高考讲坛高考数学一轮复习 第5章 第4节 数列求和课后限时自测 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第5章 第4节 数列求和课
后限时自测 理 苏教版
[A 级 基础达标练]
一、填空题
1．(2014·某某调研)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *
)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n
项和，则S 21＝________.
[解析] 由a n ＋a n ＋1＝1
2＝a n ＋1＋a n ＋2，
∴a n ＋2＝a n ，
∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21) ＝1＋10×1
2＝6.
[答案] 6
2．(2013·大纲全国卷改编)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－4
3，则{a n }的前10
项和等于________．
[解析] 由3a n ＋1＋a n ＝0，得
a n ＋1a n ＝－1
3
， 故数列{a n }是公比q ＝－1
3的等比数列．
又a 2＝－4
3
，可得a 1＝4.
所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝3－139.
[答案] 3－1
3
9
3．(2014·某某模拟)已知函数f (n )＝n 2
cos(n π)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋
a 100＝________.
[解析] 因为f (n )＝n 2
cos(n π)，
所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100
＝－12
＋22
－32
＋42
－…－992
＋1002
＝(22
－12
)＋(42
－32
)＋…＋(1002
－992
) ＝3＋7＋…＋199＝50
3＋199
2
＝5 050.
[答案] 5 050
4．已知{a n }是公差为－2的等差数列，a 1＝12，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 20|＝________.
[解析] 由题意知，a n ＝12＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋14， 令－2n ＋14≥0，得n ≤7，
∴当n ≤7时，a n ≥0，当n ＞7时，a n ＜0， ∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 20|
＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(a 8＋a 9＋…＋a 20)＝2S 7－S 20 ＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤7×12＋7×62×－2－20×12＋20×19
2×(－2)
＝224. [答案] 224
5．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
1b n b n ＋1的
前n 项和S n ＝________.
[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1
＝q 3
＝27，得q ＝3. 所以a n ＝a 1q n －1
＝3×3
n －1
＝3n
，故b n ＝log 3a n ＝n ，
所以
1
b n b n ＋1＝
1n
n ＋1＝1n －1
n ＋1
. 则数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.
[答案]
n
n ＋1
6．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n
，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.
[解析]∵a n ＋1－a n ＝2n ，
∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1
＝2
n －1
＋2
n －2
＋…＋22
＋2＋2
＝2－2n
1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋1
1－2＝2n ＋1
－2.
[答案] 2
n ＋1－2
7．(2014·某某质检)已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2
n ，且a 1＝12，则该数列的前2 014
项的和等于________．
[解析] 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2
n ，所以a 2＝1，
从而a 3＝1
2，a 4＝1，…，
即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
12
，n ＝2k －1，
1，n ＝2k
(k ∈N *
)．
故S 2 014＝1 007×12＋1 007×1＝3 021
2.
[答案]3 021
2
8．设函数f (x )＝x m
＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1
f
n
(n ∈N *)的前n 项和是________．
[解析]f ′(x )＝mx
m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2.
∴f (x )＝x (x ＋1)，因此1
f n
＝
1n
n ＋1＝1n －1
n ＋1
， 用裂项法求和得S n ＝
n
n ＋1
.
[答案]
n
n ＋1
二、解答题
9．(2014·某某高考)已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．
(1)求a n 及S n ；
(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2
－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公
式及其前n 项和T n .
[解] (1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n a 1＋a n
2
＝
n 1＋2n －1
2
＝n 2
.
(2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.
因为q 2
－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2
－8q ＋16＝0， 所以(q －4)2
＝0，从而q ＝4.
又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列， 所以b n ＝b 1q
n －1＝2·4
n －1
＝2
2n －1
.
从而{b n }的前n 项和T n ＝b 11－q n 1－q ＝23
(4n
－1)．
10．(2013·某某高考)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *
. (1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．
[解] (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 2
1，即a 1＝a 2
1. 因为a 1≠0，所以a 1＝1.
令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.
当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1两式相减，得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1. 于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 因此，a n ＝2
n －1
.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2
n －1
(n ∈N *
)．
(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1
.记数列{n ·2
n －1
}的前n 项和为B n ，
于是B n ＝1＋2×2＋3×22
＋…＋n ×2
n －1
，①
2B n ＝1×2＋2×22
＋3×23
＋…＋n ×2n
.② ①－②，得－B n ＝1＋2＋22
＋…＋2
n －1
－n ·2n
＝2n
－1－n ·2n
.从而B n ＝1＋(n －1)·2n
(n ∈N *
)．
[B 级 能力提升练]
一、填空题
1．(2014·某某质检)已知数列{a n }满足a 1＝43，2－a n ＋1＝12a n ＋6
(n ∈N *
)，则∑n
i ＝11a i ＝
________.
[解析] 由2－a n ＋1＝
12a n ＋6，得a n ＋1＝2a n
a n ＋6
， ∴
1
a n ＋1＝3a n ＋12，即1a n ＋1＋14＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a n ＋14. 故数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n ＋14是首项为1，公比为3的等比数列．
∴1a n ＋14＝1×3n －1，从而1a n ＝3n －1
－14， 故∑i ＝1
n 1
a i ＝1－3n 1－3－n 4＝2·3n
－n －24.
[答案]2·3n
－n －24
2．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2
＋3n (n ∈N *
)，则a 12＋a 23＋…＋
a n
n ＋1＝________.
[解析] 令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16.
当n ≥2时，a n ＝(n 2
＋3n )－[(n －1)2
＋3(n －1)]＝2n ＋2. 所以a n ＝4(n ＋1)2
.
当n ＝1时，也适合上式，所以a n ＝4(n ＋1)2
(n ∈N *
)． 于是
a n n ＋1＝4(n ＋1)，数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
a n n ＋1是首项为8，公差为4的等差数列． 故a 12＋a 23＋…＋a n
n ＋1＝2n 2
＋6n . [答案] 2n 2
＋6n 二、解答题
3．(2014·某某某某月考)已知函数f (x )＝x 2
－1，设曲线y ＝f (x )在点(x n ，y n )处的切线与x 轴的交点为(x n ＋1,0)，其中x 1为正实数．
(1)用x n 表示x n ＋1； (2)x 1＝2，若a n ＝lg
x n ＋1
x n －1
，试证明：数列{a n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (3)若数列{b n }的前n 项和S n ＝
n n ＋1
2
，记数列{a n ·b n }的前n 项和T n ，求T n .
[解] (1)由题可得f ′(x )＝2x ，所以在曲线上点(x n ，f (x n ))处的切线方程为y －f (x n )
＝f ′(x n )(x －x n )，
即y －(x 2
n －1)＝2x n (x －x n )
令y ＝0，得－(x 2
n －1)＝2x n (x n ＋1－x n )，即x 2
n ＋1＝2x n x n ＋1，
由题意得x n ≠0，所以x n ＋1＝x 2n ＋1
2x n .
(2)因为x n ＋1＝x 2n ＋1
2x n
，
所以a n ＋1＝lg x n ＋1＋1x n ＋1－1＝lg x 2n ＋1
2x n ＋1x 2n ＋12x n
－1＝lg x 2n ＋2x n ＋1
x 2n －2x n ＋1＝lg
x n ＋12
x n －1
2＝2lg
x n ＋1
x n －1
＝2a n ，即a n ＋1＝2a n ，
所以数列{a n }为等比数列，故a n ＝a 12
n －1
＝lg
x 1＋1x 1－1
·2n －1＝2n －1
lg 3. (3)当n ＝1时，b 1＝S 1＝1，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n n ＋1
2
－
n n －1
2
＝n ，
所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n ， 故数列{a n ·b n }的通项公式为a n ·b n ＝n ·2n －1
lg 3，
∴T n ＝(1＋2×2＋3×22
＋…＋n ·2
n －1
)lg 3，①
①×2得2T n ＝(1×2＋2×22
＋…＋n ·2n
)lg 3，② ①－②得－T n ＝(1＋2＋22
＋…＋2n －1
－n ·2n
)lg 3，
故T n ＝(n ·2n
－2n
＋1)lg 3.。