SXB183高考数学必修_以向量为载体的椭圆考题评析

以向量为载体的2005年椭圆考题评析
圆锥曲线是平面几何的核心内容，也是学习高等数学的基础，当然是高考命题的热点之一．综观近年来的高考试题，圆锥曲线在高考试题中所占的比重大，远远超过其它各章，且题型、题量、难度保持相对稳定．以平面向量为载体，综合圆锥曲线交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型圆锥曲线问题，在高考试题出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位．由于此类问题的解题目标与已知条件之间的跨度大，使得题型新颖、内容综合、解法灵活、思维抽象，所以它既是高考的热点题型，又是颇难解决的重点问题．下面就以各地高考试卷中的以平面向量为载体的椭圆考题选解几例，以开阔读者的视野．
例1 已知椭圆22a x ＋22
b y =1 (a ＞b ＞0)的左、右焦点是F 1(－
c ，0)、F 2(c ，0)，Q 是椭圆外的动点，
满足|−→
−Q F 1|= 2a ，点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足−→−PT ·
−→−2TF = 0，|−→
−2TF |≠0．
⑴设x 为点P 的横坐标，证明|−→
−P F 1|= a ＋x a
c
； ⑵求点T 的轨迹C 的方程；
⑶试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S = b 2．若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由．
⑴证明：设点P 的坐标为(x ，y)，由点P(x ，y)在椭圆上，得
|−→
−P F 1| =22)(y c x ++=2
222
2)(x a
b b
c x -++=2)(x a c a +．
由x ≥－a ，知a ＋x a c ≥－c ＋a ＞0，所以|−→
−P F 1| = a ＋x a
c
．
⑵设点T 的坐标为(x ，y)，当|−→
−PT | = 0时，点(a ，0)和点(－a ，0)在轨迹上．
当|−→
−PT |≠0且−→
−2TF ≠0时，由−→−PT ·
−→−2TF = 0，得−→−PT ⊥−→
−2TF ．
又|−→−PQ | = |−→
−2PF |，所以T 为线段F 2Q 的中点．
在△QF 1F 2中，|−→
−OT | =2
1|−→−
Q F 1| = a ，所以有x 2＋y 2= a 2．
综上所述，点T 的轨迹C 的方程是x 2＋y 2= a 2．
⑶C 上存在点M(x 0，y 0)使S = b 2的充要条件是⎪⎩⎪
⎨⎧=⋅=+②
b y
c ①a y x .||22
1,2
022
020
由①得| y 0|≤a ，由②得| y 0| =c
b 2
．
所以，当a ≥c b 2时，存在点M ，使S = b 2
；当a ＜c
b 2时，不存在满足条件的点M ．
当a ≥c
b 2
时，−→−1MF =(－c －x 0，－y 0)，−→−2MF (c －x 0，－y 0)，
由−→−1MF ·−→
−2MF =20x －c 2＋2
0y = a 2－c 2= b 2，
−→−1MF ·−→−2MF = |−→−1MF |·|−→
−2MF |cos ∠F 1MF 2，
S =2
1|−→−
1MF |·|−→
−2MF |sin ∠F 1MF 2= b 2，
得tan ∠F 1MF 2= 2．
评析：此题在考查直线与椭圆曲线相交的同时，从数学思想方法的角度侧重考查了是否存在型开放性问题，又考查了向量的数量积及有关性质．高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交叉渗透，在知识网络的交汇点设计试题．由于向量具有代数与几何的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项知识的媒介．
例2 已知方向向量为v →
= (1
)的直线l 过点(0
，-)和椭圆22a x ＋22
b
y =1 (a ＞b ＞0)的焦点，
且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上．
⑴求椭圆C 的方程；
⑵是否存在过点E(－2，0)的直线m 交椭圆C 于点M 、N
，
满足OM −−→
·ON −−→
∠MON ≠0 ( O 为原点)．若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由．
解：⑴直线l ：y =-，①
过原点垂直l 的直线方程为y =-
解①、②得x =3
2
．
∵椭圆中心(0，0)关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，
∴2a c = 2×3
2
= 3． ∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)． ∴c = 2，a 2= 6，b 2= 2．
故椭圆C 的方程为2
6
x ＋22y =1．③
⑵设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．
当直线m 不垂直x 轴时，直线m ：y = k(x ＋2)代入③，整理得：(3k 2＋1)x 2＋12k 2x ＋12k 2－6= 0，
∴x 1＋x 2=－221231k k +，x 1x 2=22126
31
k k -+，
，
点O 到直线MN 的距离
，
∵OM −−→
·ON −−→
∠MON ，即|OM −−→|·|ON −−→|cos ∠cot cos sin MON MON ∠∠≠0， ∴|OM −−→
|·|ON −−→
|sin ∠O M N S ∆
∴|MN|·
2＋1)．
整理，得k 2=1
3
，解得k =3±．
当直线m 垂直x 轴时，也满足O M N S ∆
故直线m 的方程为
y =
x
或
y =x
或x = 2． 评析：此题是采用向量的情景和方式，即利用向量引进条件，加大新内容与传统内容的联系，打破学生的思维定势，具有一定的综合性．主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．
例3 已知椭圆的中心坐标为原点O ，焦点在x 轴上．斜率为且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA −−→＋OB −−→与→
a = (3，－1)共线．
⑴求椭圆的离心率；
⑵设M 为椭圆上任意一点，且OM −−→
=OA λ−−→
＋OB μ−−→
(λ，μ∈R)，证明λ2＋μ2为定值．
⑴解：设椭圆方程为22a x ＋22
b
y =1 (a ＞b ＞0)，F(c ，0)，
则直线AB 的方程为y = x －c ，代入22a x ＋22
b y =1，化简得：(a 2＋b 2)x 2－2a 2cx ＋a 2
c 2－a 2b 2= 0．
令A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2=222
2a c
a b +，x 1x 2=222222a c a b a b -+．
由OA −−→＋OB −−→= (x 1＋x 2，y 1＋y 2)，→a = (3，－1)，OA −−→＋OB −−→与→
a 共线，得 3(y 1＋y 2)＋(x 1＋x 2) = 0． 又y 1= x 1－c ，y 2= x 2－c ，
∴3(x 1＋x 2－2c)＋(x 1＋x 2) = 0，解得x 1＋x 2=
32
c
． 即2222a c a b +=32c ，所以a 2= 3b 2，∴
=3， 故离心率e =c
a
⑵证明：由⑴知a 2
= 3b 2
，所以椭圆22a x ＋22
b
y =1可化为x 2＋3y 2=3b 2．
设OM −−→
= (x ，y)，由已知得：(x ，y) =λ(x 1，y 1)＋μ(x 2，y 2)，∴1212,
.
x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩
∵M(x ，y)在椭圆上，∴(12x x λμ+)2＋3(12y y λμ+)2=3b 2，
即2λ(21x ＋213y )＋2μ(22x ＋2
23y )＋2λμ( x 1x 2＋3y 1y 2) =3b 2，①
由⑴知x 1＋x 2=
32c ，a 2=232c ，b 2=21
2
c ． ∴x 1x 2=222222a c a b a b -+=2
38
c ．
∴x 1x 2＋3y 1y 2= x 1x 2＋3(x 1－c)( x 2－c) = 4x 1x 2－3(x 1＋x 2)c ＋23c =232c －29
2
c ＋23c = 0.
又21x ＋213y =3b 2，22x ＋2
23y =3b 2，代入①得λ2＋μ2= 1．
故λ2＋μ2为定值，定值为1．
评析：在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起．因此，许多几何问题，特别像共线、共点、垂直等较难问题的处理，目标就是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为大家熟悉的代数运算．本题涉及到椭圆、标准方程、韦达定理、平面向量的坐标表示，曲线与方程的关系，以及解析几何的基本方法等知识，主要考查学生综合解题能力．
例４ 已知椭圆C 1的方程为2
4
x ＋y 2= 1，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2
的左、右顶点分别为C 1的左、右焦点．
⑴求双曲线C 2的方程；
⑵若直线l ：y = kx C
1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A
和B 满足OA ·
OB ＜6 (其中O 为原点)，求k 的取值范围． 解：⑴设双曲线C 2的方程为2
2x a
－22y b = 1，a 2= 4－1 = 3，再有a 2＋b 2= c 2得b 2= 1，
故C 2的方程为2
3
x －y 2= 1．
⑵将y = kx 2
4
x ＋y 2= 1，得 (1＋4k 2)x 2＋＋4 = 0 ，
由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点，得
△1
= (2k 2－16(1＋4k 2) =16(4k 2－1)＞0，即k 2＞
1
4
．① 将将y = kx
2
3
x －y 2= 1，得 (1－3k 2)x 2
－kx －9 = 0，
由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 、B ，得
2
22
2130,()36(13)0.
k k ⎧-≠⎪⎨∆=-+->⎪⎩⇒ k 2＜1且k 2
≠13．② 设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，则x A ＋x B
，x A x B =2
913k
--， 由OA ·
OB ＜6，得 x A x B ＋y A y B = x A x B ＋(A k x
)(B k x
)＋2 = (k 2＋1)x A x B
( x A ＋x B )＋2 =(k 2＋
1)·2
9
13k
--
2=223731k k +-， 于是223731k k +-＜6，即221513
31
k k --＞0，
解此不等式得k 2＞
1315或k 2＜1
3．③ 由①、②、③得14＜k 2＜13或13
15
＜k 2＜1．
故k 的取值范围为：(－1
(
－
3，－12)(1
2
，3
)
1)． 评析：高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交互渗透，在知识网络的交汇点实际试题．此题既考查了向量的数量积运算，又综合考查了椭圆与双曲线的有关概念，平面向量的知识与圆锥曲线的有关知识得到了很好的整合，是典型的交汇热点试题．。