(好题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》检测题(答案解析)

一、选择题
1．如图，在22⨯的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A ，B ，C 均为格点，以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交格线于点D ．则CD 的长为（ ）
A ．12
B ．13
C ．23-
D ．3
2．已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为（ ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．100
3．学习勾股定理后，老师布置的课后作业为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m 远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m ，此时测得绳结离地面的高度为 1m ，则学校教学楼的高度为（ ）
A ．11 m
B ．13 m
C ．14 m
D ．15 m
4．如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角AOB ∠走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AB ，他们踩伤草坪，仅仅少走了（ ）
A ．4m
B ．6m
C ．8m
D ．10m
5．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为20cm 的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．210cm
B ．225cm 2
C ．22cm 2
D ．225cm 6．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A ．0.3，0.4，0.5
B ．9，40，41
C ．2，3，4
D ．1，2，3 7．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm ，底面周长为30cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计（ ）
A ．12cm
B ．17cm
C ．20cm
D ．25cm 8．下列以a ，b ，c 为边的三角形，不是直角三角形的是（ ） A ．1,1,2a b c === B ．1,3,2a b c ===
C ．3,4,5a b c ===
D ．2,2,3a b c === 9．下列各组数是勾股数的是（ ）
A ．1，2，3
B ．0.6，0.8，1
C ．3，4，5
D ．5，11，12 10．如图，在33⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是ABC 的边AC 上的高，则BD 的长为（ ）
A ．52613
B ．102613
C ．
13137
D ．71313 11．如图，在矩形OABC 中，点B 的坐标是(2,5)，则,A C 两点间的距离是（ ）
A 26
B ．33
C 29
D ．5
12．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值为（ ）
A．25 B．19 C．13 D．169
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（﹣5，0）为圆心，13为半径作弧，交y轴的正半轴于点B，则点B的坐标为_____．
14．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AC＝2， DC＝1，BD＝3，则AB的长为_____．
15．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若图2中阴影部分的面积是5，则两个较小正方形重叠部分的面积为____.
16．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE，以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的是________________．
17．已知一个直角三角形三边长的平方和是50，则斜边长为________．
18．如图所示，BDC 是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，若AB＝4，BC＝6，则OD的长为_____．
19．直角三角形的两边长分别为5和3，该三角形的第三边的长为________．
20．若一个直角三角形的两条直角边长分别是4和6，则斜边长为__________．
三、解答题
21．如图，一棵小树在大风中被吹歪，用一根棍子把小树扶直，已知支撑点到地面的距离是10米，棍子的长度为5.5米，求棍子和地面接触点C到小树底部B的距离是多少?
22．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.求AB的长.
23．如图，在四边形ABCD中，BA⊥DA，AB=AD 3
2
2
CD=4，BC=5．
（1）求BD 的长；
（2）求∠ADC 的度数．
24．如图，将一个2×2的正方形剪成四个全等的直角三角形，请用这四个全等的直角三角形，在图①、图②的网格中，拼出两个不全等且含有正方形的图形．要求拼图时，直角三角形的顶点均在小正方形的顶点上，且四个直角三角形不能有重叠部分．
25．如图，在ABC 中，AB AC =，15BC =，D 是AB 上一点，9BD =，12CD =．
（1）求证：CD AB ⊥；
（2）求AC 的长．
26．如图，为了测量湖泊两侧点A 和点B 间的距离，数学活动小组的同学过点A 作了一条AB 的垂线，并在这条垂线的点C 处设立了一根标杆（即AC AB ⊥）．量得
160m AC =，200m BC =，求点A 和点B 间的距离．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【详解】
解：连接AD，如图所示：
∵AD=AB=2，
∴DE=22
-=3，
21
∴CD=23
-，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，已知三边的平方和可以求出斜边的平方，根据斜边的平方可以求出斜边长．
【详解】
解：∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，
又∵已知三边的平方和为800，则斜边的平方为三边平方和的一半，
即斜边的平方为，800÷2=400，
∴斜边长400，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用，考查了勾股定理的定义，本题中正确计算斜边长的平方是解题的关键．
3．C
解析：C
根据题意画出示意图，设学校教学楼的高度为x ，可得AC AD x ==，()1AB x m =-，6BC m =，利用勾股定理可求出x ．
【详解】
解：如图，
设学校教学楼的高度为x ，则AD x =，()1AB x m =-，6BC m =，
左图，根据勾股定理得，绳长的平方223x =+，
右图，根据勾股定理得，绳长的平方()2
216x =-+，
∴()2222316x x +=-+， 解得：14x =．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
4．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理求出AB 即可．
【详解】
解：∵90AOB ∠=︒，
∴22226810AO OB ++=（m ），
6+8-10=4（m ）,
∴他们踩伤草坪，仅仅少走了4m ；
故选：A ．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题关键是熟练运用勾股定理求线段长．
5．B
解析：B
【分析】
根据七巧板意义，计算出阴影等腰直角三角形的直角边的长即可.
如图，根据题意，得
BC=20，CD=BD=102=EM ，
∴EG=GM=52，
∴EF=FG=5，
∴212522
EFG S EF ==， 故选B.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积，熟练掌握七巧板制作规律和制作特点是解题的关键.
6．B
解析：B
【分析】
根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数，成为勾股数，据此可判断．
【详解】
A ．0.3、0.4、0.5，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；
B ．9、40、41，是正整数，且满足22294041+=，是勾股数，选项正确；
C ．2、3、4，是正整数，但222234+≠，所以不是勾股数，选项正确；
D ．123
故选：B ．
【点睛】
本题考查了勾股数的判定方法，解题关键是要看这组数是否为正整数，且满足最小两个数的平方和等于最大数的平法．
7．B
解析：B
【分析】
将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求．
【详解】
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
由题意可得：A′D的长度等于圆柱底面周长的一半，即A′D=15cm
由对称的性质可得A′M=AM=DE=2，BE=11-5=6
∴BD=DE+BE=8
连接A′B，则A′B即为最短距离，2222
+=+=（cm）．
A D BD
'15817
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
8．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项分别进行判定，则可得出结论．
【详解】
解：A、因为12＋122）2，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、因为1232＝22，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、因为32＋42＝52，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、因为22＋22≠32，所以此三角形不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
9．C
解析：C
【分析】
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
解：A A 错误；
B 、0.6，0.8，不是整数，故B 错误；
C 、3，4，5是整数，且222345+=，故C 正确；
D 、5，11，12是整数，但22251112+≠，故D 错误；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形．
10．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理计算AC 的长，利用割补法可得△ABC 的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：由勾股定理得：AC =
∵S △ABC ＝3×3−
12×1×2−12×1×3−12×2×3＝72， ∴
12AC•BD ＝72， ∴
＝7，
∴BD 故选：D ．
【点睛】 本题考查了勾股定理与三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
根据矩形的性质可得OB ＝AC ，根据勾股定理即可求出答案．
【详解】
在矩形OABC 中，
OB ＝AC ，
∵B （2，5）， ∴
OB ==
AC OB ==
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理．
12．A
解析：A
【分析】
根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．
【详解】
解：由条件可得：
2213 113
1
24
a b
ab
a b
⎧+=
⎪
-
⎪
=
⎨
⎪
>>
⎪⎩
，
解之得：
3
2
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
．
所以2
()25
a b
+=，
故选A
【点睛】
本题考查了正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力．
二、填空题
13．【分析】连接AB由题意知：OA=5AB=13利用勾股即可求得OB的长本题即可求解【详解】解：如图连接AB由题意知：OA=5AB=13∴OB=∴B故答案为：【点睛】本题考查的圆的半径以及勾股定理添加辅
解析：()
0,12．
【分析】
连接AB，由题意知：OA=5，AB=13，利用勾股即可求得OB的长，本题即可求解．
【详解】
解：如图，连接AB，
由题意知：OA=5，AB=13，
∴
12，
0,12．
∴B()
0,12．
故答案为：()
【点睛】
本题考查的圆的半径以及勾股定理，添加辅助线AB以及正确利用勾股定理进行计算是解题的关键．
14．【分析】根据ACDC解直角△ACD可以求得AD根据求得的AD和BD解直角△ABD可以计算AB【详解】∵AD⊥BC于D∴△ACD△ABD为直角三角形
∴AC2＝AD2＋DC2∴AD＝=＝∵△ABD为直角
解析：
【分析】
根据AC，DC解直角△ACD，可以求得AD，根据求得的AD和BD解直角△ABD，可以计算AB．
【详解】
∵AD⊥BC于D，
∴△ACD、△ABD为直角三角形，
∴AC2＝AD2＋DC2，
∴AD
，
∵△ABD为直角三角形，
∴AB2＝AD2＋BD2，
∴AB
＝
故答案为：
【点睛】
本题考查了直角三角形中勾股定理的灵活运用，根据两直角边求斜边，根据斜边和一条直角边求另一条直角边．
15．5【分析】根据勾股定理可知大正方形面积等于两个小正方形面积和再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积【详解】解：由图可知阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积+重叠部分面积根据勾股定
解析：5
【分析】
根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积．
【详解】
解：由图可知，阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积+重叠部分面积，根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，
所以阴影部分面积=重叠部分面积，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了勾股定理，解题关键是树立数形结合思想，知道大正方形面积等于两个小正方形面积和，通过面积和差得出阴影部分面积等于重叠部分面积．
16．①②③【分析】①由条件证明△ABD ≌△ACE 就可以得到结论；②由△ABD ≌△ACE 就可以得出∠ABD=∠ACE 就可以得出∠BDC=90°而得出结论；③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°由∠
解析：①②③
【分析】
①由条件证明△ABD ≌△ACE ，就可以得到结论；
②由△ABD ≌△ACE 就可以得出∠ABD=∠ACE ，就可以得出∠BDC=90°而得出结论； ③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠DBC+∠ACE=90°，就可以得出结论； ④△BDE 为直角三角形就可以得出BE 2=BD 2+DE 2，由△DAE 和△BAC 是等腰直角三角形就有DE 2=2AD 2，BC 2=2AB 2，就有BC 2=BD 2+CD 2≠BD 2就可以得出结论．
【详解】
解：①∵∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ，
即∠BAD=∠CAE ．
在△ABD 和△ACE 中，
AD AE BAD CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴BD=CE ．故①正确；
∵△ABD ≌△ACE ，
∴∠ABD=∠ACE ．
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BDC=180°-90°=90°．
∴BD ⊥CE ；故②正确；
③∵∠BAC=90°，AB=AC ，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°．
∴∠ACE+∠DBC=45°，故③正确；
④∵BD ⊥CE ，
∴BE 2=BD 2+DE 2．
∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，
∴DE 2=2AD 2，BC 2=2AB 2．
∵BC 2=BD 2+CD 2≠BD 2，
∴2AB 2=BD 2+CD 2≠BD 2，
∴BE 2≠2（AD 2+AB 2）．故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键． 17．5【分析】设两直角边长分别为ab 斜边长为c 则根据题意列得即可求出答案【详解】设两直角边长分别为ab 斜边长为c 则∵三边长的平方和是∴∴解得c=5（负值舍去）故答案为：5【点睛】此题考查勾股定理正确掌握
解析：5
【分析】
设两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则222+=a b c ，根据题意列得2250c =即可求出答案.
【详解】
设两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则222+=a b c ，
∵三边长的平方和是50，
∴22250a b c ++=，
∴2250c =，
解得c=5（负值舍去），
故答案为：5.
【点睛】
此题考查勾股定理，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键.
18．【分析】设AO ＝x 则BO ＝DO ＝6﹣x 在直角△ABO 中利用勾股定理即可列方程求得x 的值则可求出OD 的长【详解】解：∵△BDC′是将长方形纸牌ABCD 沿着BD 折叠得到的∴∠CBD ＝∠CBD ∵长方形AB 解析：133
【分析】
设AO ＝x ，则BO ＝DO ＝6﹣x ，在直角△ABO 中利用勾股定理即可列方程求得x 的值，则可求出OD 的长．
【详解】
解：∵△BDC′是将长方形纸牌ABCD 沿着BD 折叠得到的，
∴∠C'BD ＝∠CBD ，
∵长方形ABCD 中，AD ∥BC ，
∴∠ODB ＝∠CBD ，
∴∠ODB ＝∠C'BD ，
∴BO＝DO，
设AO＝x，则BO＝DO＝6﹣x，
在直角△ABO中，AB2+AO2＝BO2，即42+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝5
3
，
则AO＝5
3
，
∴OD＝6﹣5
3＝
13
3
，
故答案为：13
3
．
【点睛】
本题考查直角三角形轴对称变换及勾股定理和方程思想方法的综合应用，熟练掌握直角三角形轴对称变换的性质及方程思想方法的应用是解题关键．
19．或【分析】本题已知直角三角形的两边长但未明确这两条边是直角边还是斜边因此两条边中的较长边5既可以是直角边也可以是斜边所以求第三边的长必须分类讨论即5是斜边或直角边的两种情况然后利用勾股定理求解【详解
解析：4
【分析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边5既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即5是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】
设第三边为x，
①若5是直角边，则第三边x是斜边，
由勾股定理得：
②若5是斜边，则第三边x为直角边，
由勾股定理得：
所以第三边的长为4
故答案为：4
【点睛】
本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理，并且分情况讨论是解题关键．
20．【分析】直接根据勾股定理求解可得【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6∴斜边长为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理在任何一个直角三角形中两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方即如果直
解析：
【分析】
直接根据勾股定理求解可得．
【详解】
解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．三、解答题
21．5米
【分析】
利用勾股定理计算即可.
【详解】
由题意知：米，AC=5.5米，
∵∠ABC=90°，
∴BC==米，
答：棍子和地面接触点C到小树底部B的距离是4.5米.
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，根据实际问题构建直角三角形利用勾股定理来解决问题是解题的关键.
22．【分析】
由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接可求出DC的长，再利用勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长．
【详解】
∵CD⊥AB于D，且BC=15，BD=9，AC=20
∴∠CDA=∠CDB=90°
在Rt△CDB中，CD2+BD2=CB2，
∴CD2+92=152
∴CD=12；
在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2
∴122+AD2=202
∴AD=16，
∴AB=AD+BD=16+9=25．
23．（1）3；（2）135°．
【分析】
（1）首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的长；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出∠ADB=45°，再根据勾股定理逆定理在△BCD 中，证明△BCD 是直角三角形，即可求出答案．
【详解】
解：(1)∵AB ⊥AD ，
∴∠BAD=90°．
在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得
222BD AB AD =+ ，
∴ 2233(2)(2)322
BD =+= ． (2)∵22224325CD BD +=+=，22525BC ==，
∴222CD BD BC +=．
∴△BCD 是直角三角形， ∠BDC=90°．
又∵AB=AD ，
∴∠ADB=∠ABD ．
∴∠ADB=1902
⨯︒=45°． ∴∠ADC=∠ADB +∠BDC =45°+90°=135° ．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，解决问题的关键是求出∠ADB=45°，再求出∠BDC=90°．
24．见解析
【分析】
根据题意在图①、图②的网格中，拼出两个不全等且含有正方形的图形．要求拼图时，直角三角形的顶点均在小正方形的顶点上，且四个直角三角形不能有重叠部分即可求解．
【详解】
解：如图所示：
．
【点睛】
本题考查了图形的剪拼，抓住所要求图形的特点，找到相应的边的长度是解决本题的关键．
25．（1）见解析；（2）AC 的长为12.5．
【分析】
(1)计算△BCD 各边的平方，看是否满足勾股定理的逆定理，依此判断直线的位置关系；
(2)用方程思想，表达勾股定理计算即可.
【详解】
（1）证明：2222129225CD BD +=+=，2225BC =，
222CD BD BC ∴+=，
90CDB ∴∠=︒，
CD AB ∴⊥；
（2）设AB AC x ==，则9AD x =-，
在Rt ACD 中，90ADC ∠=︒，
222AD CD AC ∴+=，
222(9)12x x ∴-+=，
解得12.5x =，
AC ∴的长为12.5．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理，逆定理并灵活运用是解题的关键. 26．点A 和点B 间的距离为120m
【分析】
在Rt △ABC 中利用勾股定理计算出AB 长即可．
【详解】
解：∵AC AB ⊥．
∴90BAC ︒∠=，
∴在Rt ABC △中，222AB AC BC +=．
∵160AC =，200BC =， ∴2222200160120(m)AB BC AC -=-=．
答：点A 和点B 间的距离为120m ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．。