【物理】2020届一轮复习人教版电磁感应中的电路电荷量及图象问题学案

2020届一轮复习人教版 电磁感应中的电路、电荷量及图象问题 学案
[课时要求] 1.掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和解题基本思路.2.掌握电磁感应电路中感应电荷量求解的基本思路和方法.3.综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应的图象问题.
一、电磁感应中的电路问题
1.明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体就相当于电源，其他部分是外电路.
2.画等效电路图，分清内、外电路.
3.用法拉第电磁感应定律E ＝n ΔΦ
Δt 或E ＝Blv 确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流
的方向.注意在等效电源内部，电流方向从负极流向正极.
4.运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解.
例1 固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd 边长为L ，其中ab 是一段电阻为R 的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可以忽略的铜线.磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里.现有一段与ab 段的材料、粗细、长度均相同的电阻丝PQ 架在导线框上(如图1所示).若PQ 以恒定的速度v 从ad 滑向bc ，当其滑过L
3的距离时，通过aP 段的电流是多大？方向如何？
图1
答案 6BvL
11R 方向由P 到a
解析 PQ 在磁场中做切割磁感线运动产生感应电动势，由于是闭合回路，故电路中有感应电流，可将电阻丝PQ 视为有内阻的电源，电阻丝aP 与bP 并联，且R aP ＝13R 、R bP ＝2
3R ，于是可画出如图所示的等效电路图.
电源电动势为E ＝BLv ，外电阻为R 外＝R aP R bP R aP ＋R bP ＝2
9R .
总电阻为R 总＝R 外＋r ＝11
9R .
电路中的电流为：I ＝
E R 总＝9BLv 11R
. 通过aP 段的电流为：I aP ＝
R bP R aP ＋R bP
I ＝6BvL
11R ，方向由P 到a .
[学科素养] 本题考查了电磁感应中的电路问题.正确画出等效电路图是解题的关键，所以要熟记以下两点：(1)“切割”磁感线的导体(或磁通量发生变化的线圈)相当于“电源”.(2)在“电源”内部电流从负极流向正极.解决本题的思路是：先确定“电源”，画出等效电路图，再利用闭合电路欧姆定律计算总电流，然后根据电路的串、并联关系求出aP 段中的电流，通过这样的分析培养了学生的综合分析能力，很好地体现了“科学思维”的学科素养.
针对训练 如图2所示，均匀的金属长方形线框从匀强磁场中以速度v 匀速向右拉出，它的两边固定有带金属滑轮的导电机构，金属框向右运动时总是与两边良好接触，一理想电压表跨接在PQ 两导电机构上，当金属框向右匀速拉出的过程中，已知金属框的长为a ，宽为b ，磁感应强度为B ，则电压表的读数( )
图2
A.恒定不变，为Bbv
B.恒定不变，为Bav
C.变大
D.变小 答案 C
解析 当金属框向右匀速拉出的过程中，线框左边切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，其余部分是外电路.由公式E ＝Blv 知，左边产生的感应电动势等于Bbv ，保持不变，线框中感应电流也不变，而PQ 右侧的电阻增大，由欧姆定律U ＝IR 知，PQ 间的电压增大，则电压表的读数变大.根据闭合电路欧姆定律知，PQ 间的电压必定小于Bbv ，C 项正确，A 、B 、D 错误.
二、电磁感应中的电荷量问题
闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt 内迁移的电荷量(感应电荷量)q ＝I ·Δt ＝E
R 总·Δt ＝n ΔΦΔt ·1R 总·Δt ＝n ΔΦR 总
.
(1)从上式可知，线圈匝数一定时，感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关. (2)求解电路中通过的电荷量时，I 、E 均为平均值.
例2 一个阻值为R 、匝数为n 的圆形金属线圈与阻值为2R 的电阻R 1、电容为C 的电容器连接成如图3(a)所示回路.金属线圈的半径为r 1，在线圈中半径为r 2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B 随时间t 变化的关系图线如图(b)所示.图线与横、纵轴的截距分别为t 0和B 0.导线的电阻不计.求：
图3
(1)通过电阻R 1的电流大小和方向； (2)0～t 1时间内通过电阻R 1的电荷量q ； (3)t 1时刻电容器所带电荷量Q . 答案 (1)n πB 0r 2
2
3Rt
方向从b 到a (2)n πB 0r 2
2t 1
3Rt
(3)2n πCB 0r 2
2
3t
解析 (1)由B －t 图象可知，磁感应强度的变化率为： ΔB Δt ＝B 0
t 0
， 根据法拉第电磁感应定律，感应电动势： E ＝n ΔΦΔt ＝n πr 2 2ΔB Δt
＝n πB 0r 2
2
t 0
根据闭合电路的欧姆定律，感应电流为：I ＝E 3R 联立解得：I ＝n πB 0r 2
2
3Rt
根据楞次定律可知通过R 1的电流方向为从b 到a . (2)通过R 1的电荷量q ＝It 1得：q ＝n πB 0r 2
2t 1
3Rt
(3)电容器两板间电压为：U ＝IR 1＝2n πB 0r 2
2
3t
则电容器所带的电荷量为：Q ＝CU ＝2n πCB 0r 2
2
3t
.
例3 (2018·全国卷Ⅰ)如图4，导体轨道OPQS 固定，其中PQS 是半圆弧，Q 为半圆弧的中点，O 为圆心.轨道的电阻忽略不计.OM 是有一定电阻、可绕O 转动的金属杆，M 端位于PQS 上，OM 与轨道接触良好.空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B .现使OM 从OQ 位置以恒定的角速度逆时针转到OS 位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B 增加到B ′(过程Ⅱ).在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM 的电荷量相等，则B ′
B 等于( )
图4
A.54
B.32
C.74
D.2 答案 B
解析 在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，有 E 1＝ΔΦ1Δt 1＝B ⎝⎛⎭⎫12πr 2－14πr 2
Δt 1
根据闭合电路欧姆定律，有I 1＝E 1
R ，q 1＝I 1Δt 1 在过程Ⅱ中，有E 2＝ΔΦ2
Δt 2＝(B ′－B )1
2πr 2
Δt 2
I 2＝E 2
R ，q 2＝I 2Δt 2
又q 1＝q 2，即B ⎝⎛⎭
⎫12πr 2－14πr 2R ＝(B ′－B )12πr 2
R 所以B ′B ＝32.
三、电磁感应中的图象问题 1.问题类型
(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象. (2)由给定的图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量. 2.图象类型
(1)各物理量随时间t 变化的图象，即B －t 图象、Φ－t 图象、E －t 图象和I －t 图象.
(2)导体切割磁感线运动时，还涉及感应电动势E 和感应电流I 随导体位移变化的图象，即E －x 图象和I －x 图象.
3.解决此类问题需要熟练掌握的规律：安培定则、左手定则、楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律、欧姆定律等.
例4 在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向如图5甲所示，当磁场的磁感应强度B 随时间t 按图乙变化时，图中能正确表示线圈中感应电动势E 变化的是( )
图5
答案 A
解析 由题图乙知，0～1s 内磁通量向上均匀增加，根据楞次定律知，电流方向为正且保持不变；1～3s 内磁通量不变，故感应电动势为0；3～5s 内磁通量向上均匀减少，由楞次定律知，电流方向为负且保持不变.由法拉第电磁感应定律知，感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比，所以3～5s 内的感应电动势是0～1s 内的感应电动势的1
2，故选项A 正确.
本类题目线圈面积不变而磁场发生变化，可根据E ＝n ΔB Δt S 判断E 的大小及变化，其中ΔB
Δt
为B －t 图象的斜率，且斜率正、负变化时对应电流的方向发生变化.
例5 (2018·全国卷Ⅱ)如图6所示，在同一水平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l ，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下.一边长为3
2l 的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动.线框中感应电流i 随时间t 变化的正确图线可能是( )
图6
答案 D
解析 设线路中只有一边切割磁感线时产生的感应电流为I 0.
线框位移 等效电路的连接
电流 0～l
2
I ＝2I 0(顺时针)
l 2～l I ＝0 l ～3l 2 I ＝2I 0(逆时针)
3l 2～2l
I ＝0
分析知，只有选项D 符合要求.
1.(电磁感应中的电路问题)(多选)(2018·慈溪市高二上学期期中)如图7所示，虚线框内是磁感应强度为B 的匀强磁场，用同种导线制成的正方形线框abcd 的边长为L (L 小于磁场宽度d )，线框平面与磁场方向垂直，线框的ab 边与磁场左边界平行.导线框以恒定速度v 水平向右运动，当ab 边刚进入磁场时，ab 两端的电势差大小为U 1；当cd 边刚进入磁场时，ab 两端的电势差大小为U 2，则( )
图7
A.U 1＝BLv
B.U 1＝3
4BLv C.U 2＝BLv D.U 2＝34BLv
答案 BC
解析 ab 边进入磁场切割磁感线，产生的感应电动势E ＝BLv ，ab 两端的电势差大小U 1＝34E ＝3
4BLv .当cd 边刚进入磁场时，回路中无感应电流，则ab 两端的电势差大小为U 2＝BLv .
2.(电磁感应中的电荷量问题)如图8所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a 的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B .一半径为b (b ＞a )、电阻为R 的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合.当内、外磁场同时由B 均匀地减小到零的过程中，通过导线环横截面的电荷量为( )
图8
A.πB |b 2－2a 2|R
B.πB (b 2＋2a 2)
R
C.πB(b2－a2)
R D.
πB(b2＋a2)
R
答案 A
解析开始时穿过导线环向里的磁通量设为正值，Φ1＝Bπa2，则向外的磁通量为负值，Φ2＝－B·π(b2－a2)，总的磁通量为它们的代数和(取绝对值)Φ＝B·π|b2－2a2|，末态总的磁通量为Φ′＝0，由法拉第
电磁感应定律得平均感应电动势为E＝ΔΦ
Δt
，通过导线环横截面的电荷量为q＝
E
R·Δt＝
πB|b2－2a2|
R，
A项正确.
3.(电磁感应中的图象问题)如图9所示，两条平行虚线之间存在匀强磁场，虚线间的距离为l，磁场方向垂直纸面向里，abcd是位于纸面内的梯形线圈，ad与bc间的距离也为l，t＝0时刻bc边与磁场区域边界重合.现令线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域，取沿abcda方向为感应电流正方向，则在线圈穿越磁场区域的过程中，感应电流I随时间t变化的图线可能是()
图9
答案 B
解析bc边进入磁场时，根据右手定则判断出其感应电流的方向是沿adcba方向，其方向与电流的正方向相反，故是负的，所以A、C错误；当线圈逐渐向右移动时，切割磁感线的有效长度变大，故感应电流在增大；当bc边穿出磁场区域时，线圈中的感应电流方向变为abcda，是正方向，故其图象在时间轴的上方，所以B正确，D错误.
4.(电磁感应中的图象问题)如图10甲所示，矩形线圈abcd位于匀强磁场中，磁场方向垂直线圈所在平面，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示.以图中箭头所示方向为线圈中感应电流i的正方向，以垂直于线圈所在平面向里为磁感应强度B的正方向，则下列图中能正确表示线圈中感应电流i随时间t变化规律的是()
答案 C
解析 由B －t 图象可知，0～1s 时间内，B 增大，Φ增大，感应电流的磁场与原磁场方向相反(感应电流的磁场方向向外)，由楞次定律知，感应电流是逆时针的，因而是负值；同理可知2～3s 内感应电流是正值.再由法拉第电磁感应定律和欧姆定律得：I ＝E R ＝ΔΦR Δt ＝S R ·ΔB
Δt ，所以线圈中的感应电流决定于磁感应强度
B 随t 的变化率，B －t 图象的斜率为ΔB
Δt
，故在2～3s 内感应电流的大小是0～1s 内的2倍.C 正确.
一、选择题
考点一 电磁感应中的电路问题
1.如图1所示，设磁感应强度为B ，ef 长为l ，ef 的电阻为r ，外电阻为R ，其余电阻不计.当ef 在外力作用下向右以速度v 匀速运动时，ef 两端的电压为( )
图1
A.Blv
B.BlvR R ＋r
C.Blvr
R ＋r
D.Blvr R
答案 B
2.如图2所示，由均匀导线制成的半径为R 的圆环，以速度v 匀速进入一磁感应强度大小为B 的有直线边界(图中竖直虚线)的匀强磁场.当圆环运动到图示位置(∠aOb ＝90°)时，a 、b 两点的电势差为( )
A.2BRv
B.
2
2BRv C.
2
4BRv D.
32
4BRv
答案 D
解析设整个圆环的电阻为r，位于题图所示位置时，电路的外电阻是
3
4r.而在磁场内切割磁感线的有效长度是2R，其相当于电源，E＝B·2R·v，根据欧姆定律可得U＝
3
4r
r E＝
32
4BRv，选项D正确.
3.粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行.现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框的一边a、b两点间电势差的绝对值最大的是()
答案 B
解析磁场中切割磁感线的边相当于电源，外电路可看成由三个相同电阻串联形成，A、C、D选项中a、b 两点间电势差的绝对值为外电路中一个电阻两端的电压：U＝
1
4E＝
Blv
4，B选项中a、b两点间电势差的绝对值为路端电压：U′＝
3
4E＝
3Blv
4，所以a、b两点间电势差的绝对值最大的是B选项.
4.如图3所示，竖直平面内有一金属圆环，半径为a，总电阻为R(指剪开拉直时的电阻)，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直穿过环平面.环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为
R
2的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时AB两端的电压大小为()
图3
A.
Bav
3B.
Bav
6C.
2Bav
3 D.Bav
答案 A
解析导体棒AB摆到竖直位置时，AB切割磁感线的瞬时感应电动势E＝B·2a·
1
2v＝Bav.外电路电阻大小为
R
2·
R
2
R
2＋
R
2
＝
R
4，由闭合电路欧姆定律有|U AB|＝
E
R
2＋
R
4
·
R
4＝
1
3Bav，故选A.
考点二 电磁感应中的电荷量问题
5.如图4所示，将一个闭合金属圆环从有界磁场中匀速拉出，第一次速度为v ，通过金属圆环某一横截面的电荷量为q 1，第二次速度为2v ，通过金属圆环某一横截面的电荷量为q 2，则( )
图4
A.q 1∶q 2＝1∶2
B.q 1∶q 2＝1∶4
C.q 1∶q 2＝1∶1
D.q 1∶q 2＝2∶1
答案 C
6.物理实验中，常用一种叫做“冲击电流计”的仪器测定通过电路的电荷量.如图5所示，探测线圈与冲击电流计串联后可用来测定磁场的磁感应强度.已知线圈的匝数为n ，面积为S ，线圈与冲击电流计组成的回路总电阻为R .若将线圈放在被测匀强磁场中，开始时线圈平面与磁场垂直，现把探测线圈翻转180°，冲击电流计测出通过线圈的电荷量为q ，由上述数据可测出被测磁场的磁感应强度为( )
图5
A.qR S
B.qR nS
C.qR 2nS
D.qR 2S 答案 C
解析 由题意知q ＝I ·Δt ＝E R ·Δt ＝n ΔΦΔt R Δt ＝n ΔΦR ＝n 2BS R ，则B ＝qR
2nS ，故C 正确.
7.(多选)如图6甲所示，静止在水平面上的等边三角形闭合金属线框，匝数n ＝20匝，总电阻R ＝2.5Ω，边长L ＝0.3m ，处在两个半径均为r ＝0.1m 的圆形匀强磁场中，线框顶点与右侧圆心重合，线框底边与左侧圆直径重合.磁感应强度B 1垂直水平面向外，B 2垂直水平面向里，B 1、B 2随时间t 的变化如图乙所示，线框一直处于静止状态，计算过程中π取3，下列说法正确的是( )
图6
A.线框具有向左运动的趋势
B.t ＝0时刻穿过线框的磁通量为0.5Wb
C.t ＝0.4s 时刻线框中感应电动势为1.5V
D.0～0.6s 内通过线框横截面的电荷量为0.36C 答案 CD
解析 磁感应强度B 1增加，由楞次定律和右手定则可知，线框中的电流为顺时针方向，由左手定则可知，线框所受安培力方向向右，所以线框有向右运动的趋势，A 错误；由Φ＝BS 可知，t ＝0时刻，由磁场B 1产生的磁通量Φ1＝B 1·12πr 2＝0.03Wb ，方向向外，由磁场B 2产生的磁通量Φ2＝B 2·1
6πr 2＝0.005 Wb ，方向向里，所以穿过整个线框的磁通量Φ＝Φ1－Φ2＝0.025 Wb ，B 错误；根据法拉第电磁感应定律，t ＝0.4s 时刻线框中感应电动势E ＝n ΔB 1Δt ·12πr 2
＝1.5V ，C 正确；0～0.6s 内，通过线框横截面的电荷量q ＝
n ·ΔB 1·12πr 2R ＝0.36C ，D 正确. 考点三 电磁感应中的图象问题
8.如图7甲所示，一根电阻R ＝4Ω的导线绕成半径d ＝2m 的圆，在圆内部分区域存在变化的匀强磁场，中间S 形虚线是两个直径均为d 的半圆，磁感应强度随时间变化如图乙所示(磁场垂直于纸面向外为正，电流逆时针方向为正)，关于圆环中的感应电流—时间图象，下列选项中正确的是( )
图7
答案 C
解析 0～1s 内，感应电动势为：E 1＝S ΔB Δt ＝πd 22×21V ＝4πV ，感应电流大小为：I 1＝E 1R ＝4π4A ＝πA ，由
楞次定律知，感应电流为顺时针方向，为负值，故C 正确，A 、B 、D 错误.
9.(2018·慈溪市高二期中)如图8所示，有一等腰直角三角形形状的导线框abc ，在外力作用下匀速地经过一个宽为d (d 大于ac 边长)的有限范围的匀强磁场区域，导线框中产生的感应电流i 与沿运动方向的位移x 之间的函数图象是图中的(规定逆时针为电流正方向)( )
图8
答案 B
解析开始时导线框进入磁场切割磁感线，根据右手定则可知，电流方向为逆时针，当导线框开始出磁场时，回路中磁通量减小，产生的感应电流为顺时针；不论进入磁场还是出磁场时，由于切割的有效长度变小，导致产生的感应电流大小变小，故B正确，A、C、D错误.
10.(2018·宁波诺丁汉大学附中高二第一学期期中)如图9甲所示，矩形导线框abcd放在匀强磁场中静止不动，磁场方向与线框平面垂直，磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示.设t＝0时刻，磁感应强度的方向垂直纸面向里，则在0～4s时间内，选项图中能正确反映线框ab边所受的安培力F随时间t变化的图象是(规定ab边所受的安培力向左为正)()
图9
答案 D
二、非选择题
11.如图10所示，在垂直纸面向里的磁感应强度为B的有界矩形匀强磁场区域内，有一个由均匀导线制成的单匝矩形线框abcd，线框平面垂直于磁感线.线框以恒定的速度v垂直磁场边界向左运动，运动中线框dc边始终与磁场右边界平行，线框边长ad＝l，cd＝2l，线框导线的总电阻为R，则线框离开磁场的过程中，求：
图10
(1)流过线框横截面的电荷量q ； (2)cd 两点间的电势差U cd . 答案 (1)2Bl 2R (2)4Blv
3
解析 (1)线框离开磁场过程中，cd 边切割磁感线E ＝B ·2l ·v ，回路电流I ＝E R ＝2Blv
R ，流过线框横截面的电荷量q ＝I Δt ＝2Blv R ·l v ＝2Bl 2
R ；
(2)线框向左离开磁场，cd 边相当于电源，c 点为电源正极，外电阻R 外＝23R ，U cd ＝23E ＝4Blv
3.
12.如图11所示，导线全部为裸导线，半径为r 、两端开有小口的圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，一根长度大于2r 的导线MN 以速度v 在圆环上无摩擦地自左端匀速滑到右端，电路中固定电阻阻值为R ，其余部分电阻均忽略不计，试求MN 从圆环左端滑到右端的过程中：
图11
(1)电阻R 上的最大感应电流； (2)电阻R 上的平均感应电流； (3)通过电阻R 的电荷量.
答案 (1)2Brv
R (2)πBrv 2R (3)πBr 2R
解析 (1)MN 自左向右滑动时，切割磁感线的有效长度不断变化，当MN 经过圆心时，有效切割长度最长，此时感应电动势和感应电流达到最大值，所以I max ＝E max R ＝2Brv
R .
(2)E ＝ΔΦΔt
＝B πr 22r v ＝B πrv
2，I ＝E R ＝πBrv 2R .(由于MN 向右滑动中感应电动势和感应电流大小不断变化，
且不是简单线性变化，故不能通过E ＝BL v 求解平均值.)
(3)流过电阻R 的电荷量等于平均感应电流与时间的乘积，所以q ＝I Δt ＝ΔΦR ＝πBr 2
R .
13.(2018·温州十五校联合体第二学期期中)由粗细均匀金属丝制成的单匝线圈，其形状如图12所示，可视为由两个扇形拼接而成，每米金属丝的电阻为0.1Ω，两个扇形所对应的圆心角都为θ＝4
11rad ，Oa ＝Of ＝7cm ，Ob ＝Oc ＝5cm ，Od ＝Oe ＝3cm.线圈固定在一绝缘的水平转盘上，扇形的圆心与转轴重合.转盘一半处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为1T ，转轴刚好在磁场边界上，现让转盘以角速度ω＝100rad/s 顺时针匀速转动.求：
图12
(1)回路的总电阻；
(2)ef 边刚进入磁场时线圈中的电流的大小和方向；
(3)cd 边刚进入磁场时线圈中的电流大小以及此时ef 两点间的电压U ef . 答案 (1)0.016Ω (2)12.5A 逆时针 (3)7.5A 0.17V
解析 (1)由题意可知单匝线圈总长l ＝0.16m ，回路总电阻R ＝0.016Ω. (2)ef 边刚进入磁场时，由右手定则可知，电流为逆时针方向. E ＝Bl ef v ，v ＝ωOe ＋Of
2
，得E ＝0.2V
I ＝E
R ＝12.5A
(3)当cd 边刚进入磁场时，E ′＝B (l ef －l cd )v ′，v ′＝ωOa ＋Ob
2
，得E ′＝0.12V
I ′＝E ′
R ＝7.5A U ef ＝E －I ′r ef ＝0.17V.。