高中数学 第一讲 坐标系 三 第一课时 圆的极坐标方程课件 a选修44a高二选修44数学课件

解 在圆周上任取一点P(如图)， 设其极坐标为(ρ，θ)， 由余弦定理知， CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，
故其极坐标方程为
r2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．
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解答
引申(yǐnshēn)探究
若圆心在(3,0)，半径r＝2，求圆的极坐标方程.
θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点
都，在那曲么线方C程上f(ρ，θ)＝0叫
做曲线C的
. 极坐标方程
(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤
①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；
②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式；
③将列出的关系式整理、化简；
④证明所得方程就是曲线的极坐标方程.
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解答
反思与感悟 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价 性， (děngjià) 通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，
否则，不是等价变形.
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跟踪训练3 把下列直角坐标方程(fāngchéng)与极坐标方程(fāngchéng)进行互化. (1)x2＋y2－2x＝0； 解 ∵x2＋y2－2x＝0， ∴ρ2－2ρcos θ＝0.∴ρ＝2cos θ.
的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程
即可.例如对于极坐标方程 ρ＝θ，点 Mπ4，π4可以表示为π4，π4＋2π或π4，4π－2π或 －π4，54π等多种形式，其中，只有π4，π4的极坐标满足方程 ρ＝θ. 2.求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点 M(ρ，θ)，探求 ρ，θ 的关系，经 常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解.
圆心在点(r，π) ρ＝－__2_r_c_o_s _θ_ π2≤θ<32π 圆心在点 r，32π ρ＝－ 2rsin θ (－π<θ≤0)
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题型探究(tànjiū)
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类型(lèixíng)一 求圆的极坐标方程
例1 求圆心(yuánxīn)在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程.
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梳理(shūlǐ) 圆的极坐标方程
圆心位置
极坐标方程
圆心在极点(0,0)
ρ＝ r (0≤θ<2π)
图形
圆心在点(r,0)
ρ＝__2_rc_o_s_θ__ －π2≤θ<π2
圆心在点 r，π2
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ρ＝ 2rsin θ (0≤θ<π)
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解答
命题(mìng tí)角度2 极坐标方程化直角坐标方程 例3 把下列极坐标方程化为直角坐标方程.
(1)ρ2cos 2θ＝1；
解 ∵ρ2cos 2θ＝1，∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1， ∴化为直角坐标(zhíjiǎo zuòbiāo)方程为x2－y2＝1.
A.圆
B.椭圆(tuǒyuán)
C.双曲线的一支
D.抛物线√
解析
4ρsin2θ2＝5⇒4ρ1－c2os
θ ＝5⇒2ρ＝2ρcos
θ＋5.
∵ρ＝ x2＋y2，ρcos θ＝x，
代入上式得 2 x2＋y2＝2x＋5，两边平方并整理，
得 y2＝5x＋245，
∴它表示(biǎoshì)的曲线为抛物线. 12/8/2021 123
(3)x2＋y2－2x－2y－2＝0. 解 ∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0. ∴ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，
∴ρ2－2 2ρsinθ＋π4－2＝0.
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解答
反思与感悟 在进行两种坐标方程间的互化时，要注意
∴ρ2＝x2＋y2，
由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，
∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.
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解答
(2)若曲线(qūxiàn)ρθs－in π4
＝0与曲线C相交于A，B，求|AB|的值.
解
由
ρsinθ－π4＝0，得
问题(wèntí) 导学
题型探究
(tànjiū)
达标(dábiāo) 检测
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问题 导学 (wèntí)
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知识点一 曲线(qūxiàn)的极坐标方 程
(1)在极坐标系中，如果(rúguǒ)曲线C上任意(rènyì)一点的极坐标中 至少有一个满足方程f(ρ，
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跟踪(gēnzōng)训练1 在极坐标系中，已知圆C的圆心为C 3，π6，半径为r＝3.求圆C的
极坐标方程.
解 设M(ρ，θ)为圆C上任一点， 易知极点(jídiǎn)O在圆C上，设OM的中点为N，
∴△OCM为等腰三角形，
则|ON|＝|OC|cosθ－π6，
(1)x2＋y2＝1；
解
把yx＝＝ρρscions
θ， θ
代入方程化简，
∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝1，
∴ρ2＝1，即ρ＝1.
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解答
(2)x2＋y2－4x＋4＝0； 解 ∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－4ρcos θ＋4＝0， ∴ρ2－4ρcos θ＋4＝0.
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解答
类型三 直角坐标与极坐标方程(fāngchéng)互化的应 用
例4 若曲线(qūxiàn)C的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x
轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
解
∵yx＝＝ρρscions
θ， θ，
∴ρcos θ·cos
π4－sin θ·sin
π4＝ 22，
∴ρcos θ－ρsin θ－1＝0.
又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，∴x－y－1＝0.
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解答
(4)ρ＝2－c1os θ. 解 ∵ρ＝2－c1os θ，∴2ρ－ρcos θ＝1， ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角
坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同.
(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里(zhèlǐ)约定只在0≤θ<2π范围 内求值.
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跟踪(gēnzōng)训练2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程.
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知识点二 圆的极坐标方程
(fāngchéng)
思考(sīkǎo)1 在极坐标系中，点M(ρ，θ)的轨迹方程中一定含有ρ或θ吗？ 答案(dáàn) 不一定.
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第六页，共极点，半径为2的圆的极坐标方程是什么？ 答案(dáàn) ρ＝2.
标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为______.
(1,1)
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答案
达标 检测 (dá biāo)
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1.极坐标方程分别(fēnbié)为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是
√ A.3 B. 2 C.1 D.
2 2
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答案
2.将极坐标方程(fāngchéng)ρ2cos θ－ρ＝0化为直角坐标方程为
A.x2＋y2＝0或y＝1
B.x＝1
√C.x2＋y2＝0或x＝1
D.y＝1
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答案
3.在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心(yuánxīn)的极坐标是
ρ
2 2 sin
θ－
2 2 cos
θ＝0，
即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0.
由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5 的半径为 r＝ 5，圆心(2,1)到直线 x－y＝0
的距离为
|2－1| d＝ 2 ＝
12，
∴|AB|＝2 r2－d2＝3 2.
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解答
反思(fǎn sī)与感悟 在研究曲线的性质时，如交点、距离等，如果用极坐标不方便， 可以转化为直角坐标方程，反之，可以转化为极坐标方程.
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跟踪(gēnzōng)训练4 在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin
θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐
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第一(dìyī)讲 三 简单曲线的极坐标方程
第1课时(kèshí) 圆的极坐标方 程
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学习目标 1.了解极坐标方程的意义.
2.掌握圆的极坐标方程. 3.能根据极坐标方程研究曲线(qūxiàn)的有关性质.
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内容索引
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(2)ρ＝cos θ－2sin θ； 解 ∵ρ＝cos θ－2sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ. ∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0.
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解答
(3)ρ2＝cos2θ.
解 ∵ρ2＝cos2θ，∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcos θ)2. ∴(x2＋y2)2＝x2， 即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.
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解析 答案
5.在极坐标系中，已知圆C的圆心(yuánxīn)为C2，π6 ，半径为1，求圆C的极坐标方
程.
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解答
规律与方法
1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别 由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ， －π＋θ)都表示同一点(yī diǎn)的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同.所以对于曲线上的点
解 设P(ρ，θ)为圆上任意一点， 则|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|·cos ∠COP， ∴22＝ρ2＋9－6ρcos θ， 即ρ2＝6ρcos θ－5. 当O，P，C共线(ɡònɡ xiàn)时此方程也成立.
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解答
反思与感悟 求圆的极坐标方程的步骤 (1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ，θ). (2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ，θ) ＝0并化简. (3)验证极点、圆心与M三点共线时，点M(ρ，θ)的极坐标也适合(shìhé)上述极坐 标方程.
(2)ρ＝2cosθ－π4； 解 ∵ρ＝2cos θcos
π4＋2sin θsin
π4＝
2cos θ＋
2sin θ，
∴ρ2＝ 2ρcos θ＋ 2ρsin θ，
∴化12/8/2为021 直角坐标方程为 x2＋y2－ 2x－ 2y＝0.
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解答
(3)ρcosθ＋π4＝ 22；
解 ∵ρcosθ＋π4＝ 22，
∴|OM|＝2×3cosθ－π6，
则 ρ＝6cosθ－π6即为圆 C 的极坐标方程.
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解答
类型二 极坐标方程(fāngchéng)与直角坐标方程(fāngchéng) 的互化
命题角度(jiǎodù)1 直角坐标方程化极坐标方程
例2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程.
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本课结束(jiéshù)
(1)y2＝4x；
解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化简，得ρsin2θ＝4cos θ.
(2)x2＋y2－2x－1＝0. 解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2－2x－1＝0， 得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
A.(1，π)
B.2，π2
√C.1，π2
解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
D.(1,0)
化为直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－1)2＝1，
圆心坐标为(0,1)，
化为极坐标为1，π2.
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解析 答案
4.4ρsin2 θ ＝5表示的曲线是 2