2020届河北省张家口市高考前模拟理科数学模拟试卷(有答案)(加精)

张家口市高考前模拟理科数学试卷
一、单选题（共12小题）
1．如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）
A．B．
C．D．
考点：集合的运算
答案：C
试题解析：由图知：阴影部分所表示的集合是。

故答案为：C
2．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
考点：复数乘除和乘方
答案：B
试题解析：所以对应点为。

位于第二象限。

故答案为：B
3．已知函数的定义域为，且为偶函数，则实数的值是（）
A ．B．C．D．
考点：函数的奇偶性
答案：B
试题解析：为偶函数，所以,所以.
故答案为：B
4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．
考点：空间几何体的表面积与体积柱，锥，台，球的结构特征
答案：C
试题解析：由题知：底面等边三角形外接圆半径为：
所以该球的表面积为：。

故答案为：C
5．如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，
俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，
侧视图是直角梯形，则该几何体的体积等于（）
A ．B．C．D．
考点：空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图
答案：A
试题解析：该几何体是一个半圆台挖去一个半圆柱的组合体，
半圆台的下底半径为，上底半径为，高为;
半圆柱底面半径为，高为4，
所以
故答案为：A
6．执行如图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数的可能取值的集合是（）
A．B．
C．D．
考点：算法和程序框图
答案：C
试题解析：要输出的结果为，则有解得：
故答案为：C
7．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线
准线的距离之和的最小值为（）
A．B．C．D．
考点：抛物线
答案：B
试题解析：因为抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，
所以点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为：M到焦点的距离，为：
故答案为：B
8．已知数列，满足，，，若数列满足，则=（）
A．B．C．D．
考点：等比数列等差数列
答案：D
试题解析：由题知：分别为等差数列和等比数列。

所以
所以=
故答案为：D
9．点是如图所示的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数
取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是（）
A．B．C．D．
考点：线性规划
答案：A
试题解析：由题知：最优解应在线段上取得，
故应与平行，
所以
则表示与连线的斜率，
当过C(4，2)时，斜率最大为：
故答案为：A
10．已知,若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直,则实数的取值范围为（）
A ．B．
C．D．
考点：直线与圆的位置关系
答案：A
试题解析：圆的圆心为，半径为。

因为若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直,
即直线总存在点，到的距离为
所以只需到直线的距离小于等于
即
故答案为：A
11．已知、为双曲线的左、右顶点，点在上，△为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（）
A ．B．C．D．
考点：双曲线
答案：D
试题解析：设双曲线方程为设M在第一象限，所以
又在双曲线上，所以
故答案为：D
12．函数有两个极值点，且，则方程
的不同的实根个数为（）
A．B．C．D．不确定
考点：函数综合
答案：B
试题解析：函数有两个极值点，设
所以为极大值点，为极小值点。

由题知：方程的根为和
结合图像知：有两个根，有一个根，
所以方程的不同的实根个数为：3.
故答案为：B
二、填空题（共4小题）
13.的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_______．考点：二项式定理与性质
答案：
试题解析：因为的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，所以所以n=8. 所以通项公式为：
令 ,所以.
所以该展开式中的系数为：
故答案为：
14.已知函数的图像如图所示，则＝_______．
考点：三角函数的图像与性质
答案：
试题解析：由图知：
又
故答案为：
15.等差数列的前项和为,已知,,则 _______．
考点：等差数列
答案：
试题解析：等差数列中，
分析知
又
解得：
故答案为：
16.如图，已知圆，四边形为圆的内
接正方形，分别为的中点，当正方形绕圆心转
动时，的最大值是________．
考点：数量积的应用
答案：6
试题解析：因为所以
又=
又
即的最大值是.
故答案为：
三、解答题（共8小题）
17. 凸四边形中，其中为定点，，为动点，满足，(Ⅰ)写出与的关系式;
(Ⅱ)设和的面积分别为和，求的最大值，以及此时凸四边形的面积．考点：解斜三角形余弦定理
答案：见解析
试题解析： (Ⅰ)在中,由余弦定理得：，
在中,由余弦定理得：，
∴
(Ⅱ)根据题意得：
∴
当时,,
此时,所以
所以:
18.如图，三棱柱中，
．
(Ⅰ)证明：;
(Ⅱ)若平面，，
求直线与平面所成角的正弦值．
考点：平面法向量的求法空间的角垂直
答案：见解析
试题解析： (Ⅰ)证明：取的中点，连结. 因为，所以.由于
，
故为等边三角形，所以.
因为，所以.又，故 .
(Ⅱ)解：由（1）知. 又平面，交线为，
所以，故两两相互垂直．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，|为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 由题设知
设是平面的法向量，
则即可取．
故
所以与平面所成角的正弦值为.
19. PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM 2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米∼75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标．
石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM 2.5监测数据如茎叶图所
示．
(Ⅰ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM 2.5日均监测数据未超标的概率;
(Ⅱ)小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM 2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率;
(Ⅲ)从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM 2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．
考点：随机变量的期望与方差随机变量的分布列排列组合综合应用茎叶图
答案：见解析
试题解析： (Ⅰ)记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，
因为有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，
故P(A)=
(Ⅱ)记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，P(B)=
(Ⅲ)ξ的可能值为0，1，2，3.
由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标。

P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，P(ξ=3)=.
ξ的分布列如下表：
∴Eξ=0×+1×+2×+3×=
20.已知椭圆，直线不过原点O且不平行于坐标轴，与C有两个交点、
，线段的中点为．
(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值;
(Ⅱ)若过点，延长线段与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形?
若能，求此时的斜率;若不能，说明理由．
考点：圆锥曲线综合椭圆
答案：见解析
试题解析： (Ⅰ)设直线
将
于是直线OM的斜率-9
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.
(Ⅱ)四边形OAPB能为平行四边形.
因为直线过点,所以不过原点且与C有两个交点的充要条件是.
由(Ⅰ)得OM的方程为.
设点P的横坐标为, 与联立解得
即
将点的坐标代入的方程得,
因此四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M. 于是
解得因为,
所以当的斜率为或时,四边形OAPB为平行四边形.
21. 设函数．
(Ⅰ)若，求的单调区间;
(Ⅱ)若当时，，求的取值范围．
考点：导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性
答案：见解析
试题解析： (Ⅰ)时，， .
当时，;当时，.
故在上单调递减，在上单调递增．
(Ⅱ).
由(1)知，当且仅当时等号成立，
故，
当时, , ,在上是增函数,
又,于是当时，. 符合题意.当时,由可得
．
所以，
故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为．
22.如图,为等腰三角形内一点,与的底边交于两点，与底边上的高交于点,且与分别相切于两点．
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)若等于的半径,且,求四边形的面积．
考点：圆相似三角形
答案：见解析
试题解析： (Ⅰ)由于是等腰三角形,,所以是的平分线.
又因为分别与相切于点所以,故.从而
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,,故是的垂直平分线.又为的弦,
所以在上.连结,则.
由等于的半径得,所以.因此和都是等边三角形.
因为,所以
因为,所以.
于是.
所以四边形的面积为.
23.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(,为参数)，以Ο为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线上的点
对应的参数为与曲线交于点．
(Ⅰ)求曲线和的普通方程;
/-------/-/
(Ⅱ)是曲线上的两点，求的值．
考点：参数和普通方程互化极坐标方程
答案：见解析
试题解析： (Ⅰ)由题意得,,所以，所求的方程为. 设曲线的方程为:,将点代入得半径R=1，
所求圆的方程为.
(Ⅱ)将代入
得
整理为,所以
24.已知，函数的最小值为4．
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最小值．
考点：柯西不等式绝对值不等式
答案：见解析
试题解析： (Ⅰ)
当且仅当时等号成立。

又，所以，所以
(Ⅱ)由柯西不等式得
即，当且仅当时等号成立
所以当时．
/-------/-/。