2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何课时作业18空间向量运算的坐标表示含解析人教A版选修2_1

课时作业18 空间向量运算的坐标表示
[基础巩固]
一、选择题
1．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( )
A ．(2，－4,2)
B ．(－2,4，－2)
C ．(－2,0，－2)
D ．(2,1，－3)
2．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25
AB →，则C 的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－45，－85 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫65
，－45，－85 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－45，85 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫65，45，85 3．已知A 点的坐标是(－1，－2,6)，B 点的坐标是(1,2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA
→与OB →的夹角是( )
A ．0 B.π2
C ．π D.3π2
4．已知向量a ＝(2，λ，3)，b ＝(－4,2，μ)，若a 与b 共线，则λ＋μ的值为( )
A ．－7
B ．7
C.17 D ．－17
5．已知向量a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)．下列结论正确的是( )
A ．a ∥b ，a ∥c
B ．a ∥b ，a ⊥c
C ．a ∥c ，a ⊥b
D ．以上都不对
二、填空题
6．已知A (1,5，－2)，B (2,4,4)，C (a,3，b ＋2)，如果A 、B 、C 三点共线，则a ＋b ＝________.
7．已知向量a ＝(3,4,2)，b ＝(2，－1,0)，当λ1a ＋λ2b 与a 垂直时，λ1、λ2满足的关系式为________．
8．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________.
三、解答题
9．已知空间四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，
－2)．若p ＝AB →，q ＝CD →，求下列各式的值：
(1)p ＋2q ；
(2)3p －q ；
(3)(p －q )·(p ＋q )；
(4)cos 〈p ，q 〉．
10．已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)，分别求满足下列条件的实数k 的值：(1)(k a ＋b )∥(a －3b )；(2)(k a ＋b )⊥(a －3b )．
[能力提升]
11．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是( )
A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，＋∞ C ．(－∞，－2) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，＋∞ 12．已知向量a ＝(1,0，－1)，b ＝(1，－1,0)，单位向量n 满足n ⊥a ，n ⊥b ，则n ＝________.
13．如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点．
(1)求BN 的长；
(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值．
14．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．
(1)求以AB 、AC 为边的平行四边形的面积；
(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a .
(2)3p －q ＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)
＝(4,3,15)．
(3)(p －q )·(p ＋q )＝p 2－q 2＝|p |2－|q |2
＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)
＝－26.
(4)cos 〈p ，q 〉＝p ·q |p ||q |＝2，1，3·2，0，－622＋12＋32×22＋02＋－6
2 ＝
－1414×210
＝－3510. 10．解析：k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(7，－4，－16)．
(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，则k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13
. (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，则(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0，解得k ＝1063
. 11．解析：因为a 与b 的夹角为钝角，
所以a ·b ＜0且〈a ，b 〉≠180°，
由a ·b ＜0得(3，－2，－3)·(－1，x －1,1)＝3×(－1)＋(－2)·(x －1)＋(－3)×1＜0，解得x ＞－2，
若a 与b 的夹角为180°，则存在λ＜0，使b ＝λa ，
即(－1，x －1,1)＝λ(3，－2，－3)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝3λx －1＝－2λ，
1＝－3λ，解得x ＝53
， 所以x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，＋∞. 答案：B
12．解析：设n ＝(x ，y ，z )，由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －z ＝0，x －y ＝0，
x 2＋y 2＋z 2＝1，
∴x ＝y ＝z ＝
33或x ＝y ＝z ＝－33. ∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33
，33，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫33
，33，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 13．解析：如图，以CA →，CB →，CC 1→
为单位正交基底建立空间直角坐标系C －xyz .
(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，
所以BN →
＝1－02＋0－12＋1－02
＝3，
所以线段BN 的长为 3.
(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，
所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→
＝(0,1,2)，
所以BA 1→·CB 1→
＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又|BA 1→|＝6，|CB 1→
|＝5，
所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|
＝3010
. 故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010
. 14．解析：(1)设AB →，AC →
的夹角为θ.
∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →
＝(1，－3,2)，
∴cos θ＝AB →·AC →
|AB →|·|AC →|
＝－2＋3＋64＋1＋9·1＋9＋4＝12
， ∴sin θ＝
32
， ∴S 平行四边形＝|AB →||AC →|sin θ＝14×14×32＝7 3. 即以AB 、AC 为边的平行四边形的面积为7 3.
(2)设a ＝(x ，y ，z )，
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，
x 2＋y 2＋z 2＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，
z ＝1
或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1. ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．。