浙江省温州市十校联合体2013届高三上学期期末联考理科数学试卷

浙江省温州市十校联合体2013届高三上学期期末联考
数学试卷（理科）
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答。

答题前，请在答题卷的密封
线内填写学校、班级、学号、姓名；
2．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考
试时间120分钟。

参考公式：
球的表面积公式
柱体体积公式
24R S π= V sh =
球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
34
3
V R π=
台体的体积公式121
()3
V h S S =
锥体体积公式 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高
Sh V 3
1=
如果事件A 、B 互斥，
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1. .已知集合{}111,1,|
242x M N x Z +⎧⎫
=-=∈<<⎨⎬⎩⎭
，则=⋂N M （ ） Ａ.{}1,1- B.{}1- C.{}0 D.{}1,0- 2. 若复数
)(12R a i ai
∈-+是纯虚数(是虚数单位)，则a 的值为 （ ） (A) 2- (B) 2 (C) (D) 1-
3.在24
3
1⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有 （ ） （A ） 3项 （B ）4项 （C ） 5项 （D ） 6项
4. 已知实数x , y , 则“2xy ≥”是“22
4x y +≥”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 下列命题正确的是 （ ） （A ）若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行 （B ）若平面γβγα⊥⊥,，则平面βα⊥ （C ）平行四边形的平面投影可能是正方形
（D ）若一条直线上的两个点到平面α的距离相等，则这条直线平行于平面α
6. 已知函数，，当x=a 时，取得最小值b ，则
函
数
b
x )a
(
)x (g +=1的
图
象
为
（ ）
7. 数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且()
*
+∈-=N n a a b n n n 1．若则
12,2103=-=b b ，则=8a （ ） A ．0 B ．3 C
．8
D ．11
8. 在ABC ∆中，点D 在线段BC 的延长线上，且3=，点O 在线段CD 上（与点C,D 不重合）若 x x )1(-+=则x 的取值范围 （ ）
A ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭ B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C ．1,02⎛⎫-
⎪⎝⎭
D ．1,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
9. 已知抛物线()022
>=p px y 与双曲线()0,012222>>=-b a b
y a x 有相同的焦点F ，点
A 是两曲线的交点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为 （ ）
（A ）12+ （B ）13+ （C ）
215+ （D ）21
22+
10.设)(x f 在),0(+∞上是单调递增函数，当*N n ∈时，*)(N n f ∈，且12)]([+=n n f f ，则
（ ）
A ．4)2(,3)1(==f f
B ．3)2(,2)1(==f f
C ．5)4(,4)2(==f f
D ．4)3(,3)2(==f f
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共2811.函数()f x =
的定义域为 ．
12.如右图程序框图，输出s= ．（用数值作答）
13.已知一个三棱锥的三视图如右下图所示，其中俯视图是顶角为120o 的等腰三角形，则该三棱锥的体积为 ．
14.用字母A 、Y ，数字1、8、9构成一个字符不重复的五位 号牌，要求字母A 、Y 不相邻，数字8、9相邻， 则可构成的号牌个数是 (用数字作答) ． 15.在△ABC 中，若a =2，b+c=7，cosB=4
1
-
，则b= ． 16.已知等比数列}{n a 满足1129-+⋅=+n n n a a ，*N n ∈则 数列}{n a 的前n 项和n S 为 ．
17.已知函数32)(2
--=x x x f ,若1<<b a ，且)()(b f a f =，
俯视图
左视图
主视图12
23
则b a u +=2的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共72分）
18．（本题满分14分）函数)0(3sin 32
cos 6)(2
>-+=ωωωx x
x f 的最小正周期是8
（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域； （Ⅱ
）若0()5f x =，且0102
(,)33
x ∈-，求0(1)f x +的值。

19.（本题满分14分）甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．
（Ⅰ）求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率； （Ⅱ）设总决赛中获得的门票总收入为X ，求X 的均值()E X ．
20.（本题满分15分）如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC ＝30°， BM ⊥AC 交 AC 于点 M ，EA ⊥平面ABC ，FC//EA ，AC ＝4，EA ＝3，FC ＝1． （I ）证明：EM ⊥BF ；
（II ）求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．
21．(本题满分15分)给定椭圆2
222:1(0)y x C a b a b
+=>>，称圆心在坐标原点O ，半径为
（第20题图）
C 的“伴随圆”． 若椭圆C
的一个焦点为20)F ，其短轴上的一个端点到2F
（Ⅰ）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点(0,)(0)P m m <的直线与椭圆C 只有一个公共点，且截椭圆C 的“伴随圆”
所得的弦长为m 的值；
（Ⅲ）过椭圆C 的“伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，当直线12,l l 都有斜率时，试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由.
22.（本题满分14分）设x
e a a ax x x x
f )1ln ()(2
--++=,2-≥a . （1）若0=a ，求)(x f 的单调区间；
（2）讨论)(x f 在区间),1(+∞e
上的极值点个数；
2012学年第一学期十校联合体高三期末联考
理科数学 答案
(完卷时间：120分钟； 满分：150分)
二、填空题
11． (1,1)e + 12． 91
13．
3
3
2 14． 24 15． 4 16． )12(3-n
一、选择题
17． )243,1023[--
三、解答题
18.（满分14分）
（Ⅰ）由已知可得：)0(3sin 32
cos 6)(2
>-+=ωωωx x
x f
=3cosωx+)3
sin(32sin 3π
ωω+=x x ……3分
函数4
82824)(π
ωω
π
=
==⨯=，得，即
的周期T x f
所以，函数]32,32[)(-的值域为x f 。

……………………6分 （Ⅱ）因为，由5
3
8)(0=
x f （Ⅰ）有 ，53
8)3
4
(
sin 32)(0
0=
+
=π
πx x f 5
4)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2
,2()34x (323100π
πππ-∈+-
∈），得，（ 所以，5
3
)54(1)34(
cos 20
=-=+
π
πx 即……………………9分 故=+)1(0x f =+
+
)344(
sin 320
π
π
πx ]4)34(
sin[320
π
π
π+
+
x
)
2
2532254(324
sin
)34cos(4cos )34([sin 3200⨯+⨯=+++=π
πππππx x
5
6
7=
……………………………………………14分 19.（满分14分）
解：（I ）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．
设此数列为{}n a ，则易知140,1030n a a n ==+，(1070)
300,2
n n n S +∴=
=
解得12n =-（舍去）或5n =，所以此决赛共比赛了5场． …………3分
则前4场比赛的比分必为1:3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为1
441
1()24
C =
； …………6分
（II ）随机变量X 可取的值为4567,,,S S S S ，即220，300，390，490 …………7分 又41441111(220)2(),(300)()2
824
P X P X C ==⋅=
=== …………8分 2536
561515(390)(),(490)()216216
P X C P X C ====== …………12分
所以，X 的分布列为
所以X 的均值为()E X =377.5万元
…………14分
20.（满分15分）
解：（1）3AM BM ==，
如图，以A 为坐标原点，垂直于AC 、AC 、AE 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．由已知条件得(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),3,0),(0,4,1)A M E B F ，
(0,3,3),(ME BF ∴=-=u u
u r u u u
r
． 由
(0,3,3)(0ME BF ⋅=-⋅=u u u r u u u r ， 得MF BF ⊥u u u u r u u u r
， EM BF ∴⊥． ……………6分 （2）由（1
）知(3,3),(BE BF =-=u u u r u u u r
． 设平面BEF 的法向量为(,,)n
x y z =r ，
由0,0,n BE n BF ⋅=
⋅=r u u u r r u u u r
得3300y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，] 令x =
1,2y z ==，)
2n ∴=r ，
由已知EA ⊥平面ABC ，所以取面ABC 的法向量为(0,0,AE =u u u r 设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，
则cos cos ,n AE θ→=<>==
r ，平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角
． ………………15分
21.（满分15分）
（１）椭圆方程为：2
213
x y +=；……………… 2分 椭圆C 的“伴椭圆”方程为：22
4x y += … 4分
（２）设直线方程为：y kx m =+
因为截椭圆C 的“伴随圆”
所得的弦长为
d =
=222(1)m k =+ ………………7分
又2233x y y kx m
⎧+=⎨=+⎩得222(13)6330k x mkx m +++-= 22130k m ∆=+-=
24m ∴=，2m =- ………………10分
（３）设00(,)Q x y ，直线00()y y k x x -=-，
由（２）可知2222
001313()0k m k y kx +-=+--= 即222
0000(3)210x k y x k y -++-=
2
122
013y k k x -∴=- 又22
004x y +=Q
121k k ∴=-为定值。

……………… 15分
22.（满分14分） 解：（1）当0=a 时：x
e x x x
f )1ln ()(-=，（0>x ） 故x
e x x x x
f )1ln 1(ln )('
-++=x
e x x )1(ln +=……3分
当1=x 时：0)('
=x f ，当1>x 时：0)('
>x f ，当1<x 时：0)('
<x f .
故)(x f 的减区间为：)1,0(，增区间为),1(+∞……6分 （2）x
e a ax x x x x
f )ln (ln )(2'+++=……7分
令=)(x g 2
ln ln a ax x x x +++，故a x x x g +++=
1ln 1)(',x x
x g 11)(2''+-=, 显然0)1('
'=g ，又当1<x 时：0)('
'<x g .当1>x 时：0)('
'>x g .
故=min '
)(x g a g +=2)1('
，Θ2-≥a ，02)()(min '
'
≥+=≥∴a x g x g .
故)(x g 在区间),1(+∞e
上单调递增，……10分
注意到：当+∞→x 时，)(x g +∞→，故)(x g 在),1(+∞e
上的零点个数由
)1
1)(1()1(e
a a e g ++-=的符号决定. ……11分 ①当0)1(≥e g ，即：e a 112--≤≤-或1≥a 时：)(x g 在区间),1
(+∞e 上无零点，即
)(x f 无极值点.
②当0)1(<e g ，即：111<<-
-a e 时：)(x g 在区间),1
(+∞e
上有唯一零点，即 )(x f 有唯一极值点.
综上：当e a 112-
-≤≤-或1≥a 时：)(x f 在),1
(+∞e
上无极值点. 当111<<--a e 时：)(x f 在),1
(+∞e
上有唯一极值点. ……14分。