无锡市江阴市2021-2022学年九年级下学期3月月考数学试题

江阴市2021－2022学年第二学期教学检测初三数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1.
1
2的绝对值为（）A.12
-
B.
12
C.2-
D.2
2.函数y =中自变量x 的取值范围是（）
A.3
x >- B.3
x ≥- C.3
x <- D.3
x ≠-3.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm ）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（）
A.24，25
B.23，23
C.23，24
D.24，24
4.若a ＋2b ＝8，3a ＋4b ＝18，则a ＋b 的值为（）A.10
B.26
C.5
D.135.下列运算正确的是（）
A.32734a a a -=
B.
()3
25
a a =C.632
a a a ÷= D.2(1)a a a a
--+=-6.北京冬奥会圆满落下帷幕，中国交出“满分”答卷，得到世界高度赞扬．组成本次会徽的四个图案中是轴对称图形的是（
）
A. B. C. D.
7.如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，
则两梯脚之间的距离BC 为（）
A.4cos α米
B.4sin α米
C.4tan α米
D.
4
cos α
米8.小明网购了一本《好玩的数学》
，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x （元）所在的范围为（
）
A.1012x <<
B.1215x <<
C.1015x <<
D.1114
x <<
9.如图，已知直线AB 与y 轴交于点(0,A ，与x 轴的负半轴交于点B ，且∠ABO ＝60°，在x 轴正半轴上有一点C ，点C 坐标为()1,0，将线段AC 绕点A 逆时针旋转120°，得线段AD ，连接BD ．则BD 的长度为（
）
A .
B.4+
C.
D.
152
10.如图，等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝6，∠BAC ＝90°，D 是BC 边的中点，过点D 作DE ⊥DF 分别交AB 、AC 于E 、F （不与B 、C 重合）
．取EF 的中点O ，连接AO 并延长交BC 于G ，连接EG 、FG ．随着点E 、F 的位置的变化，有以下四个结论：①DE ＝DF ；②四边形AEDF 的面积始终为9；③∠EGF ＝90°；④四边形AEGF 的面积有最小值为9．其中正确的是（
）
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11.分解因式：2416x -=_____________．
12.2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内一共吸引了约5万名数学爱好者参加．数据“5万”用科学记数法表示为______．
13.用弧长为10π，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的侧面积为______．14.请写出一个二次函数表达式，使其函数图象与x 轴没有交点：______．
15.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为___升．
16.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 、F 分别边BC 、CD 上一点，EF ⊥AE ，将△ECF 沿EF 翻折得△EC ′F ，连接AC ′，当BE ＝___时，△AEC ′是以AE 为腰的等腰三角形．
17.扇形OBM 为
1
4
个圆，∠ACB ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，则O 的半径为______．
18.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，D 是BC 的中点，连接AD ，过点C 作CF ⊥AD 交AB 于F ，则△ABD 的面积为______，BF ＝______．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.计算：
（1）2
112sin 452-⎛⎫--︒+ ⎪⎝⎭
；（2）()()()2
122--+-x x x ．
20.（1）解方程：2420x x --=；
（2）解方程：
53
212
x x =+-．21.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝20，BC ＝DC ＝102
（1）求证：△ABC ≌△ADC ；
（2）当∠BCA ＝45°时，求∠BAD 的度数．
22.圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．
（1）从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为________；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）
23.为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：A．党史宣讲；B．歌曲演唱；C．校刊编撰；D．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了统计图表（不完整）．
各组参加人数情况统计表
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）则a＝______，m＝______；
（2）求扇形统计图中D所对应的圆心角度数；
（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示：
小组类别A B C D
平均用时（小时）2.5323
求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间．
24.问题提出：在△ABC 中，线段AB ＝a ，在线段AB 上作两点E 、F （不包括A 、B ），使△CEF 的周长为a ．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
自主探究：已知△ABC 是等边三角形，线段AB ＝a ，请在△ABC 的外接圆上找一点P ，在线段AB 上作两点E 、F （不包括A 、B ）
，使△PEF 周长为a ，且∠EPF ＝60°．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
能力提升：如图，已知△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝6，则△ABC 周长的最大值为______．
25.如图，在ABC 中，CA CB =，BC 与A 相切于点D ，过点A 作AC 的垂线交CB 的延长线于点E ，交A 于点F ，连结BF ．
（1）求证：BF 是A 的切线．
（2）若5BE =，20AC =，求EF 的长．
26.某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y （件）是关于售价x （元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x ，周销售量y ，周销售利润W （元）的三组对应值数据．x 407090y 1809030W
3600
4500
2100
（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a （元/件），售价x 为多少时，周销售利润W 最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该商品进价提高了m （元/件）（0m >），公司为回馈消费者，规定该商品售价x 不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m 的值．
27.如图，在平面直角坐标系中，()6,0A ，()0,8B ．
（1）△AOB 的内切圆半径为______；
（2）过△AOB 的内心I 作直线分别交y 轴、x 轴于点M 、N ．当△OMN 与△OAB 相似时，求直线MN 的函数表达式．
28.如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -，()3,0B 且与y 轴交于点()0,3C -．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P 是x 轴的正半轴上一点，1
tan 3
APC ∠=
，求点P 的坐标；（3）当点P 是抛物线上第一象限上的点，1
tan 3
APC ∠=
，直接写出点P 的坐标为______．
2021－2022学年第二学期教学检测初三数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1.
1
2的绝对值为（）
A.
12
- B.
12
C.
2
- D.2
【1题答案】【答案】B 【解析】
【分析】直接利用绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．
【详解】解：
12的绝对值为1
2
，故选：B ．【点睛】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
2.函数
y =
中自变量x 的取值范围是（）
A.
3
x >- B.
3
x ≥- C.
3
x <- D.
3
x ≠-【2题答案】【答案】A 【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列式计算即可得解．【详解】∵
y =
∴x +3>0，∴x>-3．故选A
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分式的分母不能为0，二次根式的被开方数非负，是解决此题的关键．
3.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm ）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（）A.24，25
B.23，23
C.23，24
D.24，24
【3题答案】【答案】C 【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义即可得．【详解】解：因为23出现的次数最多，所以这组数据的众数是23，
将这组数据按从小到大进行排序为22,23,23,23,24,24,25,25,26，
则这组数据的中位数是24，故选：C ．
【点睛】本题考查了众数和中位数，熟记定义是解题关键．4.若a ＋2b ＝8，3a ＋4b ＝18，则a ＋b 的值为（）
A.10
B.26
C.5
D.13
【4题答案】【答案】C 【解析】
【分析】首先把
a b +化为342[]2a b a b +-+÷（
）（），然后根据28a b +=，3418a b
+=，求出a b +的值即可．
【详解】解：∵28a b +=，3418a b +=，∴a b
+=342
[]2a
b a b +-+÷（）（）=1882-÷（）=102÷5=．故选：C ．
【点睛】本题主要考查了代数式求值此，以及整式的加减法，注意整体代入法的应用．5.下列运算正确的是（
）
A.
32
734a a a
-= B.
()
3
25a a = C.632
a a a ÷= D.
2(1)a a a a
--+=-【5题答案】【答案】D 【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项及单项式乘多项式可直接进行排除选项．【详解】解：A 、37a 与23a 不是同类项，所以不能运算，错误，故不符合题意；
B 、
()
3
26a a =，错误，故不符合题意；C 、633a a a ÷=，错误，故不符合题意；D 、2(1)a a a a --+=-，正确，故符合题意；
故选D ．
【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项及单项式乘多项式，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项及单项式乘多项式是解题的关键．
6.北京冬奥会圆满落下帷幕，中国交出“满分”答卷，得到世界高度赞扬．组成本次会徽的四个图案中是轴对称图形的是（
）
A. B. C. D.
【6题答案】【答案】D 【解析】【分析】根据轴对称定义判断即可；【详解】解：A ．不是轴对称图形，不符合题意；
B ．不是轴对称图形，不符合题意；
C ．不是轴对称图形，不符合题意；
D ．是轴对称图形，符合题意；故选：D ．
【点睛】本题考查了轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；掌握定义是解题关键．7.如图是一架人字梯，已知
2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（
）
A.
4cos α
米 B.
4sin α米
C.
4tan α米
D.
4
cos α
米
【7题答案】【答案】A 【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得到
1
2
BD DC BC ==
，根据余弦的定义即可，得到答案．【详解】过点A 作
AD BC
⊥，如图所示：
∵AB AC =，AD BC ⊥，
∴
BD DC
=，
∵DC co AC
α=
，
∴cos 2cos DC AC αα=⋅=，∴
24cos BC DC α==，
故选：A ．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．
8.小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x （元）所在的范围为（）
A.
1012
x << B.
1215x << C.
1015
x << D.
1114
x <<【8题答案】【答案】B 【解析】
【分析】根据三人说法都错了得出不等式组解答即可．
【详解】根据题意可得：15
{1210
x x x ＜＞＞，
可得：1215x ＜＜，
∴
1215
x <<故选B ．
【点睛】此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答．
9.如图，已知直线AB 与y 轴交于点
(0,3
A ，与x 轴的负半轴交于点
B ，且∠ABO ＝60°，在x 轴正半轴上有一点
C ，点C 坐标为
()1,0，
将线段AC 绕点A 逆时针旋转120°，得线段AD ，连接BD ．则BD 的长度为（
）
A.
13
B.
413
+ C.
57
D.
15
2
【9题答案】【答案】C 【解析】
【分析】连接CD ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点E 作FG ⊥x 轴于点F ，过点A 作AG ⊥FG 于点G ，设E (m ,n )，根据旋转证∠ACG =30°，CE ，
根据两角对应相等证△AEG ∽△ECF ，求出7,44E ⎛ ⎝⎭，5,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，结合B (-2,0)求出BD ==．
【详解】连接CD ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点E 作FG ⊥x 轴于点F ，过点A 作AG ⊥FG 于点G ，
则∠AEC =∠OFG =∠G =90°，
∵∠AOF =90°，
∴∠OAG =90°，
∴四边形AOFG 是矩形，
∵(0,A ，
∴FG =OA ，
设E (m ,n )，
∴AG =OF =m ，EF =n ，
∴CF =m -1，EG n ，
由旋转知，∠CAD =120°，AC =AD ，
∴CE =DE ，∠ACG =30°，
∴CE ，
∵∠CEF +∠ECF =∠AEG +∠CEF =90°，
∴∠AEG =∠ECF ，
∴△AEG ∽△ECF ，
∴EF CE
AG AE ==，
∴=n m ，
∵CF CE
EG AE ==
=
∴7
4m =，n =，
∴7,44E ⎛ ⎝⎭
，∵73144-=，735442+=，
∴5,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
∵∠ABO ＝60°，=OA ∴OB =2，B (-2,0)，
∴BD ==．
故选C ．
【点睛】本题主要考查了旋转，等腰三角形，含30°的直角三角形，两点间的距离公式，熟练掌握旋转图形全等性质，三线合一含30°角的直角三角形边的性质，两点间的距离公式是解决此题的关键．
10.如图，等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝6，∠BAC ＝90°，D 是BC 边的中点，过点D 作DE ⊥DF 分别交AB 、AC 于E 、F （不与B 、C 重合）．取EF 的中点O ，连接AO 并延长交BC 于G ，连接EG 、FG ．随着点E 、F 的位置的变化，有以下四个结论：①DE ＝DF ；②四边形AEDF 的面积始终为9；③∠EGF ＝90°；④四边形AEGF 的面积有最小值为9．其中正确的是（）
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
【10题答案】【答案】A 【解析】【分析】证明△BDE ≌△ADF ，即可判断①正确；根据①的结论判断②正确；以点O 为圆心，OE 为半径作圆O ，由∠BDA =90°，证得AG 为圆O 的直径，即点G 在圆O 上，即可判断③正确；设AF =x ，则BE =AF =x ，AE =6-x ，证明四边形AEGF 是矩形，利用矩形面积公式求出四边形AEGF 的面积=()239x --+，利用二次函数的性质得到四边形AEGF 的面积有最大值为9，即可判断④错误．
【详解】解：∵等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝6，∠BAC ＝90°，D 是BC 边的中点，
∴AD=BD=CD ，∠B =∠CAD =45°，∠ADB =90°，
∵∠EDF =90°，
∴∠BDE +∠ADE =∠ADE +∠ADF ，
∴∠BDE =∠ADF ，
∴△BDE ≌△ADF ，
∴DE =DF ，故①正确；
∴四边形AEDF 的面积=12ABD ABC S S = =1166922
⨯⨯⨯=，∴四边形AEDF 的面积始终为9，故②正确；
以点O 为圆心，OE 为半径作圆O ，连接OD ，
∵∠EDF =90°，点O 为EF 的中点，
∴OD =OE =OF =OA ，
∵∠ADG =90°，
∴∠GAO +∠AGD =∠ADO +∠GDO ，
∵OA =OD ，
∴∠OAD =∠ODA ，
∴∠AGD =∠ODG ，
∴OA =OD =OA ，
∴AG 为圆O 的直径，即点G 在圆O 上，
∴∠EGF =90°，故③正确；
设AF =x ，则BE =AF =x ，AE =6-x ，
∵OA =OG =OE =OF ，
∴四边形AEGF 是平行四边形，
∵∠EAF =90°，
∴四边形AEGF 是矩形，
∴四边形AEGF 的面积=()()2
26639AE AF x x x x x ⋅=-=-+=--+，∴当x =3时，四边形AEGF 的面积有最大值，最大值为9，
故④错误；正确的有①②③．故选：A ．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质，矩形的判定及性质，二次函数的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11.分解因式：2416x -=_____________．
【11题答案】【答案】4（x +2）（x -2）【解析】
【分析】先提取公因式4，再对()24x -利用平方差公式继续进行因式分解．
【详解】解：4x 2-16=4（x 2-4）=4（x +2）（x -2）
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，解题的关键在于提取公因式后继续利用平方差公式继续进行二次因式分解，牢记分解因式一定要彻底．
12.2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内一共吸引了约5万名数学爱好者参加．数据“5万”用科学记数法表示为______．
【12题答案】【答案】4510⨯【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法进行改写即可．
【详解】5万4
50000510==⨯故答案为：4510⨯．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为10
(1||10)n a a ⨯≤<，n 为整数，正确确定a 的值是解题的关键．13.用弧长为10π，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的侧面积为______．
【13题答案】【答案】
75π【解析】【分析】首先利用扇形的弧长公式求得扇形的半径，然后求得扇形的面积即为圆锥的侧面积．
【详解】解：设扇形的半径为r ，根据题意得：12010180r ππ=，
解得：15r =，∴圆锥的侧面积为21201575360
ππ⨯=．故答案为：75π．
【点睛】本题主要考查了圆锥的计算及弧长的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解题的关键是牢记公式并正确的运算，．
14.请写出一个二次函数表达式，使其函数图象与x 轴没有交点：______．
【14题答案】【答案】
21y x =+（答案不唯一）【解析】【分析】满足抛物线开口向上时，顶点坐标在x 轴上方或抛物线开口向下时，顶点坐标在x 轴下方．
【详解】解：∵y =x 2+1的开口向上，顶点坐标为（0，1），
∴抛物线y =x 2+1与x 轴无交点，
故答案为：
21y x =+（答案不唯一）．【点睛】本题考查抛物线与x 轴交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
15.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为___升．
【15题答案】【答案】18【解析】
【分析】先将单位换成升，根据：“50单位的粟，可换得30单位的粝”可得“1单位的粟，可换得35
单位的粝”，故可求解．【详解】解：根据题意得：3斗＝30升，
∵“50单位的粟，可换得30单位的粝”，
∴30升的粟，可换得粝的数量为30×35
=18升故选：18．【点睛】本题考查有理数乘除的应用，本题首先要弄清题意，得到“1单位的粟，可换得
35单位的粝”是解题的关键．16.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 、F 分别边BC 、CD 上一点，EF ⊥AE ，将△ECF 沿EF 翻折得△EC ′F ，连接AC ′，当BE ＝___时，△AEC ′是以AE 为腰的等腰三角形．
【16题答案】【答案】78或43##43或78
【解析】【分析】设BE =x ，则EC =4-x ，由翻折得：EC′=EC =4-x ．当AE =EC′时，由勾股定理得：32+x 2=（4-x ）2；当AE =AC’时，作AH ⊥EC’，由∠AEF =90°，EF 平分∠CEC′可证得∠AEB =∠AEH ，则△ABE ≌△AHE ，所以BE =HE =x ，由三线合一得EC′=2EH ，即4-x =2x ，解方程即可．
【详解】解：设BE =x ，则EC =4-x ，
由翻折得：EC′=EC =4-x ，当AE =EC′时，AE =4-x ，
∵∠B =90°，
由勾股定理得：32+x 2=（4-x ）2，解得：7
8x ，
当AE =AC′时，如图，作AH ⊥EC′
∵EF ⊥AE ，
∴∠AEF =∠AEC′+∠FEC′=90°，
∴∠BEA +∠FEC =90°，
∵△ECF 沿EF 翻折得△ECF ，
∴∠FEC′=∠FEC ，
∴∠AEB =∠AEH ，
∵∠B =∠AHE =90°，AE =AE ，
∴△ABE ≌△AHE （AAS ），
∴BE =HE =x ，
∵AE =AC′时，作AH ⊥EC′，
∴EC′=2EH ，
即4-x =2x ，解得78
x =，综上所述：BE =
78或43
．故答案为：78或43．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想和分类讨论思想．当AE =AC ′时如何列方程，有一定难度．
17.扇形OBM 为14
个圆，∠ACB ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，则O 的半径为______．
【17题答案】【答案】解析】
【分析】延长BO 将O 于点D ，连接AD ，根据90ACB ∠=︒，BD O 的直径得到C 、A 、D 在一条直线上，由垂径定理求得AB AD =，
根据勾股定理求出AB 的长度，也就得到了AD 的长度，再证
BCD AOD ∽，利用相似三角形的性质得到CD BD OD AD =，进而求出OD 的长度，即可求解．
【详解】解：如下图，延长BO 将O 于点D ，连接AD ．
∵90ACB ∠=︒，BD O 的直径，
∴C 、A 、D 在一条直线上．
∵90BAO
∠=︒，BO OD =,∴
AB AD =．在Rt ACB 中，5AC ＝，12BC ＝，
∴
13
AB ===
∴
13AD AB ==．在Rt BCD 和Rt AOD △中
90BCD AOD ∠=∠=︒，BDC ADO ∠=∠，
∴BCD AOD ∽，∴
CD BD OD AD
=，∴2CA AD OD OD AD +=，∴()()2213135234OD AD CA AD =+=⨯+=，
∴OD
=，
即O 的半径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质．画出辅助线构建相似三角形，求出C 、A 、D 在一条直线上是解答关键．
18.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，D 是BC 的中点，连接AD ，过点C 作CF ⊥AD 交AB 于F ，则△ABD 的面积为______，BF ＝______．
【18题答案】【答案】①.3②.4017
【解析】【分析】过D 作DG ⊥AB 于G ，利用勾股定理和三角函数解Rt △ABC ，Rt △DBG ，Rt △ACD ，Rt △ACE ，Rt △ADG ，Rt △AEF ，求得AF 即可解答；
【详解】解：过D 作DG ⊥AB 于G ，
∵DB =DC ，AC ⊥BC ，∴S △BDA =S △CDA =12S △ABC =1134322
⨯⨯⨯=；
Rt △ABC 中由勾股定理得：AB 5=，
∴cos ∠B =
BC AB =45，sin ∠B =AC AB =35
，Rt △DBG 中，BD =2，则BG =2×cos ∠B =85，DG =2×sin ∠B =65，
Rt △ACD 中，AC =3，CD =2，则AD =
∴cos ∠CAD
，
Rt △ACE 中，AC =3，则AE =3×cos ∠CAE
Rt △ADG 中，AG =AB -BG =5-8
5=175，AD cos ∠DAG ，
Rt △AEF 中，AE
，则AF 451717=，∴BF =AB -AF =5-
4517=4017
，故答案为：3，4017；【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.
计算：
（1）211sin 452-⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭
；（2）()()()2122--+-x x x ．
【19题答案】【答案】（1）
32+（2）52x -【解析】【分析】（1）化简绝对值，45°的正弦，负整数指数后，再合并；
（2）用完全平方公式展开后合并同类项．
【小问1详解】
21
1sin 452-⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭
142=--+32
=+；【小问2详解】()()()
2122--+-x x x ()22214x x x =-+--22214x x x =-+-+52x =-．
【点睛】本题考查了实数的计算和乘法公式，解决问题的关键是熟练掌握实数的化简法则，运算顺序，熟练掌握完全平方公式和平方差公式．
21.（1）解方程：2420x x --=；
（2）解方程：53212x x =+-．【21题答案】【答案】（1）
126x =+，226x =-；（2）13x =-【解析】【分析】（1）按配方法解一元二次方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项、合并同类项并系数化为1的步骤解分式方程，并对结果进行检验．
【详解】（1）解：2420x x --=，
24424x x -+=+，
2(26)x -=，
26x -=±，
∴126x =+，226x =-；
（2）解：53212
x x =+-，去分母，得
()()52321x x -=+，去括号，得51063x x -=+，
移项、合并同类项并系数化为1，得
13x =-，经检验，13x =-是该方程的解．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程及分式方程的解法，熟练掌握一元二次方程与分式方程的解题方法和步骤是解题关键．
22.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝20，BC ＝DC ＝102
（1）求证：△ABC ≌△ADC ；
（2）当∠BCA ＝45°时，求∠BAD 的度数．
【22题答案】【答案】（1）见详解；（2）60°【解析】
【分析】（1）通过SSS 证明△ABC ≌△ADC ，即可；
（2）先证明AC 垂直平分BD ，从而得BOC 是等腰直角三角形，求出BO =10，从而得BD =20，ABD △是等边三角形，进而即可求解．
【详解】（1）证明：在△ABC 和△ADC 中，
∵AB AD BC DC
AC AC ⎧⎪⎨⎪=⎩
＝＝
∴△ABC ≌△ADC （SSS ），
（2）连接BD ，交AC 于点O ，
∵△ABC ≌△ADC ，
∴AB =AD ，BC =DC ，
∴AC 垂直平分BD ，即：∠AOB =∠BOC =90°，
又∵∠BCA ＝45°，
∴BOC 是等腰直角三角形，
∴BO =BC =10，∴BD =2BO =20，
∵AB ＝AD ＝20，
∴ABD △是等边三角形，
∴∠BAD =60°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握垂直平分线的判定定理，是解题的关键．
23.圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分
超过31.4万亿位．有学者发现，随着
π小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．
（1）从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为________；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）【23题答案】【答案】（1）110；（2）见解析，12【解析】
【分析】(1)这个事件中有10种等可能性,其中是6的有一种可能性,根据概率公式计算即可;
(2)画出树状图计算即可.
【详解】（1）∵这个事件中有10种等可能性,其中是6的有一种可能性,
∴数字是6的概率为110
,
故答案为：110
；（2）解：画树状图如图所示：
∵共有12种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的画像有6种情况．
∴P （其中有一幅是祖冲之）61122
==．【点睛】本题考查了概率公式计算，画树状图或列表法计算概率，熟练掌握概率计算公式，准确画出树状图或列表是解题的关键．
24.为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：A ．党史宣讲；B ．歌曲演唱；C ．校刊编撰；D ．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了统计图表（不完整）．
各组参加人数情况统计表小组类别A B C D
人数（人）10a 155
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）则a ＝______，m ＝______；
（2）求扇形统计图中D 所对应的圆心角度数；
（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示：小组类别A B C D
平均用时（小时） 2.5323
求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间．
【24题答案】【答案】（1）20，20（2）扇形统计图中D 所对应的圆心角度数为36°
（3）这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间是2.6小时【解析】
【分析】
（1）根据C 组人数和比例求得总人数，再计算求值即可；（2）根据圆心角度数=本组人数÷总人数×360°计算即可；
（3）根据每组的人数和时间求加权平均数即可；
【小问1详解】解：由C 组人数和所占比例可得：总人数=15÷30%=50人，
∴a =50-10-15-5=20人，A 组人数的百分比=10÷50×100%=20%，故a =20，m =20；【小问2详解】
解：D 组人数的圆心角=53603650
⨯︒=︒；【小问3详解】解：∵()110 2.520315253 2.650
x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯=（小时），∴这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间是2.6小时．
【点睛】本题考查了统计表和扇形图的关联求值，扇形圆心角的计算，加权平均数的计算；掌握相关概念的计算方法是解题关键．
26.问题提出：在△ABC 中，线段AB ＝a ，在线段AB 上作两点E 、F （不包括A 、B ），使△CEF 的周长为a ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
自主探究：已知△ABC 是等边三角形，线段AB ＝a ，请在△ABC 的外接圆上找一点P ，在线段AB 上作两点E 、F （不包括A 、B ），使△PEF 周长为a ，且∠EPF ＝60°．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
能力提升：如图，已知△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝6，则△ABC 周长的最大值为______．
【26题答案】【答案】问题提出：见解析；自主探究：见解析；能力提升：18【解析】
【分析】问题提出：作线段AC 的垂直平分线，交AB 于E ，再作BC 的垂直平分线交AB 于F ；连接CE ，CF ，则△CDE 为所求的三角形
自主探究：在劣弧AB 上任意取一点P ，连接PA ，PB ，作线段PA ，PB 的垂直平分线分别交AB 于点E ，F ，连接PE ，PF ，△PEF 即为所求；能力提升：当△ABC 是等边三角形时，周长最大，由此可得结论．
【详解】问题提出：如图1中，△DEF 即为所求；
自主探究：如图2中，△PEF 即为所求．
能力提升：∵∠A =60°，BC =6，
∴当AB =AC 时，△ABC 是等边三角形，此时周长最大，最大值为18．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27.如图，在ABC 中，CA CB =，BC 与A 相切于点D ，过点A 作AC 的垂线交CB 的延长线于点E ，交A 于点F ，连结BF ．
（1）求证：BF 是A 的切线．
（2）若5BE =，20AC =，求EF 的长．
【27题答案】【答案】（1）见解析；（2）3【解析】
【分析】（1）连接AD ，根据题意证明ABF ABD △△≌，即可证明BF 是A 的切线；
（2）根据题意即（1）的结论可得BEF
CEA △∽△，列比例求出FB 的长，根据勾股定理求EF 即可．【详解】（1）证明如图，连接AD ，
CA CB = ，
CAB ABC ∴∠=∠，
AE AC ⊥ ，
90CAB EAB ∴∠+∠=︒
又A Q e 切BC 于点D ，
=90ADB ∴∠︒，
90ABD BAD ∴∠+∠=︒，
BAE BAD ∴∠=∠．
又AB AB =Q ，AF AD =，
()ABF ABD SAS ∴△△≌，
90AFB ADB ∴∠=∠=︒，
BF ∴是A 的切线．
（2）由（1）得：90AFB FAC ∠=∠=︒，
//BF AC ∴，
BEF CEA ∴△∽△，
BE BF CE CA
∴=，
20CB CA == ，5BE =，
552020BF ∴=+，
4BF ∴=，
3EF ∴===．
【点睛】本题主要考查圆切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟知知识点、作出合理辅助线是解决本题的关键．
28.某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y （件）是关于售价x （元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x ，周销售量y ，周销售利润W （元）的三组对应值数据．x 407090
y 1809030
W 360045002100
（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a （元/件），售价x 为多少时，周销售利润W 最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m （元/件）（0m >）
，公司为回馈消费者，规定该商品售价x 不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m 的值．
【28题答案】【答案】（1）
3300y x =-+；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）5m =【解析】【分析】（1）①依题意设y=kx+b ，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得(3300)()W x x a =-+-，再由表格数据求出20a =，得到
2(3300)(20)3(60)4800W x x x =-+-=--+，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；
（3）根据题意得3(100)(20)(55)W x x m x =----，由于对称轴是直线60602
m x =+>，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）设y kx b =+，由题意有
401807090k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得3300
k b =-⎧⎨=⎩，所以y 关于x 的函数解析式为3300y x =-+；
（2）由（1）(3300)()W x x a =-+-，又由表可得：
3600(340300)(40)a =-⨯+-，20a ∴=，
22(3300)(20)336060003(60)4800
W x x x x x ∴=-+-=-+-=--+．。