江西省赣中南五校联考高三数学下学期期中试卷(含解析)

2016-2017学年江西省赣中南五校联考高三（下）期中数学试卷
一、填空题（每空5分，共20分）
1．已知平面向量的夹角为120°，且，若，则n= ．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
3．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为．
4．如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为．
二、选择题（每题5分，共60分.）
5．集合A={x∈N|0＜x＜4}的真子集个数为（）
A．3 B．4 C．7 D．8
6．已知集合A={x|x2+5x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）
A．（﹣5，0）B．（﹣3，0）C．（0，4）D．（﹣5，4）
7．设函数f（x）是R上的奇函数，f（x+π）=﹣f（x），当0≤x≤时，f（x）=cosx﹣1，则﹣2π≤x≤2π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积为（）
A．4π﹣8 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．3π﹣6
8．定义在R上的函数y=f（x）为减函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0，且0≤x≤2，则x﹣b的取值范围是（）
A．[﹣2，0] B．[﹣2，2] C．[0，2] D．[0，4]
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
A．12 B．18 C．24 D．30
10．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积是（）
A．2πB．4πC．8πD．10π
11．在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（3，1）到直线l的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数有（）
A．3 B．2 C．4 D．1
12．直线 l与直线y=1和x﹣y﹣7=0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），那么直线l的斜率是（）
A．B．C．D．
13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）=﹣e﹣x（x﹣1）；
②函数f（x）有2个零点；
③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），
④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
14．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1（O为坐标原点），则p的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．李冶，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四
边之间的面积为13.75亩，
若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）
A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步
16．已知函数关于x的方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=0，有5不同的实数解，则m的取值范围是（）
A．B．（0，+∞）C． D．
三、综合题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n﹣n+1（n∈N*），b n=a n+1．
（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）求数列{nb n}的前n项和T n．
18．中央电视台为了解该卫视《朗读者》节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数字被污损，
（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．
（2）随着节目的播出，极大激发了观众对朗读以及经典的阅读学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众的周均阅读学习经典知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如表所示）：
年龄x岁20 30 40 50
周均学习成语知识时间y
（小时）
2.5 3 4 4.5
由表中数据，试求线性回归方程y=bx+a，并预测年龄为50岁观众周均学习阅读经典知识的时间．
19．在三棱锥S﹣ABC中，三条棱SA、SB、SC两两互相垂直，且SA=SB=SC=a，M是边BC的
中点．
（1）求异面直线SM与AC所成的角的大小；
（2）设SA与平面ABC所成的角为α，二面角S﹣BC﹣A的大小为β，分别求cosα，cosβ的值．
20．在平面直角坐标，直线l：y=x﹣3经过椭圆E：（a＞b＞0）的一个焦点，且点（0，b）到直线l的距离为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|．问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由．
21．已知函数f（x）=lnx﹣，a∈R．
（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围．
四、解答题（共1小题，满分10分）
22．已知复数z1=m+（4﹣m2）i（m∈R），z2=2cosθ+（λ+3sinθ）i（λ∈R），若z1=z2，求λ的取值范围．
五、解答题（共1小题，满分0分）
23．设函数f（x）=|2x﹣a|，
（Ⅰ）若a=4，求f（x）≤x的解集；
（Ⅱ）若f（x+1）＞|2﹣a|对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
2016-2017学年江西省赣中南五校联考高三（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每空5分，共20分）
1．已知平面向量的夹角为120°，且，若，则n= 1 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量数量积的定义，利用两向量垂直，数量积为0列出方程求解即可．【解答】解：平面向量的夹角为120°，
且，
∴•=2×4×cos120°=﹣4；
又，
∴（n+）•=0，
∴n+=0，
即22•n﹣4=0，
解得n=1．
故答案为：1．
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】几何体的直观图是四面体，求出每个面的面积，即可得出结论．
【解答】解：几何体的直观图是四面体，每个面的面积分别为
+2×2++
=，
故答案为．
3．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为3．
【考点】IT：点到直线的距离公式．
【分析】直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．可得点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d为最大值．
【解答】解：∵直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．
∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且k MN=﹣1，可得MN与直线x﹣y﹣4=0垂直．∴点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d==3为最大值．
故答案为：3．
4．如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为．
【考点】CF：几何概型．
【分析】先由黄豆试验估计，黄豆落在阴影部分的概率，再转化为几何概型的面积类型求解．【解答】解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是
矩形的面积为10，设阴影部分的面积为s
则有
∴s=
故答案为：
二、选择题（每题5分，共60分.）
5．集合A={x∈N|0＜x＜4}的真子集个数为（）
A．3 B．4 C．7 D．8
【考点】16：子集与真子集．
【分析】先求出集合的元素的个数，再代入2n﹣1求出即可．
【解答】解：∵集合A={x∈N|0＜x＜4}={1，2，3}，
∴真子集的个数是：23﹣1=7个，
故选：C．
6．已知集合A={x|x2+5x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）
A．（﹣5，0）B．（﹣3，0）C．（0，4）D．（﹣5，4）
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】求出关于A的解集，从而求出A与B的交集．
【解答】解：∵A={x||x2+5x＞0}={x|x＜﹣5或x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，
∴A∩B={x|0＜x＜4}，
故选：C．
7．设函数f（x）是R上的奇函数，f（x+π）=﹣f（x），当0≤x≤时，f（x）=cosx﹣1，则﹣2π≤x≤2π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积为（）
A．4π﹣8 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．3π﹣6
【考点】6G：定积分在求面积中的应用．
【分析】根据函数的奇偶性得到函数的周期是2π，分别求出函数的解析式，利用积分的应用即可得到结论
【解答】解：由f（x+π）=﹣f（x）得f（x+2π）=f（x），
即函数的周期是2π，
若﹣≤x≤0，则0≤﹣x≤，
即f（﹣x）=cos（﹣x）﹣1=cosx﹣1，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（﹣x）=cosx﹣1=﹣f（x），
即f（x）=1﹣cosx，﹣≤x≤0，
∵函数的周期是2π，
∴当＜x≤2π时，﹣＜x﹣2π≤0，
即f（x）=f（x﹣2π）=1﹣cos（x﹣2π）=1﹣cosx，
当＜x≤π时，﹣＜x﹣π≤0，
即f（x）=﹣f（x﹣π）=cos（x﹣π）﹣1=﹣cosx﹣1，
当π＜x≤时，0≤x﹣π≤，
即f（x）=﹣f（x﹣π）=﹣cos（x﹣π）+1=cosx+1，
综上：f（x）=，
则由积分的公式和性质可知当﹣2π≤x≤2π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积
S=2=4=8=8||=8（x﹣sinx）|=4π﹣8．
故选A．
8．定义在R上的函数y=f（x）为减函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0，且0≤x≤2，则x﹣b的取值范围是（）
A．[﹣2，0] B．[﹣2，2] C．[0，2] D．[0，4]
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
【分析】设P（x，y）为函数y=f（x﹣1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2﹣x，﹣y），可得f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．由于不等式f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0化为f（x2﹣2x）≤﹣f（2b﹣b2）=f（1﹣1﹣2b+b2）=f（b2﹣2b），再利用函数y=f（x）为定义在R上的减函数，可得x2﹣2x≥b2﹣2b，可画出可行域，进而得出答案．
【解答】解：设P（x，y）为函数y=f（x﹣1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2﹣x，﹣y），
∴f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．
∴不等式f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0化为f（x2﹣2x）≤﹣f（2b﹣b2）=f（1﹣1﹣2b+b2）=f（b2﹣2b），
∵函数y=f（x）为定义在R上的减函数，
∴x2﹣2x≥b2﹣2b，
化为（x﹣1）2≥（b﹣1）2，
∵0≤x≤2，∴或．
画出可行域．设x﹣b=z，则b=x﹣z，由图可知：当直线b=x﹣z经过点（0，2）时，z取得最小值﹣2．
当直线b=x﹣z经过点（2，0）时，z取得最大值2．
综上可得：x﹣b的取值范围是[﹣2，2]．
故选B．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的
体积为（）
A．12 B．18 C．24 D．30
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，
其底面面积S=×3×4=6，
棱柱的高为：5，棱锥的高为3，
故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，
故选：C
10．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积是（）
A．2πB．4πC．8πD．10π
【考点】LG：球的体积和表面积．
【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA1，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．
【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，
∴×2×1×sin60°×AA1=，∴AA1=2
∵BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos60°=4+1﹣2，∴BC=．
设△ABC外接圆的半径为R，则=2R，∴R=1．
∴外接球的半径为，∴球的表面积等于4π×（）2=8π．
故选：C．
11．在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（3，1）到直线l的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数有（）
A．3 B．2 C．4 D．1
【考点】IT：点到直线的距离公式．
【分析】由于AB=＜2+1，故满足条件的且和线段AB有交点的直线不存在，故满足条件的直线有两条，这两条直线位于线段AB的两侧．
【解答】解：AB=＜2+1，故不存在和线段AB有交点的直线．
故满足条件的直线有两条，这两条直线位于线段AB的两侧．
故选 B．如图：
12．直线 l与直线y=1和x﹣y﹣7=0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），那么直线l的斜率是（）
A．B．C．D．
【考点】I3：直线的斜率；IF：中点坐标公式．
【分析】设出P、Q两点坐标，根据重点公式求出P、Q两点的坐标，利用两点表示的斜率公式计算直线l的斜率．
【解答】解：设P（a，1），Q（b，b﹣7），
∵线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），
∴1=，﹣1=
解得，a=﹣2，b=4
∴P（﹣2，1），Q（4，﹣3），直线l的斜率为： =﹣
故选B
13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）=﹣e﹣x（x﹣1）；
②函数f（x）有2个零点；
③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），
④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】3L：函数奇偶性的性质．
【分析】①根据f（x）为奇函数，可设x＞0，从而有﹣x＜0，从而可求出f（x）=e﹣x（x ﹣1），
②从而可看出﹣1，1，0都是f（x）的零点，这便得出①②错误，
③而由f（x）解析式便可解出f（x）＜0的解集，从而判断出③的正误，
④可分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导数，根据导数符号可判断f（x）的单调性，根据单调性即可求出f（x）的值域，这样便可得出∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．【解答】解：①f（x）为R上的奇函数，设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x）；
∴f（x）=e﹣x（x﹣1）；
∴故①错误，
②∵f（﹣1）=0，f（1）=0；
又f（0）=0；
∴f（x）有3个零点；
故②错误，
③当x＜0时，由f（x）=e x（x+1）＜0，得x+1＜0；
即x＜﹣1，
当x＞0时，由f（x）=e﹣x（x﹣1）＜0，得x﹣1＜0；
得0＜x＜1，
∴f（x）＜0的解集为（0，1）∪（﹣∞，﹣1）；
故③正确，
④当x＜0时，f′（x）=e x（x+2）；
∴x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；
∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；
∴f（x）＜f（0）=1；
即﹣e﹣2＜f（x）＜1；
当x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；
∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；
x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；
∴f（x）＞f（0）=﹣1；
∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；
∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；
∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；
故④正确，
∴正确的命题为③④．
故选：C
14．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1（O为坐标原点），则p的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】根据A是C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1，建立方程，即可求出p的值．
【解答】解：设A（a，b），则b2=2pa， =1，a+=2a，
解得p=2，
故选B．
15．李冶，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）
A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．从而建立关系求解即可．
【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．
方田面积减去水池面积为13.75亩，
∴（40+m）2﹣=13.75×240．
解得：m=20．
即圆池直径20步
那么：方田边长为40步+20步=60步．
故选B．
16．已知函数关于x的方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=0，有5不同的实数解，则m的取值范围是（）
A．B．（0，+∞）C． D．
【考点】54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】利用导数研究函数y=的单调性并求得最值，求解方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f （x）﹣m=0得到f（x）=m或f（x）=．画出函数图象，数形结合得答案．
【解答】解：设y=，则y′=，
由y′=0，解得x=e，
当x∈（0，e）时，y′＞0，函数为增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＜0，函数为减函数．∴当x=e时，函数取得极大值也是最大值为f（e）=．
方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=0化为[f（x）﹣m][2f（x）+1]=0．
解得f（x）=m或f（x）=．
如图画出函数图象：
可得m的取值范围是（0，）．
故选：C．
三、综合题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n﹣n+1（n∈N*），b n=a n+1．
（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）求数列{nb n}的前n项和T n．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（1）求出数列的首项，利用通项与和的关系，推出数列b n的等比数列，求解通项公式．
（2）利用错位相减法求解数列的和即可．
【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣1+1，易得a1=0，b1=1；
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣n+1﹣[2a n﹣1﹣n+1+1]，
整理得a n=2a n﹣1+1，
∴b n=a n+1=2（a n﹣1+1）=2b n﹣1，
∴数列{b n}构成以首项为b1=1，公比为2等比数列，
∴数列
{b n}的通项公式b n=2n﹣1，n∈N•；
（2）由（1）知b n=2n﹣1，则nb n=n•2n﹣1，
则T n=1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1，①
∴2T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②
由①﹣②得：﹣T n=20+21+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n==2n﹣1﹣n•2n，
∴T n=（n﹣1）2n+1．
18．中央电视台为了解该卫视《朗读者》节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数字被污损，
（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．
（2）随着节目的播出，极大激发了观众对朗读以及经典的阅读学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众的周均阅读学习经典知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如表所示）：
年龄x岁20 30 40 50
周均学习成语知识时间y
（小时）
2.5 3 4 4.5
由表中数据，试求线性回归方程y=bx+a，并预测年龄为50岁观众周均学习阅读经典知识的时间．
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】（1）求出基本事件的个数，即可求出概率；
（2）求出回归系数．可得回归方程．再预测年龄为50岁观众周均学习成语知识时间．【解答】解：（1）设被污损的数字为a，则a有10种情况．
令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a＜8．
∴东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况，
其概率为．
（2）=35， =3.5， ==，
=﹣=，
∴=x+x=50时， =4.55小时．
19．在三棱锥S﹣ABC中，三条棱SA、SB、SC两两互相垂直，且SA=SB=SC=a，M是边BC的中点．
（1）求异面直线SM与AC所成的角的大小；
（2）设SA与平面ABC所成的角为α，二面角S﹣BC﹣A的大小为β，分别求cosα，cosβ的值．
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LM：异面直线及其所成的角．
【分析】（1）取AB的中点D，连结SD，MD，说明三角形SDM是等边三角形，推出异面直线SM与AC成60°角．
（2）过S作SO⊥AM，垂足为O，说明SA与平面ABC所成的角α=∠SAM，通过求解三角形即可，二面角S﹣BC﹣A的大小β=∠SMA，通过三角形求解即可．
【解答】解：（1）取AB的中点D，连结SD，MD，
显然
所以三角形SDM是等边三角形…
所以异面直线SM与AC成60°角…
（2）过S作SO⊥AM，垂足为O，
因为SM⊥BC，AM⊥BC
所以BC⊥平面SAM，所以BC⊥SO
所以SO⊥平面ABC
则SA与平面ABC所成的角α=∠SAM…
因为SA⊥SB，SA⊥SC
所以SA⊥平面SBC，所以SA⊥SM，
…
因为SM⊥BC，AM⊥BC
则二面角S﹣BC﹣A的大小β=∠SMA…，
…
20．在平面直角坐标，直线l：y=x﹣3经过椭圆E：（a＞b＞0）的一个焦点，且点（0，b）到直线l的距离为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|．问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）先求出c，再利用点（0，b）到直线l的距离为2，求出b，从而可求a，即可得出椭圆E的方程；
（2）分类讨论，直线AB的斜率存在且不为0时，设AB：y=kx，代入椭圆方程，求出A的坐标，同理求出C的坐标，表示出面积，利用基本不等式，即可得出结论．
【解答】解：（1）对于直线l：y=x﹣3，令y=0，可得x=，
∴焦点为（，0），
∴c=，
∵点（0，b）到直线l的距离为2，
∴=2，
∵b＞0，
∴b=1，
∴a=2，
∴椭圆E的方程；
（2）①当AB为长轴（或短轴）时，由题意，C是椭圆的上下顶点（或左右顶点），
；
②当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB：y=kx，代入椭圆方程，可得
，
∵|AC|=|CB|，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴直线OC的方程为y=﹣，
同理可得，
∴，，
∴S△ABC=2S△OAC=|OA||OC|=≥=，
当且仅当1+4k2=4+k2，即k=±1时取等号，
∴k=±1时，△ABC的面积最小值，
此时，C（，±）或C（﹣，±）．
21．已知函数f（x）=lnx﹣，a∈R．
（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求导数f′（x），由x=2为极值点得f′（2）=0，可求a，切线斜率，切点为（1，0），由点斜式可求切线方程；
（2）由f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，知f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分离出参数a后，转化为求函数的最值，利用基本不等式可求最值；
【解答】解：（1）=．
由题意知f′（2）=0，代入得，经检验，符合题意．
从而切线斜率，切点为（1，0），
∴切线方程为x+8y﹣1=0；
（2）．
∵f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴2a﹣2≤2．∴a≤2．
∴a的取值范围是（﹣∞，2]．
四、解答题（共1小题，满分10分）
22．已知复数z1=m+（4﹣m2）i（m∈R），z2=2cosθ+（λ+3sinθ）i（λ∈R），若z1=z2，求λ的取值范围．
【考点】A3：复数相等的充要条件．
【分析】利用两复数相等的充要条件得，消去m，再利用二次函数的单调性、正弦函数的单调性有界性即可得出．
【解答】解：∵z1=z2，
∴由两复数相等的充要条件得
∴λ=4﹣4cos2θ﹣3sin θ=4sin2θ﹣3sin θ
=4（sin θ﹣）2﹣，
∵sin θ∈[﹣1，1]．
由二次函数的性质知λ∈[﹣，7]．
∴λ的取值范围是[﹣，7]．
五、解答题（共1小题，满分0分）
23．设函数f（x）=|2x﹣a|，
（Ⅰ）若a=4，求f（x）≤x的解集；
（Ⅱ）若f（x+1）＞|2﹣a|对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）法一：通过讨论2x﹣4的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集；法二：根据题意得出x≥0，再去绝对值即可，法三：根据题意得出x≥0，两边平方解出即可；（Ⅱ）法一：问题转化为f（x+1）＞f（1）对∀x∈（0，+∞）恒成立，结合函数的单调性问题，求出a的范围即可；法二：等价于（2x+2﹣a）2＞（2﹣a）2对∀x∈（0，+∞）恒成立，求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）若a=4，则f（x）≤x可化为|2x﹣4|≤x，
法1：即或，
解得，
所以f（x）≤x的解集为；
法2：即，
解得，
所以f（x）≤x的解集为；
法3：即，
即解得，
所以f（x）≤x的解集为；
（Ⅱ）法1：f（x+1）＞|2﹣a|对∀x∈（0，+∞）恒成立
即f（x+1）＞f（1）对∀x∈（0，+∞）恒成立，
又因为f（x）=|2x﹣a|在上单调递减，在上单调递增，
所以解得a≤2，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，2]；
法2：f（x+1）＞|2﹣a|对∀x∈（0，+∞）恒成立
即|2x+2﹣a|＞|2﹣a|对∀x∈（0，+∞）恒成立
等价于（2x+2﹣a）2＞（2﹣a）2对∀x∈（0，+∞）恒成立，
即a＜2+x对∀x∈（0，+∞）恒成立，所以a≤2…
所以实数a的取值范围为（﹣∞，2]．。