2020-2021学年数学人教A版必修4课件：3-2 简单的三角恒等变换

[解] (1)由题意得A→B＝(sinθ－cosθ，－ 2sinθ)， 当 θ＝23π时，sinθ－cosθ＝sin23π－cos23π＝1＋2 3，－ 2sinθ ＝－ 2sin23π＝－ 26，所以A→B＝1＋2 3，－ 26. (2)因为A→B＝(sinθ－cosθ，－ 2sinθ)， 所以|A→B|2＝(sinθ－cosθ)2＋(－ 2sinθ)2 ＝1－sin2θ＋2sin2θ＝1－sin2θ＋1－cos2θ
命题视角 3：三角恒等变换的实际应用 [例 5] 有一块以 O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上
划出一个内接矩形 ABCD 开辟为绿地，使其一边 AD 落在半圆的 直径上，另外两点 B，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长 为 a，如何选择关于点 O 对称的点 A，D 的位置，可以使矩形 ABCD 的面积最大？
＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ.
∵θ∈(0，2π)，∴2θ∈(0，π)，当 2θ＝π2，即 θ＝4π时，Smax＝
a2，此时，A，D
距离
O
点都为
2 2 a.
解决实际问题应首先设定主变量角 α 以及相关的常量与变 量，建立含有角 α 的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、 性质等进行求解.求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数 的有界性来解决.
1－a 2
C．－
1＋a 2
D．－
1－a 2
(2) 若 －__6_6_____.
sin(π － α) ＝ －
5 3
且
α ∈ π，32π ， 则
sin π2＋α2 ＝
[解析]
(1)由题知，5π<θ<6π，cos2θ＝a，则54π<θ4<32π，则
θ sin4
＝－
1－2cosθ2＝－
1－2 a.故选 D.
[变式训练 1] 已知 α∈(－2π，0)，cosα＝45，则 tanα2＝( D )
A．3
B．－3
1 C.3
D．－13
解析：因为 α∈(－π2，0)，且 cosα＝45，所以α2∈(－4π，0)，
tanα2＝－ 11－＋ccoossαα＝－
11－ ＋4545＝－13，故选 D.
类型二 三角恒等式的化简与证明
＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝ 22cos2θ－4π－12. 当 2θ－4π＝0，即 θ＝π8时，Smax＝ 22－1(m2)．
∴割出的长方形桌面的最大面积为 22－1m2.
1．已知 cosα＝－15，π2<α<π，则 sinα2等于( D )
A．－
10 5
10 B. 5
C．－
15 5
4．若 α∈(0，π)，且 cosα＋sinα＝－13，则 cos2α＝
17 9.
解析：∵(cosα＋sinα)2＝19，∴sinαcosα＝－49，
而 sinα>0，∴cosα<0.
∴cosα－sinα＝－
cosα＋sinα2－4sinαcosα＝－
17 3.
∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)
4．填空：
(1)sinα±cosα＝
π 2sinα±4
π (2) 3sinα±cosα＝ 2sinα±6
π (3)sinα± 3cosα＝ 2sinα±3
. . .
类型一 半角公式的应用
[例 1] (1)设 5π<θ<6π，cos2θ＝a，则 sinθ4等于( D )
1＋a A. 2
B．
所以函数 f(x)的对称轴方程为 x＝56π＋kπ(k∈Z)．
命题视角 2：三角恒等变换与平面向量的结合 [例 4] 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(cosθ， 2sinθ)， B(sinθ，0)，其中 θ∈R. (1)当 θ＝23π时，求向量A→B的坐标； (2)当 θ∈0，π2时，求|A→B|的最大值．
类型三 三角恒等变换的应用 命题视角 1：三角恒等变换与三角函数性质的结合
[例 3] 函数 f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1 的最小正周期是
___π_____，单调递减区间是____[3_8π_＋__k_π_，__7_8π_＋__k_π_]_(k_∈__Z_)___．
[解析]
由
题
意
知
，
3．函数 y＝12sin2x＋sin2x，x∈R 的值域是( C )
A.－12，32
B．－32，12
C.－ 22＋12， 22＋12
D．－ 22－12， 22－12
解析：y＝12sin2x＋sin2x＝12sin2x－12cos2x＋12＝ 22sin2x－π4＋ 12.故函数值域为－ 22＋12， 22＋12.
第二章
平面向量
3．2 简单的三角恒等变换
[目标] 1.记住三角恒等变换常用公式． 2.能够利用三角函 数公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明．
[重点] 三角恒等变换常用公式． [难点] 三角恒等变换的化简与求值．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一
降幂公式与半角公式 [填一填]
[变式训练 3] 已知函数 f(x)＝sinx－cosx－6π，则函数的值 域为 [－1,1] ，对称轴方程为 x＝56π＋kπ(k∈Z)．
解析：f(x)＝sinx－cosx－π6＝sinx－ 23cosx－12sinx ＝12sinx－ 23cosx＝sinx－3π 则函数 f(x)的值域是[－1,1]． 令 x－3π＝π2＋kπ，k∈Z，得 x＝56π＋kπ，k∈Z.
∴原式＝－si2nα2si＋nα2c＋oscα2o2sα2＋
sinα2－cosα22 2sinα2－cosα2
＝－sinα2＋cosα2＋sinα2－cosα2＝－
2
2
α 2cos2.
三角恒等变换是指依据三角函数的有关公式、定理，对三角 函数式进行某种变形的过程，凡三角问题几乎都要通过三角恒等 变换来解决.具体步骤如下：
[变式训练 5] 某工人要从一块圆心角为 45°的扇形木板中 割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为 1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．
解：如图，连接 OC，设∠COB＝θ，
则 0°<θ<45°，OC＝1. ∵AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ， ∴S 矩形 ABCD＝AB·BC ＝(cosθ－sinθ)·sinθ ＝－sin2θ＋sinθcosθ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ
b a2＋b2)
＝ a2＋b2sin(α＋φ) ．
(其中令 cosφ＝
a2a＋b2，sinφ＝
b a2＋b2)
1＋cos2α
2．sin2α＝1－c2os2α，cos2α＝
2 ，sinαcosα＝
1 2sin2α .
[答一答] 3．如何确定上述辅助角公式中的 φ 值？
提示：可以由 sinφ 和 cosφ 的符号来确定 φ 所在的象限，由 sinφ 或 cosφ 的值确定角 φ 的大小．
＝－13×－
317＝
17 9.
5．证明：1＋ssiinnαα＋＋1cosα＝12tanα2＋12. α
证明：∵左边＝1＋1＋21t＋a2tantnatα2an2nα222＋α2＋11－ ＋1 ttaann22α2α2
＝1＋tanta2nα22＋α2＋2ta2ntaα2n＋α2＋1－1 tan2α2 ＝2tatannα2α2＋＋122＝12tanα2＋1＝12tanα2＋12＝右边． ∴等式成立．
(2)∵sin(π－α)＝－ 35，α∈π，32π，
∴sinα＝－ 35，cosα＝－23，又∵α2∈π2，34π，
∴sinπ2＋α2＝cosα2＝－
1＋2cosα＝－
6 6.
已知 θ 的某个三角函数值，求θ2的三角函数值的步骤是：1 利用同角三角函数基本关系式求得 θ 的其他三角函数值；2代 入半角公式计算即可.
[答一答] 1．半角公式中“±”号如何选取？
提示：符号由α2所在象限决定．
2．已知 sinθ＝45，且52π<θ<3π，则 sin2θ＝－255，cosθ2＝－ 55，
tanθ2＝ 2 .
解析：∵sinθ＝45，52π<θ<3π，
∴cosθ＝－ 1－sin2θ＝－35，
∵54π<θ2<32π，
∴sinθ2＝－ 1－2cosθ＝－
——本课须掌握的三大问题 1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽 视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后 继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式 asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 φ 满 足：①φ 与点(a，b)同象限；②tanφ＝ba(或 sinφ＝ a2b＋b2，cosφ ＝ a2a＋b2)．
[例 2] 已知 π<α<32π，化简：
1＋co1s＋α－sinα1－cosα＋
1－sinα 1＋cosα＋ 1－cosα.
[解] 原式＝ 2csoinsα2α2＋－cos2α2s2inα2＋ 2csoinsα2α2－＋cos2α2s2inα2，
∵π<α<32π，∴2π<α2<34π. ∴cosα2<0，sinα2>0.
1＋2 35＝－2
5
5 .
cosθ2＝－ 1＋2cosθ＝－
1－2 35＝－
5 5.
θ
4
tanθ2＝ sin2θ＝2(或 cos2
tanθ2＝1＋sincoθsθ＝1－5 35＝2)．
知识点二 常见的三角恒等变换
1．asinα＋bcosα
[填一填]
＝
a2＋b2(sinα·
a2a＋b2＋cosα·
[变式训练 4] 已知 A，B，C 是△ABC 三内角，向量 m＝(－
1， 3)，n＝(cosA，sinA)，且 m·n＝1，则角 A＝( D )
π
π
A.2
B.6
π
π
C.4
D.3
解析：∵m·n＝1， ∴(－1， 3)·(cosA，sinA)＝1，即 3sinA－cosA＝1， ∴2sinA·23－cosA·12＝1，∴sinA－π6＝12. ∵0<A<π，∴－6π<A－6π<56π， ∴A－6π＝π6，∴A＝3π.
f(x)
＝
1 2
sin2x
＋
1 2
(1
－
cos2x)
＋
ห้องสมุดไป่ตู้
1
＝
2 2
sin2x－4π＋32，所以最小正周期 T＝π. 令π2＋2kπ≤2x－π4≤32π＋2kπ(k∈Z)，得 kπ＋38π≤x≤kπ＋78π(k
∈Z)，故单调递减区间为
38π＋kπ，78π＋kπ(k∈Z)．
讨论三角函数的性质一般要把三角函数化为 y＝Asinωx＋ φ，y＝Acosωx＋φ，y＝Atanωx＋φ的形式才能进行讨论.
D．
15 5
解析：∵π2<α<π，∴4π<α2<2π，
∵cosα＝－15，∴sinα2＝
1－2cosα＝
15 5.
2．下列各式中，值为12的是( B )
A．sin15°cos15°
B．cos2π6－sin26π
tan30° C.1－tan230°
D．
1＋cos60° 2
解析：A 中，原式＝12sin30°＝14； B 中，原式＝cosπ3＝12； C 中，原式＝12×1－2tatann3203°0°＝12tan60°＝ 23； D 中，原式＝cos30°＝ 23，故选 B.
1发现差异——观察角、名、形三方面的差异； 2寻找联系——根据式子的结构特征，找出差异间的联系； 3合理转化——选取恰当的公式，进行恒等变形，促使差 异转化.
[变式训练 2] A．sin2α
化简4sin2π4＋sinα4tαanπ4－α得( A ) B．cos2α C．sinα D．cosα
解析：∵4sin2π4＋αtanπ4－α ＝4cos2π4－αtan4π－α＝4cos4π－αsin4π－α ＝2sinπ2－2α＝2cos2α， ∴原式＝4sin2π4＋sinα4tαanπ4－α＝2scions42αα ＝2si2nc2oαsc2oαs2α＝sin2α.
＝2－ 2sin2θ＋4π. 因为 0≤θ≤2π，所以π4≤2θ＋4π≤54π. 所以当 2θ＋4π＝54π时，|A→B|2 取到最大值， |A→B|2＝2－ 2×－ 22＝3， 即当 θ＝2π时，|A→B|取到最大值 3.
三角恒等变换与平面向量的坐标运算相结合是常见的题型， 这种题型往往体现了三角恒等变换的工具性．
[分析] 在△AOB中利用∠AOB表示OA，AB的长 →
表示矩形面积：2OA·AB → 得到面积与角间的函数关系 →
通过求函数的最值得到面积的最值
[解]
画图如图所示，设∠AOB＝θ(θ∈(0，2π))，则 AB＝asinθ，OA ＝acosθ.
设矩形 ABCD 的面积为 S，则 S＝2OA·AB，即 S＝2acosθ·asinθ