基于响应曲面和层次分析法的转向架优化设计

基于响应曲面和层次分析法的转向架优化设计
邓斌; 王文; 吴文海; 王国志
【期刊名称】《《机械设计与制造》》
【年(卷),期】2019(000)008
【总页数】4页(P86-89)
【关键词】转向架; 响应曲面法; 层次分析法; 均方根误差; 优化设计
【作者】邓斌; 王文; 吴文海; 王国志
【作者单位】西南交通大学机械工程学院四川成都 610031
【正文语种】中文
【中图分类】TH16; TH122; U270.2
1 引言
轨道车辆转向架作为车辆关键的部分，起着承重、支撑、牵引、减震及保护的作用。

传统上的优化设计是将各个参数变为设计变量进行优化，转向架是结构复杂的支架类构件，有着大量的尺寸参数，若将每个参数都考虑则数据量庞大且计算效率过低，如文献[1-2]通过改变结构的方式进行了优化，但没有提出系统的设计方法。

因此
优化设计需要将关键参数变为设计变量，而找到关键参数以及关键参数对转向架的影响因子是研究优化设计的途径之一[3]。

文献[4-5]通过灵敏度分析找到尺寸优化方法，但没有确定变量函数之间的系数关系，同样也没有对函数进行检验。

针对上述情况，以一种轨道车辆转向架为研究对象，选定转向架的三个关键参数作
为设计变量，对转向架质量、固有频率、应力和应变进行有限元分析，将响应曲面法运用到有限元分析的数据上获得关于四个目标[6]的拟合函数，并对拟合函数进行了精度检验，再通过层次分析法的思想确定四个拟合函数对总函数的权重，然后在Matlab中通过优化工具完成对转向架多目标多尺寸的优化设计，从而找到了更优的转向架尺寸。

2 转向架有限元模型
利用Solidworks建立转向架实体模型，将凹槽、倒角及圆角等不重要特征去除以增加运算效率，将模型导入ANSYS Workbench中，得到的模型，如图1所示。

图1 转向架有限元模型Fig.1 Bogie Finite Element Model
本转向架为空中悬挂列车转向架，转向架形状呈人字型，其横截面形式为箱型，转向架上、下表面为平面，为满足转向架结构功能要求不能对整体结构做较大改变，因此对于转向架其关键参数则有上、下板厚度，腹板高度和腹板厚度。

设上、下板厚度均为x1，腹板高度为 x2，腹板厚度为 x3，初始尺寸 x1=8mm，
x2=120mm，x3=8mm，尺寸范围5mm≤x3≤10mm。

转向架采用 6061-T4（SS）铝合金制造，弹性模量69GPa，泊松比0.33，密度2700kg/m3，屈服强度227MPa。

采用自动网格划分，设置Relevance Center选项为Fine，得到网格单元数28928，节点数56627；添加Displacement约束，Y、Z轴方向位移为零，X轴方向无约束；添加载荷选项Force作用在吊耳的内圆上（共四个面），总共大小为15000N，方向与Y轴相反；添加重力加速度，方向与Y轴相反。

3 转向架的优化设计
3.1 响应曲面法
响应曲面法[7]（Response surface methodology，RSM）是数学方法和统计方法相结合的产物，其目的是寻找优化区域，建立优化区域的模型，从而找到响应的优化值。

对于优化设计来说，一般响应与设计变量之间的关系式是未知的，因此利用响应曲面法得到它们之间的真实函数关系。

由于转向架三个变量之间对响应不是线性关系，因此使用二次多项式建立拟合函数[8]：
转向架有限元分析结果，如表1所示。

由式（1）整理出转向架响应与变量之间关系式为：
通过表1数据，利用Matlab进行计算得到固有频率的二项式回归方程为：
质量的二项式回归方程为：
最大应变的二项式回归方程为：
最大应力的二项式回归方程为：
表1 转向架有限元分析结果Tab.1 Results of Finite Element Analysis of Bogie
实验组号上、下板厚度/mm 腹板高度/mm 腹板厚度/mm 1 8 120 8 2 8 120 9 3 10 120 9 4 5 120 7 5 8 110 7 6 120 7 7 8 130 7 8 8 110 8 9 7 110 7 5 10 10 110 7 11 5 140 6 12 9 100 10 13 10 140 5 14 7 100 6 15 6 130 5实验组号转向架质量/kg 第六阶固有频率/Hz 最大应变/mm最大应力/MPa 1 69.282 266.45 2.2248 25.417 2 73.046 264.32 2.1691 24.776 3 77.031 268.23 2.14 24.045 4 52.725 266.22 3.9953 40.198 5 63.101 270.33 2.7254 28.543 6 65.506
268.71 2.2844 26.011 7 67.961 267.15 1.9391 23.946 8 56.128 263.18
3.8567 41.536 9 59.626 269.57 3.0559 30.843 10 70.109 271.44 2.2277
25.093 11 55.595 262.51 2.4659 31.467 12 73.441 267.48 2.7909 27.531 13 68.549 270.48 1.4643 20.236 14 54.001 273.04 3.8135 34.784 15 52.799 270.06 2.625 29.016
3.2 回归方程拟合精度检验
精度检验的常用准则为均方根误差（Root mean squared error，RMSE），RMSE表示回归方程值与真值之间的差异程度，因此差值越小表示回归方程的拟合精度越高。

其公式如下[9]：
式中：ne—模型验证的样本量；yi—真实响应值；ˆi—由回归方程得到的观测值—真实响应值的均值。

四个回归方程的均方根误差，如表2所示。

表2 均方根误差Tab.2 Root Mean Squared Error回归方程函数 RMSE Fh
0.0002 Fm 0.0046 Fg 0.0219 Fq 0.0272
由上表可知：均方根误差不超过3%，回归方程有效。

3.3 层次分析法
为避免由于数据相差较大带来的误差以及不准确性，需要对拟合函数的系数进行确定[6]。

由表1可得质量、固有频率、最大应变、最大应力的矩阵，拟合函数的系数为：
令拟合函数之间的系数关系为：
式中：i—实验组号；n—实验组数；hi、mi、gi、qi—对应的固有频率、质量、最大应变、最大应力，得到 a=4.2583，b=108.5316，c=9.6242。

对四个拟合函数进行权重衡量，以确定每个函数对总函数的重要性是必不可少的。

这里利用层次分析法的思想确定拟合函数的权重系数。

层次分析法[10]（Analytic hierarchy process，AHP）是在建立有序递阶的指标
体系的基础上，通过比较同一层次各指标的相对重要性来综合计算指标的权重系数。

如果直接要给各个因素分配权重比较困难，在不同因素之间两两比较其重要程度是相对容易的，权重标度的含义[11]，如表3所示。

表3 权重标度的含义Tab.3 The Meaning of Weight Scale标度含义1表示两
个因素相比，具有相同重要性3表示两个因素相比，前者比后者稍重要5表示两
个因素相比，前者比后者明显重要7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要9
表示两个因素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8 表示上述相邻判断的中间值倒数若因素i与因素j的重要性为aij，则因素j与因素i重要性为aij=1/aij
令总函数为：
式中：m、n、j、k—固有频率、质量、最大应变、最大应力的权重系数。

通过对
评估因素每两个进行比较，得到判断矩阵P：
考虑到转向架在工作过程中的性能要求，最大应变比质量稍重要，质量比固有频率稍重要，而最大应力由于远小于材料的屈服强度，因此固有频率比最大应力明显重要，从而得出每两个因素之间的比较值，因此矩阵P为：
利用方根法得到计算矩阵P的特征向量为：
式中：wi—对应4个因素的权重系数。

3.4 权重系数合理性检验
通过各权重系数可求得判断矩阵的最大特征值λmax：
利用最大特征值求出矩阵P的一致性指标CI：
为检测权重系数的合理性，通过矩阵P的一致性比率来判断。

一致性比率CR的公式为：
式中：CI—一致性指标；RI—平均随机一致性指标，当n=4，RI=0.9。

由式（13）计算出一致性比率CR=0.0769＜0.1，判断矩阵具有满意一致性，权重系数有效。

因此拟合函数的总函数为：
利用Matlab优化工具fmincon函数对总函数进行优化，函数数学模型为：
赋函数初值x1=5mm，x2=100mm，x3=5mm。

由于实际生产中目标尺寸为离散整数，因此，将得到的解进行整数化处理后得到：
x1=6mm，x2=130mm，x3=5mm
3.5 结果分析
转向架优化前、后的质量、第六阶固有频率、最大应变、最大应力的对比结果，如表4所示。

表4 优化前、后结果对比Tab.4 Comparison of Results Before and After Optimization最大应力/MPa优化前 69.282 266.45 2.2248 25.417优化后52.799 270.06 2.625 29.016转向架质量/kg 第六阶固有频率/Hz最大应变/mm 由上表看出，优化后转向架的最大应变从2.2248mm增加到2.625mm，增加了0.4mm，增加幅度小且应变不超过3mm，因此优化后的最大应变满足限制条件；质量69.282kg从减少到52.799kg，减少了16.483kg，减少幅度达到23.8%；
第六阶固有频率增加，从266.45Hz增加到270.06Hz，增加了3.61Hz；最大应
力从25.417MPa增加到29.016MPa，增加3.6MPa，由于其远小于屈服强度，
优化结果满足使用条件。

4 结论
（1）利用响应曲面法和层次分析法建立了一种机车转向架的优化数学模型，并对拟合函数进行检验，得到转向架的优化尺寸；（2）通过对转向架进行尺寸优化，大幅度地减少了转向架的质量，减少了16.483kg，固有频率也有所增加；（3）
转向架的最大应变和最大应力有所增加，最大应变未超过3mm，最大应力远小于材料的许用应力，对转向架的使用没有影响；（4）提出的优化设计方法适用于多变量多目标的设计，优化模型有效，对结构的设计优化有重要意义。

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