二次函数-相似三角形存在性问题(二)-含答案

（1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使 | MB − MD | 的值最大，并求出这个最大值；
（3）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQ⊥PA 交 y 轴于点 Q，问：是
否存在点 P，使得以 A、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合
1m− 3
=1，
m
2 4 22
解得： m1 = 4 ， m2 = 8 ， 对应 P 点坐标为（4，0）、（8，0）．
y
y
A
A(Q)
Q
O
P
B Cx
O
B C(P) x
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情况二：当 PQ = 2 时， OP
1 m2 − 3 m
由题意得： 4
2 =2，
m
化简为：
1 m2 4
− 3m 2
=2，
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【2018 常德中考删减】 如图，已知二次函数的图象过点 O(0,0) 、 A(8, 4) ，与 x 轴交于另一点 B ，且对称轴是直线 x =3． （1）求该二次函数的解析式； （2）P 是 x 轴上的点，过 P 作 PQ ⊥ x 轴与抛物线交于 Q ．过 A 作 AC ⊥ x 轴于 C ，当以 O ，
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【2018 达州中考】 如图，抛物线经过原点 O（0，0），点 A（1，1），点 B(7 , 0) ．
2 （1）求抛物线解析式； （2）连接 OA，过点 A 作 AC⊥OA 交抛物线于 C，连接 OC，求△AOC 的面积； （3）点 M 是 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 OM，过点 M 作 MN⊥OM 交 x 轴于点 N．问：
yD
C
A O
B x
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【分析】
（1）解析式：
y
=
−x2
+
3x
+
4
；D
点坐标为

3 2
,
25 4

．
（2）由 B、C 两点坐标易求直线 BC 解析式： y = −x + 4 ，
不难得出∠CPQ=∠BCO=∠OBC，即在△CPQ 和△ABC 中，∠CPQ=∠ABC．
接下来求角两边对应成比例：
1m− 3
=2，
m
42
解得： m1 = 14 ， m2 = −2 ， 故对应的 P 点坐标为（14，0）、（-2，0）．
Q
y Q
PO
A B Cx
y
A
O
BC
P
x
综上所述，P 点坐标为（4，0）或（8，0）或（14，0）或（-2，0）．
【小结】对于直角三角形而言，从三角函数的角度来看，两直角边对应成比例与有一组锐角 三角函数值相等其实是一回事，对于位置特殊一点的（比如直角边与坐标轴平行），直接表 示线段计算，而位置比较一般的可以通过（1）表示线段；（2）构造三垂直相似得到结果．
BHN x
M
C
【2019 安顺中考】
如图，抛物线 y = 1 x2 + bx + c 与直线 y = 1 x + 3 分别相交于 A ， B 两点，且此抛物线与 x 轴
2
2
的一个交点为 C ，连接 AC ， BC ．已知 A(0,3) ， C(−3, 0) ．
（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴 l 上找一点 M ，使 | MB − MC | 的值最大，并求出这个最大值；
小结对于直角三角形而言从三角函数的角度来看两直角边对应成比例与有一组锐角三角函数值相等其实是一回事对于位置特殊一点的比如直角边与坐标轴平行直接表示线段计算而位置比较一般的可以通过1表示线段
相似三角形存在性问题（二）
【2019 新疆中考删减】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 + bx + c 经过 A(−1, 0) ， B(4, 0) ， C(0, 4) 三点． （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）点 P 为线段 BC 上一动点（点 P 不与点 B ， C 重合），过点 P 作 x 轴的垂线交（1）中 的抛物线于点 Q ，当 PQC 与 ABC 相似时，求 PQC 的面积．
M
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（3）思路：已知直角构造直角边成比例，化斜为直
考虑到 A（0，3）、C（-3，0）、B（-4，1），
易得△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，且两直角边之比 AC = 3 ， BC
若△APQ 与△ABC 相似，则 AP = 3 或 AP = 1 ．
PQ
PQ 3
考虑到 AP、PQ 均为斜线，并不容易表示，可转化比例：
条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
y
A
B
CD O
x
【分析】 （1）解析式： y = 1 x2 + 5 x + 3 ；
22 （2）连接 MC，则 MC=MD，故问题可转化为 MB − MC 的最大值．
如图当 B、C、M 三点共线时， MB − MC = BC= 2 为最大值．
y
A
B
C DO
x
y P
y
P
O(P)
B
x
C(D) A
O CA
B
x
D
( ) 综上所述，P
点坐标为

4
3 3
,
− 10 3

、

8
3 3
,
−
4 3

、（0，0）、
4
3, 6
．
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（3）面积比例问题．
取点
M（0，9），连接
AM，则 S
AOC
=
1S 3
AOM
，
过点 M 作 MN∥OA，与抛物线交点即为所求 Q 点．
考虑到 MN 为斜线并不容易表示，故可转化比例，
过点 M 作 MH⊥x 轴交 x 轴于 H 点，则 MH = MN ． OH OM
表示点：设
M
点坐标为
m,−2 5 Nhomakorabeam2
+
7 5
m

，则
H
点坐标为（m，0），
表示线段： OM = m ， MH = − 2 m2 + 7 m ， 55
分类讨论：
，解得： m1
=
12 5
，
m2
=
0
（舍），
对应
P
点坐标为

12，8 55

，
PQ
=
96 25
，
S
PCQ
=
1 2
12 5
96 25
=
576 125
．
y Q
C
A O
P
B x
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情况二：当△CPQ∽△CBA 时，则 CP = PQ ， CB BA
代入得：
2m 42
=
−m2 + 5
P ， Q 为顶点的三角形与以 O ， A ， C 为顶点的三角形相似时，求 P 点的坐标．
y
A Q
PO
B Cx
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【分析】
（1）解析式： y = 1 x2 − 3 x ； 42
（2）由题意得在 Rt△AOC 中，AC=4，OC=8，
若△OPQ 与△AOC 相似，则△OPQ 两直角边比为 1：2 或 2：1．
,
−
4 3

．
y
y
O
B
x
D C AP
B
O
P
x
CA
D
情况二：当 DP = 3 时， AD
1 m2 − 3 3 m + 3
由题意得： 2
2
( ) = 1 m − 2 3 = 1 m − 3 = 3 ，
m− 3
2
2
解得： m1 = 0 ， m2 = 4 3
( ) 对应 P 点坐标为（0，0）、 4 3,6 ．
P 为顶点的三角形与 AOC 相似，求出对应点 P 的坐标；
（3）抛物线上是否存在点 Q
，使得
SAOC
=
1 3 SAOQ
？若存在，求出点 Q
的坐标；若不存在，
请说明理由．
y P
O CA
B
x
D
【分析】
（1）解析式： y = 1 x2 − 3 3 x ；
2
2
（2）思路：已知直角构造两直角边成比例
考虑到△AOC 是直角三角形，且两条直角边之比 AC = 3 ， OC 3
4m
，解得： m3
=
11 4
，
m4
=
0
（舍），
对应
P
点坐标为

11, 4
5 4

，
PQ
=
55 16
，
S
PCQ
=
1 2
11 55 4 16
=
605 128
．
y
Q C
A O
P
B x
综上所述，当 PQC 与 ABC 相似时，△PQC 的面积为 576 或 605 ． 125 128
过点 P 作 PH⊥y 轴交 y 轴于 H 点，则 AP = AH PQ HP
表示点：设
P
点坐标为

m,
1 2
m2
+
5 2
m
+
3（m>0），则
H
点坐标为

0,
1 2
m2
+
5 2
m
+
3
，
表示线段： AH = 1 m2 + 5 m ， PH =m 22
分类讨论：
情况一：当 AP = 3 时，即 AH = 3 ，
若△ADP 与△AOC 相似，则△ADP 两直角边之比 DP = 3 或 DP = 3 ． AD 3 AD
表示点：设点
P
坐标为

m,
1 2
m2
−
33 2
m
，则
D
点坐标为
( m, −3)
，
表示线段： AD = m − 3 ， PD = 1 m2 − 3 3 m + 3 ，
2
2
分类讨论：
由题意可知直线 MN 解析式： y = − 3x + 9 ，
联立方程： 1 x2 − 3 3 x = − 3x + 9 ，
2
2
解得： x1 = 3 3 ， x2 = −2 3 ，
( ) ( ) 故 Q 点坐标为 3 3,0 或 −2 3,15 ．
Q1
M
B(Q2)
O
CA
取点 N（0，-9），过点 N 作 OA 的平行线，显然与抛物线无交点， 故这种情况不存在对应的点 Q．
是否存在点 M，使以点 O、M、N 为顶点的三角形与（2）中的△AOC 相似，若存在， 求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．
y
y
A
O
B
x
A
O
B
x
C
C
备用图
【分析】 （1）解析式： y = − 2 x2 + 7 x ；
55 （2）根据 A 点坐标（1，1）及 AC⊥OA，
可得直线 AC 解析式： y = −x + 2 ， 联立方程： − 2 x2 + 7 x = −x + 2 ，
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情况一：当 DP = 3 时， AD 3
1 m2 − 3 3 m + 3
由题意得： 2
2
( ) = 1 m − 2 3 = 1 m − 3 = 3 ，
m− 3
2
2
3
解得： m1
=
43 3
， m2
=
83 3
，
对应
P
点坐标为

4
3 3
,
− 10 3

、

8
3 3
情况一：当 MH = 1 时， OM 4
− 2 m2 + 7 m
由题意得： 5
5 = 1 ，化简为 − 2 m + 7 = 1 ，
m
4
5 54
解得：
m1
=
23 8
，
m2
=
33 8
，
对应的
M
点坐标为

23 8
,
23 32

或

33 8
,
−
33 32

．
y
y
A
M
O
B
HN
x
C
A O
设点：设
P
点坐标为（m，0），则
Q
点坐标为

m,
1 4
m2
−
3 2
m
表示线段：故 OP = m ， PQ = 1 m2 − 3 m ． 42
以下进行分类讨论：
情况一：当 PQ = 1 时， OP 2
1 m2 − 3 m
由题意得： 4
2 =1，
m
2
化简为：
1 m2 − 3 m 42
=1
，
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【2018 绵阳中考】
如图，已知抛物线 y = ax2 + bx(a 0) 过点 A( 3 ，−3) 和点 B(3 3 ，0) ．过点 A 作直线 AC / / x
轴，交 y 轴于点 C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点 P ，过点 P 作直线 AC 的垂线，垂足为 D ．连接 OA ，使得以 A ，D ，
PQ
HP
1 m2 + 5 m 由题意得： 2 2 = 3 ，解得：m=1，
m
对应的 P 点坐标为（1，6）．
Q HP
A
B C DO
情况二：当 AP = 1 时，即 AH = 1 ，
PQ 3
HP 3
由题意得：
1 2
m2
+
5 2
m
=
1
，解得：
m
=
− 13
（舍）．
m
3
3
综上所述，P 点坐标为（1，6）．
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55 解得： x1 = 1 ， x2 = 5 ，
故 C 点坐标为（5，-3）．
OA = 2 ， AC = 4 2 ，
∴S
AOC
=
1 2
24
2 =4．
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（3）思路：转化线段比，化斜为直
若△OMN 与△AOC 相似，
则△OMN 两直角边之比 MN = 1 或 MN = 4 ． OM 4 OM
( ) ( ) 综上所述，Q 点坐标为 3 3,0 或 −2 3,15 ．
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【2018 广安中考】
如图，已知抛物线 y = 1 x2 + bx + c 与直线 y = 1 x + 3 交于 A、B 两点，交 x 轴于 C、D 两点，
2
2
连接 AC、BC，已知 A（0，3），C（-3，0）．
（3）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA ，过点 P 作 PQ ⊥ PA 交 y 轴于点 Q ，问：
是否存在点 P 使得以 A ， P ， Q 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，请求出所有符合