新疆乌鲁木齐市第一中学2014届高三上学期第二次月考数学(理)试题 含答案

乌鲁木齐市第一中学2014届高三上学期第二次月考
数学（理）试题
（请将答案写在答题纸上）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

第I 卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{
}
2
320A x x x =-+=，{}
log 42x B x ==，则A B =U A ．{}2,1,2- B ．{}1,2 C ．{}2,2- D ．{}2
2．已知A 、B 、C 分别为ΔABC 的三个内角，那么“sin cos A B >”是“ΔABC 为锐角三角形”的
A ． 充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 3．下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是
A.x
x f 1)(=
B.x x f -=)(
C.x
x x f 22)(-=- D.x x f tan )(-= 4. 已知0x 是函数f(x) =2x +1
1x
-的一个零点, 若1x ∈（1，0x ），2x ∈（0x ，+∞），则
（A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0 （C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞0
5．函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ωφωφ=+>><的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向
左平移6
π
个单位后，得到()g x 的图象解析式为
A.
()sin 2g x x = B ．()sin(2)6
g x x π
=-
C
．
2()sin(2)3
g x x π
=+
D ．()cos 2g x x =
6．定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),(0),
()(1)(2),(0).
x x f x f x f x x -≤⎧=⎨
--->⎩则f(1)+ f(2) +f(3)+… +
f(2013)的值为
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
7．若函数3
21(02)3
x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是 A ．
4π B ．6
π C ．56π D ．34π
8．函数x x
x x
e e y e e
--+=-的图像大致为 9．与向量a ＝(72，1
2
)，b
＝(12，－7
2)的夹角相等，且模为1的向量是
Ａ.
Ｂ.
Ｃ. Ｄ.
10．设集合{}2
),(≤+=y x y x A ，{}2(,)B x y A y x =∈≤，从集合A 中随机地取出一个元素
第5题图
(,)P x y ，则(,)P x y B ∈的概率是
A ．
12
1 B ．3
2 C ．2417 D ．65
11．函数2
2
()(sin cos )2cos f x x x x m =+--在[0,
]2
π上有零点，则实数m 的取值范围是
A ．[1,1]-
B ．
C ．[-
D ．[ 12．定义方程)(')(x f x f =的实数根0x 叫做函数)(x f 的“驻点”，若函数
3(),()ln(1),()1g x x h x x x x φ==+=-的“驻点”分别为γβα，，，则γβα，，的大小关系为
A.βαγ>>
B.γαβ>>
C.γβα>>
D.αγβ>>
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数y ＝x
2－sin x 的单调递减区间是 ．
14．已知a = (cos2α, sin α), b =(1, 2sin α―1), α∈(,π
π2
)，若a ·b =52，则
tan(α+
4
π
)的值为_________. 15. 设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，
1()12x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=在区间(2,6]-内恰有三个不同实根，则实数
a 的取值范围是 ．
16. 在ABC ∆中，点G 为中线AD 上一点，且1
,2
AG AD =
过点G 的直线分别交,AB AC 于点,E F ，若n m ==,，则m ＋3n 的最小值为_________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)：
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2
7
4sin cos222
A B C +-=． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．
18. (本小题满分12分)
设数列{a n}的前n项和S n＝n2，数列{b n}满足b n＝a n
a n＋m
(m∈N*)．
(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；
(2)是否存在m，使得数列{b n}中存在某项b t满足b1，b4，b t(t∈N*，t≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由.
19．(本小题满分12分)
如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，⊥AO 平面111C B A .已知ο
90=∠BCA ,21===BC AC AA . (Ⅰ) 求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (Ⅱ) 求11C A 与平面11B AA 所成角的正切值．
20. （本小题满分12分）：
给定抛物线c ∶y 2＝4x ，Ｆ是c 的焦点，过点Ｆ的直
线l 与c 相交于Ａ，Ｂ两点. (１)设l 的斜率为１，求与
夹角的余弦值；
(２)设＝
，若λ∈［4，9］，求l 在y 轴上的截距的取值范围.
21．（本小题满分12分）： 已知函数()ln(1)2
a
f x x x =+++ （1）当25
4
a =
时，求()f x 的单调递减区间； （2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围； （3）求证：1111ln(1)()35721
n n N n *+>++++∈+L
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．(本小题满分10分)
已知AB 为半圆O 的直径，4AB =，C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD CD ⊥于D ，交圆于点E ，1DE =．
A
B
O
1
A 1
C 1
B E
(Ⅰ)求证：AC 平分BAD ∠； (Ⅱ)求BC 的长．
23．(本小题满分10分)
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：)
4
sin(210π
θρ-=
,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数[]0,2απ∈.
(Ⅰ)求点P 轨迹的直角坐标方程； (Ⅱ)求点P 到直线l 距离的最大值.
24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数a a x x f +-=2)(．
(Ⅰ)若不等式6)(≤x f 的解集为{}
32≤≤-x x ，求实数a 的值；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．
乌鲁木齐市第一中学2013--2014学年第一学期 2014届高三年级第一次月考理科数学参考答案
一．选择题
二、填空题
三、解答题
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π
=
+B A ．∴ )3
2sin(sin sin sin A A B A -+=+π A A A sin 3
2cos cos 32sin
sin ⋅-⋅+=π
π)6sin(3cos 23sin 23π+=+
=A A A ． ∵ 320π<<A ，∴ 6566π
ππ<+<A ．
∴ 当2
6
π
π
=
+A ，即 3
π
=
A 时，
B A sin sin +取得最大值为3．
19．解法一：(Ⅰ) ∵⊥AO 平面111C B A ，∴1C B AO ⊥，又∵1111C B C A ⊥，且O AO C A =I 11，
∴⊥11C B 平面11A C CA ，∴111C B C A ⊥
又∵AC AA =1， ∴四边形11A C CA 为菱形，
∴11AC C A ⊥，且1111B C AC C =I ∴⊥C A 1平面11C AB ，
∴C A AB 11⊥，即异面直线1AB 与C A 1所成的角为ο
90
(Ⅱ)设点1C 到平面11B AA 的距离为d ，∵111111B AA C C B A A V V --=， 即
⋅=⋅⋅⋅⋅3
1
21311111AO C B C A S △11B AA d ⋅ 又∵在△11B AA 中，22111==AB B A ，∴S △11AA B 7=．
∴7
21
2=d ，∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值721
A
B
O A 1
C 1
E
x y
z
(Ⅱ)设11C A 与平面11B AA 所成角为θ，∵)0,2,0(11=C A ，
111(2,2,0),(0,1,3)A B A A ==u u u u r u u u r
设平面11B AA 的一个法向量是(,,)n x y z =r
则111•0,•0,
A B n A A n ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r r u u u r r
即220,30.x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 不妨令1x =，可得3
(1,1,
)3
n =-r
∴1121sin cos ,7
23
AC n θ=<>=
=
⋅
u u u u r r
， ∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值
7
21
20.解： (１)Ｃ的焦点为Ｆ(１，０)，直线l 的斜率为１，所以l 的方程为y ＝x －1. 将y ＝x －1代入方程y 2＝4x ， 整理得x 2－6x ＋1＝0.
设Ａ(x 1，y 1)，Ｂ(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1.
.
所以
与
的夹角的余弦值为-3／√41
(２)由题设得(x 2－1，y 2)＝λ(1－x 1，－y 1)，
即
由②得
∴，③
联立①、③解得x2＝λ，依题意有λ＞0.
∴B(λ，)，或B(λ，－)，又F(1，0)，得直线l方程为(λ－1)y＝(x－1)或(λ－1)y＝－(x－1)，
当λ∈［４，９］时，l在方程y轴上的截距为或－，把看作函数，设g(λ)＝，λ∈［４，９］，，可知g(λ)＝在［４，９］上是递减的(或用导数g′(λ)＝－＜0，证明g(λ)是减函数).
∴，
即直线l在y轴上截距的变化范围为
.
22．解：(Ⅰ)连结AC ，因为OA OC =，所以OAC OCA ∠=∠，
因为CD 为半圆的切线，所以OC CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以OC ∥AD ，
所以OCA CAD ∠=∠，OAC CAD ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知BC CE =，
连结CE ，因为ABCE 四点共圆，B CED ∠=∠，所以cos cos B CED =∠， 所以DE CB CE AB
=，所以2BC =．。