非奇非偶函数，①错误； 当0,4x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，令tan t x =，()0,1t ∈， 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则， 当0,4x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,
4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=， 所以π是()f x 的周期，所以③正确；
假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22a k π
π=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于
2，所以④错误.
故选：C .
【点睛】
本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
20．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③ B ．①③④ C ．②④ D ．①③
【答案】A
【解析】
逐一考查所给的函数：
cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22
T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122
ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的最小正周期为22T ππ== ； 函数tan 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22T π
π
== ；
综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③.
本题选择A 选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．。