等比数列的前n项和学案

2.5等比数列的前n 项和学案
预习案（限时20分钟）
学习目标：
1 .理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；
2 .掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题.
学习重点：等比数列的前n 项和公式的推导及其简单应用;
学习难点：等比数列的前n 项和公式的推导.
预习指导：请根据任务提纲认真预习课本
❖ 等比数列前n 项和公式的推导
探究1 阅读教材后，完成下面等比数列前n 项和公式的推导过程．
设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，它的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，由等比数列的通项公式可
将S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1. ①
则qS n ＝ . ② 由①－②得：(1－q )S n ＝ .
当q ≠1时，S n ＝ .
当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝ .
综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
，q ＝1 ， q ≠1 当q ≠1时，因为a n ＝a 1q n －1. 所以S n 可以用a 1，q ，a n 表示为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1 ，q ≠1 探究2 下面提供了两种推导等比数列前n 项和公式的方法．请你补充完整． 方法一 由等比数列的定义知：a 2a 1 ＝ a 3
a 2 ＝ a 4a 3 ＝…＝
a n a n －1＝q . 当q ≠1时，由等比性质得：a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1
＝q ，即 ＝q . 故S n ＝ .
当q ＝1时，易知S n ＝ .
方法二 由S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 得：
S n ＝a 1＋a 1q ＋a 2q ＋…＋a n －1q ＝a 1＋q · ＝a 1＋q ·
从而得(1－q )·S n ＝ .
当q ≠1时，S n ＝ ；
当q ＝1时，S n ＝na 1.
探究2 错位相减法求和
问题 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{n
2n }前n 项和的步骤和过程，请你补充完整．
设S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，∴12
S n ＝ ， ∴S n －12
S n ＝ ， 即12
S n ＝ ＝ . ∴S n ＝ ＝ .
探究3 等比数列前n 项和性质
(1) 在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，则,,,,232⋯--n n n n n S S S S S 也成等比数列.
(2) 在等比数列{}n a 共有n 项中，若n 为偶数，则奇偶
S S q =；若n 为奇数，则偶
奇S a S q 1-=. (3) 在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，则B Aq S n n +=，其中0=+B A .
(4) 在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，则n n m n m S q S S +=+.
预习检测 1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列.若a 1=1，则S 4=( )
A. 15
B. 7
C. 8
D. 16
2．若数列{a n }满足
，则{a n }的前6项和等于______．
3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若 ，则S 6=( ) A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 4.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知 ，且a 4与2a 7的等差中项为 ，则S 5=( ) A. 29 B. 31 C. 33 D. 36
5.等比数列{a n }共有2n +1项，其中a 1=1，偶数项和为170，奇数项和为341，则n =( )
A. 3
B. 4
C. 7
D. 9
巩固练习案
1．已知等比数列{a n }为递增数列，S n 是其前n 项和.若 ，则S 6=( )
A. B. C. D.
2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=6，S 4=30，则S 6=( )
A. 115
B. 116
C. 125
D. 126
3．中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.”请问第三天走了（ ）
A. 60里
B. 48里
C. 36里
D. 24里
4．若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20，a 3+a 5=40,则数列{a n }的前n 项和S n =___________．
5. 在等比数列{a n }中，a 1=-2，a 4=-54，则数列{a n }的前n 项和S n = __________．
6. 已知等差数列{a n }满足a 3=2，前3项和 ． (1)求{a n }的通项公式；
(2)设等比数列{b n }满足 ，求{b n }前n 项和T n ．
2),(021*1=∈=-+a N n a a n n 15
,342==S S 3522a a a =451627827463263293=S 15411,a b a b ==
7．已知数列{a n }是递增的等比数列， ，则数列{a n }的前n 项和等于____________．
8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=1,S 8=3，则a 9+a 10+a 11+a 12=( )
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
9．各项均为正数的等比数列{a n }，其前n 项和为S n .若 ，则数列{a n }的通项公式
a n =______．
10.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知
． (1)求{a n }的通项公式；
(2)求S n ，并判断 是否成等差数列．
8,93241==+a a a a 13,78352=-=-S a a 6,232-==S S 21,,++n n n S S S。