【专业资料】新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 习题课1 含解析

习题课(一) 求数列的通项公式
课时过关·能力提升
基础巩固
1在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为( ).
A.2
B.6
C.7
D.8
解析:1+2+3+4+…+n =n (n+1)
2
,当n=6时,共21项,故第25项为7.
答案:C
2在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=3a n +2,则a 2 016的值为( ). A.32 015 B.32 015-1 C.32 016 D.32 016-1
答案:D
3数列17,29,3
11,4
13,…的一个通项公式是( ). A.a n =n
2n+3B.an =n
2n -3 C.a n =
n
2n+5
D.an =
n 2n -5
答案:C
4已知数列{a n }满足a n+2=a n+1+a n ,若a 1=1,a 5=8,则a 3等于( ). A.1
B.2
C.3
D .7
2
解析:由a n+2=a n+1+a n ,a 1=1,a 5=8,得a 3=a 2+1,a 4=a 3+a 2,消去a 2得a 4=2a 3-1.又a 5=a 4+a 3=8,即8=3a 3-1,所以a 3=3.故选C . 答案:C
5已知数列前n 项和S n =2n 2-3n+1,n ∈N *,则它的通项公式为 . 解析:当n=1时,a 1=S 1=0;
当n ≥2时,a n =S n -S n-1
=2n 2-3n+1-[2(n-1)2-3(n-1)+1]=4n-5, 故a n ={0,n =1,
4n -5,n ≥2.
答案:a n ={0,n =1,
4n -5,n ≥2
6在数列{a n }中,a 1=1,a 2=5,a n+2=a n+1-a n (n ∈N *),则a 2 016= . 解析:∵a 1=1,a 2=5,a n+2=a n+1-a n ,
∴a 1=1,a 2=5,a 3=4,a 4=-1,a 5=-5,a 6=-4,a 7=1,a 8=5. ∴数列{a n }是周期数列,周期为6. ∴a 2016=a 6×336=a 6=-4.
答案:-4
7在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +n+1,则通项a n = . 解析:∵a n+1=a n +n+1,∴a n+1-a n =n+1.
∴a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,…,a n -a n-1=n ,各式相加得a n -a 1=2+3+4+…+n =
(n+2)(n -1)
2
. 又a 1=2,∴a n =
(n+2)(n -1)
2
+2=
n 2+n+2
2
. 答案:n 2+n+22
8已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足log 2(S n +1)=n+1,则a n = . 解析:∵log 2(S n +1)=n+1,∴S n =2n+1-1.
当n=1时,a 1=S 1=3;
当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n+1-2n =2n .
∵当n=1时,上式不满足, ∴a n ={
3,n =1,
2n ,n ≥2.
答案:{3,n =1,2n ,n ≥2
9根据下列条件,求数列的通项公式a n . (1)在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=a n +2n ; (2)在数列{a n }中,a n+1=n+2
n ·a n ,a 1=4. 解(1)∵a n+1=a n +2n ,
∴a n+1-a n =2n .
∴a 2-a 1=2,a 3-a 2=22,a 4-a 3=23,…,
a n -a n-1=2n-1,以上各式两边分别相加得 a n -a 1
=2+22+23+…+2n-1=
2(1-2n -1)
1-2
=2n −2.
又a 1=1,∴a n =2n -2+1=2n -1.
(2)∵a n+1=
n+2n ·a n ,∴a
n+1a n
=
n+2
n
. ∴
a 2a 1=31,a 3a 2=42,a 4a 3=53,a 5a 4=64,…,a n a n -1=n +1n -1
. 以上各式两边分别相乘得
a n a 1=n (n +1)1×2=n (n +1)
2
. 又a 1=4,∴a n =2n (n+1).
10已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=1
3,anbn +1+bn +1=nbn. (1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和.
解(1)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=1
3
,得a 1=2.
所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.
(2)由(1)和a n b n+1+b n+1=nb n 得b n+1=b
n
3,
因此{b n }是首项为1,公比为1
3的等比数列. 记{b n }的前n 项和为S n , 则S n =
1-(13)n
1-13=32−
12×3n -1
.
能力提升
1在数列{a n }中,a n+1=a
n
1+3a n
,a1=2,则a4等于( ).
A .
165B.219C.85D.87
答案:B
2已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n ,则a 2+a 18等于 ( ).
A.36
B.35
C.34
D.33
解析:a 2+a 18=S 2-S 1+S 18-S 17=(22-2×2)-(12-2×1)+(182-2×18)-(172-2×17)=34.
答案:C
3已知n ∈N *
,给出4个表达式:①a n ={
0,n 为奇数,1,n 为偶数,
②an =1+(-1)n
2
,③an =
1+cosnπ
2
,④an =
|sin nπ
2|.其中能作为数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是( ).
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
解析:经检验知①②③都是所给数列的通项公式,故选A.
答案:A
4已知在数列{a n}中,a1=1,(2n+1)a n=(2n-3)a n-1(n≥2),则数列{a n}的通项公式为. 解析:由(2n+1)a n=(2n-3)a n-1,
可得a n
a n-1=2n-3
2n+1
(n≥2),
所以a2
a1=1
5
,a3
a2
=3
7
,a4
a3
=5
9
,a5
a4
=7
11
,…,a n
a n-1
=2n-3
2n+1
(n≥2).
上述各式左右两边分别相乘得a n
a1
=1×3
(2n-1)(2n+1)
(n≥2),故a n=3
(2n-1)(2n+1)
(n≥2).
又a1=1满足上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=3
(2n-1)(2n+1)
(n∈N*).
答案:a n=3
(2n-1)(2n+1)
★5若数列{a n}满足a1=2
3
,a2=2,3(an+1−2an+an−1)=2,则数列{an}的通项公式为.
解析:由3(a n+1-2a n+a n-1)=2可得a n+1-2a n+a n-1=2
3,即(a n+1-a n)-(a n-a n-1)=2
3
,
所以数列{a n+1-a n}是以a2-a1=4
3为首项,2
3
为公差的等差数列,
所以a n+1-a n=4
3+2
3
(n−1)=2
3
(n+1).
故a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)
=a1+2
3(2+3+⋯+n)=1
3
n(n+1).
答案:a n=1
3
n(n+1)
6已知在数列{a n}中,a n+1=2a n+3·2n+1,且a1=2,则数列{a n}的通项公式为. 解析:∵a n+1=2a n+3·2n+1,
∴a n+1
2n+1
=
a n
2n+3,即
a n+1
2n+1
−
a n
2n=3.
∴数列{a n
2n
}是公差为3的等差数列.
又a1
2=1,∴
a n
2n
=1+3(n−1),
∴a n =(3n-2)·2n .
答案:a n =(3n-2)·2n
7已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1. (1)证明{a n +1
2}是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)证明
1a 1+1
a 2
+⋯+
1a n
<32
.
(1)解由a n+1=3a n +1,得a n+1+1
2=3(a n +1
2).
又a 1+12
=32
,所以{a n +12
}是首项为32
,公比为3的等比数列.
a n +12
=
3n 2
,因此{a n }的通项公式为a n =3n -12. (2)证明由(1)知1
a n
=
23n
-1
. 因为当n ≥1时,3n -1≥2×3n-1, 所以13n
-1
≤
12×3n -1
.
于是
1a 1+1
a 2
+⋯+
1a n ≤1+13+⋯+13
n -1 =
32(1-13
n )<3
2. 所以1
a 1+1
a 2
+⋯+1
a n <3
2.
★
8设数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =4a n -3(n=1,2,…).
(1)证明:数列{a n }是等比数列;
(2)若数列{b n }满足b n+1=a n +b n (n=1,2,…),b 1=2,求数列{b n }的通项公式. (1)证明因为S n =4a n -3(n=1,2,…),
所以S n-1=4a n-1-3(n=2,3,…), 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4a n -4a n-1, 整理,得a n
a
n -1
=4
3.
由S n =4a n -3,令n=1,得a 1=4a 1-3,解得a 1=1. 所以数列{a n }是首项为1,公比为4
3的等比数列. (2)解由(1)得a n =
(43)n -1
,
由b n+1=a n +b n (n=1,2,…), 得b n+1-b n =
(43)n -1.
则b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n-1) =2+1-(43)n -11-4
3
=3×(43)
n -1
−1.。