重庆大学高等数学习题3-7

A 组
1.求下列函数图形的渐近线：
（1）2
1x y x
=+； （2）1
(21)x y x e =-
解析：考查渐近线的求解，已知渐近线有三类，包括垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，求解这类题目需要按照渐近线的定义一个个去验证
解：（1）因为函数在1x =-上没有定义，且2
1lim
1x x x →-=∞+，则存在垂直渐近线1x =- 2
lim 1x x x
→∞=∞+，则没有水平渐近线 设斜渐近线z kx b =+，则lim
lim 11x x y x k x x
→∞
→∞===+ 2lim()lim()lim 111x x x x x
b y kx x x x
→∞→∞→∞-=-=-==-++
则存在斜渐近线1z x =-
（2）因为函数在0x =上没有定义，且1
10
lim(21)lim x
x
x x x e e →→-=-，而10
lim x
x e +
→-=-∞，1
lim 0x
x e -
→-=，则存在垂直渐近线0x = 1
101(2)(2)lim(21)lim lim 1x x
x x x x e x e x x e x
x
→∞→∞→---===∞，则没有水平渐近线
设存在斜渐近线z kx b =+，则1
21lim lim
2x x x y x k e x x
→∞→∞-=== 1
1
001
(2)2lim()lim[(21)2]lim
1
(2)2lim lim(1)1x x x x x x x x x e x b y kx x e x x
x e x e x
→∞→∞→∞→→--=-=--=--==-=
则存在斜渐近线21z x =+ 2.描绘下列函数的图形：
（1）32
1y x x x =--+； （2）2
361(3)
x
y x =+
+； （3）2
1
y x x
=+； （4）32
(1)x y x =-
解析：考查图形的描绘，前面已经学过了函数单调性、凹凸性、拐点、驻点、渐近线等性质，利用这些性质就能简单的绘制出函数的图形
解：（1）2
321y x x '=--，62y x ''=-
令0y '=，0y ''=，得驻点1
3x =-，1x =，拐点13
x = 点13x =-，1
3
x =
，1x =，将定义域分为四个子区间 表3-1
又因为3
2
lim lim(1)x x y x x x →∞
→∞
=--+=∞，lim x x
→∞
=∞，则不存在渐近线 根据上述分析画出函数的图形如下 （2）2
361(3)
x
y x =+
+； 24
3
36(3)362(3)36(3)(3)(3)x x x x y x x +-⋅+-'==++，
3264
36(3)36(3)3(3)72(6)
(3)(3)x x x x y x x -+--⋅+--''==++
令0y '=，0y ''=，得驻点3x =，拐点6x = 同时存在原函数、一阶和二阶导数都不存在的点3x =-
点3x =-，3x =，6x =，将定义域分为四个子区间
因为23
3
36lim lim[1](3)x x x y x →-→-=+
=-∞+，236lim[1]0(3)
x x
x →∞+=+ 则存在垂直渐近线3x =-，水平渐近线0x =
又因为2
2361136(3)lim
lim[]0(3)
x x x
x x x x →∞
→∞+
+=+=+，则不存在斜渐近线 根据上述分析画出函数的图形如下
（3）2
1y x x
=+，3221212x y x x x -'=-=，333
22(1)
2x y x x +''=+= 令0y '=，0y ''=
，得驻点x =
，拐点1x =- 同时存在原函数、一阶和二阶导数都不存在的点0x = 点1x =-，0x =
，x =
，将定义域分为四个子区间 表3-3
因为2
00lim lim()x x y x x →→=+=∞，2
lim()x x x →∞+=∞ 则存在垂直渐近线0x =，不存在水平渐近线
又因为22
11lim
lim()x x x x x x x →∞→∞+
=+=∞，则不存在斜渐近线 根据上述分析画出函数的图形如下
（4）3
2
(1)x y x =-
22324
3
3(1)2(1)(3)(1)(1)x x x x x x y x x ----'==--，
232264
(36)(1)3(3)(1)6(1)(1)x x x x x x x
y x x -----''==--
令0y '=，0y ''=，得驻点0x =，3x =，拐点0x = 同时存在原函数、一阶和二阶导数都不存在的点1x =
点0x =，1x =，3x =将定义域分为四个子区间
表3-4
因为3211lim lim
(1)x x x y x →→==∞-，3
2
lim (1)x x x →∞=∞- 则存在垂直渐近线1x =，不存在水平渐近线
又因为3
22
2(1)lim lim 1(1)x x x x x x
x →∞→∞-==-，32222lim[
]lim 2(1)(1)x x x x x x x x →∞→∞--==-- 则存在斜渐近线2y x =+ 根据上述分析画出函数的图形如下
B 组
1.求下列函数的渐近线：
（1）1x
y xe =； （2）2
5
4(1)
y x =+-； （3）1ln()y x e x
=+，其中0x >
解析：考查函数渐近线的求解，按照渐近线的定义一一验证
解：（1）因为函数在0x =上没有定义，且1100lim lim lim lim 1x x
x x
x x x x e e xe e x x
→→→∞→∞===，而lim x
x e →+∞
=∞，
lim 0x x e →-∞
=，则存在垂直渐近线0x =
110lim lim lim 1x
x
x
x x x e e xe x
x
→∞→∞→===∞，则不存在水平渐近线 设存在斜渐近线z kx b =+，则1
lim lim 1x x x y
k e x →∞→∞
===
11011
lim()lim()lim lim 11x x
x
x x x x e e b y kx xe x x
x
→∞→∞→∞→--=-=-===
则存在斜渐近线1y x =+ （2）2
5
4(1)
y x =+
-； 因为函数在1x =上没有定义，且2
1
5
lim[4](1)x x →+
=+∞-，则存在垂直渐近线1x =
2
5
lim[4]4(1)
x x →∞
+
=-，则存在水平渐近线4y = 设存在斜渐近线z kx b =+，则2
2
5
445(1)lim
lim lim[]0(1)x x x y
x k x x x x x →∞
→∞
→∞+
-===+=- 则不存在斜渐近线
（3）1
ln()y x e x
=+，其中0x > 因
为
函
数
在
x =上没有定义，且
001ln()
1ln()1lim ln()lim
lim lim 01x x x x e e x x x e x x
e x x →→→+∞→+∞+++====+，则不存在垂直渐近线 01ln()
1ln()lim ln()lim
lim 1x x x e e x x x e x x
x
→∞→∞→+++===∞，则没有水平渐近线 设存在斜渐近线z kx b =+，则1
lim limln()1x x y k e x x
→∞→∞==+=
001ln()1
1ln()111lim()lim[ln()]lim lim lim 1x x x x x e e x x b y kx x e x x x e x e
x
→∞→∞→∞→→+-+-=-=+-====
+则存在斜渐近线1
z x e
=+
2.讨论下列函数凹点和拐点，并描绘函数图像：
（1）2
3
y x x =-； （2）2
22
a y a x =+；
（3）2
3x y e -=； （4）3ln
3x
y x +=-
解析：考查函数图像的描绘，和A 组解题思路一样，尽可能的求解出函数的性质
解：（1）2
23(23)y x x x x '=-=-，26y x ''=-
令0y '=，0y ''=，得驻点0x =，23x =，拐点13
x = 点0x =，13x =
，2
3
x =将定义域分为四个子区间
因为2
3
lim[]x x x →∞
-=∞，则不存在垂直渐近线，不存在水平渐近线
又因为23
2lim
lim()x x x x x x x
→∞→∞-=-=∞，则不存在斜渐近线 根据上述分析画出函数的图形如下
（2）2
22
a y a x
=+，22
222()a x y a x -'=+22222222222222224223223
2()2()2()22()
()()()
a a x a x a x a a x a x a x x a y a x a x a x -⋅++⋅+-⋅++⋅--+''===+++ 令0y '=，0y ''=，得驻点0x =
当2
140a -<，即12a <-
或1
2a >时，不存在拐点，即0y ''<恒成立 当2
140a -=，即12a =±时，存在一个拐点12
x =
当2
140a ->，即1122
x -<<时，存在两个拐点12x =
01.当12a <-或1
2a >时，0y ''<，则函数恒为凸
02.当1
2
a =±时，0y ''≤，则函数也恒为凸
3.当1122
x -<<
时，存在拐点x =
0x =
<
设点1x =0x =
，2x =
将定义域分为四个子区间
因为2
2
2lim 0x a a x →∞=+，则不存在垂直渐近线，存在水平渐近线0y = 又因为222222lim lim 0()
x x a a a x x x a x →∞→∞+==+ 则不存在斜渐近线
根据上述分析画出函数的图形如下
（3）2
3x y e
-=
2
6x y xe -'=-，2
2(126)x y x e -''=-
令0y '=，0y ''=，得驻点0x =，拐点x = 点2x =-
，0x =，2
x =
将定义域分为四个子区间
因为2
lim 33x x e -→∞
=，则存在水平渐近线3y =
又因为2
3lim
0x
x e x
-→∞= ，则不存在斜渐近线 根据上述分析画出函数的图形如下
（4）3ln
3x y x +=-，因为303x
x +>-，则33x -<<
2233(3)63(3)9x x x y x x x --++'=
⋅=+--，2222
6(2)12(9)(9)x x
y x x -⋅-''==--
令0y '=，0y ''=，则不存在驻点，拐点0x =
同时存在原函数不存在点3x =，一阶和二阶导数都不存在的点3x =，3x =- 点0x =将定义域分为两个子区间
因为333lim lim ln 3x x y x --
→→==+∞-，33lim lim ln 3x x y x ++→-→-==-∞-
则存在垂直渐近线3x =，3x =-
根据上述分析画出函数的图形如下。