泰尔指数不同计算公式的比较

量可为地域变量 ( 如 不 同 国பைடு நூலகம்家、 不 同 省 市、 城 市 或 农
村) 、性别、民族、教育程度、不同收入组等ꎮ 当把数据
组的比重相同ꎮ
１ 泰尔指数的定义
在分组数据中ꎬ广义不公平指标的定义 [４] 为:
不平等指标族基于“ 熵” 的概念ꎮ 在热力学中ꎬ熵
是混乱或无序的测量ꎬ当应用到收入分布中ꎬ熵意味着
∑
Ｑ
ｉ ＝１
(６)
ｉ
文献[５ － １０] 用泰尔 Ｌ 指数分析了卫生资源相关
的公平性ꎮ
当 α ＝ １ 时ꎬＥ′(１) 称为泰尔指数ꎬ也称为泰尔 Ｔ
指数:
(３)
当收入 ｙ ｉ 为 ０ 时无定义ꎮ 此时一种方法是把 ０ 收
入用任意小的数值代替ꎬ此时 Ｅ(１) 的极大值近似于
ｌｎ( ｎ) ꎮ
由于泰尔指数的取值并不在 ０ ~ １ 范围内ꎬ不利于
的分解ꎬ分析不公平是来自于地州( 组间) ꎬ还是来自
于县( 市) ( 组内) ꎮ 泰尔指数的分解:
Ｑ
＝ ∑ Ｑ ｉ ｌｎ ｉ ＋ ∑ Ｑ ｉ ＴＩ ｉ
Ｐｉ
ｉ ＝１
ｉ ＝１
ｋ
ＴＩ 总 ＝ ＴＩ 组间 ＋ ＴＩ 组内
ｋ
(８)
其中 Ｐ ｉ 为第 ｉ 个地州人口占全省人口的比重ꎬＱ ｉ
为第 ｉ 个地州的卫生服务利用指标占全省总卫生服务
不同组收入(也可是健康或卫生服务利用) 所占比重ꎮ
１
(１)
∑ ( ｙｙｉ ) α － １
ｎ( α２ － α) ｉ
其中 ｙ ｉ 为第 ｉ 个个体的收入ꎮ ｙ为平均收入ꎮ
Ｅ(０) ＝ －
ｙｉ
ｙｉ
Ｅ(１)
１
＝
(
) ｌｎ(
)
∑
ｍａｘＥ(１)
ｎ( ｌｎｎ) ｉ
ｙ
ｙ
分组后ꎬ公平性意味着各组人口比重和分析变量在各
∑
ｎ ｉ
ｙ
文献[２ － ３] 用此指数分析居民收入差距ꎮ
当 α ＝ １ 时ꎬＥ(１) 称为泰尔指数:
ｙｉ
ｙｉ
１
ＴＩ ＝ Ｅ(１) ＝ ∑ (
) ｌｎ(
)
ｎ ｉ
ｙ
ｙ
Ｅ′( α) ＝
１
Ｑｉ α
∑
(
) －１
( α２ － α) ｉ ＝１
Ｐｉ
ｋ
[
]
(５)
式中 Ｐ ｉ 为不同组中人口数占总人口数的比重ꎻＱｉ 为
人口的比重ꎮ 则上式为:
ｋ
ｑ
ＴＩ 个体 ＝∑ Ｑ 县ｌ ＴＩ ｌ个体
ｌ ＝１
ｑ
＝∑ (
ｌ ＝１
ｑ
＝∑ (
ｌ ＝１
ｎ 县ｌ ｙ
县ｌ
)(
) ＴＩ
ｎ
ｙ
ｌ
个体
县ｌ
ｎ 县ｌ ｙ
ｙ 县ｌｔ
ｙ 县ｌｔ
１
县ｌ
)(
)∑(
)(
) ｌｎ(
)
ｎ
ｙ ｔ ＝１ ｎ 县ｌ ｙ 县ｌ
ｙ 县ｌ
ｎ
ｎ
ｑ
县ｌ
ｙ 县ｌｔ
方 法
Ｅ( α) ＝
ＲＥ(１) ＝
△
(２)
Ｅ′(α)测量了组间收入比重和人口比重的符合程度ꎮ
α 取 值 不 同ꎬ 得 到 的 指 标 也 不 同ꎮ 当 α ＝ ０ 时ꎬ
Ｅ′(０) 称为泰尔第二测度( Ｔｈｅｉｌ’ ｓ ｓｅｃｏｎｄ ｍｅａｓｕｒｅ) ꎬ也
称为泰尔 Ｌ 指数:
Ｅ′(０) ＝
Ｐ
ｋ
Ｐ ｉ ｌｎ ｉ
对泰尔 Ｔ 指数和泰尔 Ｌ 指数进行了比较ꎮ
相对泰尔指数的取值范围在 ０ ~ １ 之间ꎮ
(４)
公式(３) 和(４) 是基于个体水平来计算指数的ꎬ如
果所有个体都有相同的收入ꎬ即绝对公平时ꎬ个体水平
和均值相同ꎬ此时泰尔指数为 ０ꎮ
(２) 分组数据泰尔指数的定义
实际应用中很多时候得到的是分组数据ꎮ 分组变
△通信作者:何利平ꎬＥ￣ｍａｉｌ:ｌｉｐｉｎｇｈｅ２＠ １２６ ｃｏｍ
类似ꎮ
(１) 分组数据泰尔指数的分解
如果要研究全省卫生服务利用的公平性ꎬ调查了
１２５
Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅａｌｔｈ ＳｔａｔｉｓｔｉｃｓꎬＦｅｂ. ２０２０ꎬＶｏｌ. ３７ꎬＮｏ. １
全省 ｋ 个地州共 Ｎ 个县( 市) 的数据ꎬ可通过泰尔指数
利用指标的比重ꎮ 再把每一个地州按县分组ꎬ每一个
地州用(７) 式计算得到的泰尔指数即为 ＴＩ ｉ ꎬ用 Ｑ ｉ 作为
权重ꎬ计算 ＴＩ ｉ 的加权和即为 ＴＩ 组内 ꎮ
如果记 Ｑ 县 ｉｊ 为第 ｉ 个地州的第 ｊ 个县( 市) 卫生服
务利用指标占第 ｉ 个地州卫生服务利用指标的比重ꎻ
Ｐ 县 ｉｊ 为第 ｉ 个地州的第 ｊ 个县( 市) 人口占第 ｉ 个地州
１
＝
ｙ 县ｌｔ ｌｎ(
)
∑
∑
ｎｙ ｌ ＝１ ｔ ＝１
ｙ 县ｌ
(１４)
其中 ＴＩ ｌ个体 为第 ｌ 个县的个体间的泰尔指数ꎻｑ 为
全省的县的个数ꎻＱ 县 ｌ 为第 ｌ 个县( 市) 卫生服务利用
指标占全省卫生服务利用指标的比重ꎻｎ 县 ｌ 为第 ｌ 个县
１２４
中国卫生统计 ２０２０ 年 ２ 月第 ３７ 卷第 １ 期
泰尔指数不同计算公式的比较 ∗
昆明医科大学公共卫生学院(６５０５００) 喻 箴 李晓梅 母凤婷 孟 琼 吴 騻 何利平
泰尔指数( Ｔｈｅｉｌ ｉｎｄｅｘ) 来源于物理学ꎬ又称泰尔
熵标准ꎬ是由经济学家 Ｔｈｅｉｌ 利用信息理论中熵的概
念于 １９７６ 年提出的评价公平性的指标ꎮ 泰尔指数最
初用于评价收入公平性ꎬ近年来在卫生服务公平性研
究中应用也较广泛ꎮ 不论是收入公平性评价还是卫生
服务利用公平性评价ꎬ不同文献中泰尔指数的计算公
式不同ꎬ甚至有的文献没有给出计算公式ꎮ 不同的计
算公式让人混淆ꎬ且得到的指标可比性差ꎮ 本文给出
了泰尔指数的定义ꎬ对不同的计算公式进行了介绍ꎬ并
异的数值度量ꎬ泰尔 Ｔ 指数和泰尔 Ｌ 指数均可被分解
值的比值:
为对总的不公平测量的组间贡献和组内贡献ꎮ 下面以
泰尔 Ｔ 指 数 分 解 为 例 介 绍ꎬ 泰 尔 Ｌ 指 数 分 解 与 之
∗ 基金项目:国家自然科学基金(８１１６０３６４) ꎻ耶鲁大学合作课题( 云南
省女性健康公平性和卫生服务利用公平性研究)
ＴＩ ＝ Ｅ′(１) ＝
ｋ
Ｑ
Ｑ ｉ ｌｎ ｉ
∑
Ｐ
ｉ ＝１
ｉ
(７)
文献[１１ － １３] 用泰尔 Ｔ 指数进行公平性评价ꎮ
如果要了解不公平主要是来自于组间还是组内ꎬ
可对泰尔指数进行分解ꎮ
２ 泰尔指数的分解
作为卫生服务利用分布结构和人口分布结构的差
比较ꎮ 相对泰尔指数( ＲＥ) 定义为泰尔指数与其最大
和完全公平的偏离ꎮ
(１) 未分组数据泰尔指数的定义
广义不公平指标的定义为
[１]
:
[
]
α 取 值 不 同ꎬ 得 到 的 指 标 也 不 同ꎮ 当 α ＝ ０ 时ꎬ
Ｅ(０) 称为泰尔零阶指数ꎬ 也称为对数偏差均值指数
( ｍｅａｎ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｄｅｖｉａｔｉｏｎꎬＭＬＤ) :
ｙｉ
１
ｌｎ(
)