数学分析5.5微分（含习题详解）

数学分析5.5微分（含习题详解）
第五章导数和微分
5 微分
一、微分的概念
定义1：设函数y=f(x)定义在点x0的某邻域U(x0)内. 当给x0一个增量△x，x0+△x∈U(x0)时，相应地得到函数的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 如果存在常数A，使得△y能表示为△y=A△x +o(△x)，则称函数f在点x0可微，并称上式中的第一项A△x为f在点x0的微分，记作：dy=A△x，或df(x)=A△x.
当A≠0时，微分dy称为增量△y的线性主部。

定理5.10：函数f在点x0可微的充要条件是函数f在点x0可导，而且定义中的A=f’(x0).
证：先证必要性：
若f在点x0可微，则△y=A△x +o(△x)，即=A+o(1)，两边取极限得：f’(x0)==(A+o(1))=A.
再证充分性：若f在点x0可导，则
f在点x0的有限增量公式为：△y=f’(x0)△x+o(△x)，
根据微分的定义，f在点x0可微且有dy=f’(x0)△x.
微分的几何意义：(如图)当自变量由x0增加到x0+△x时，函数增量△y= f(x0+△x)-f(x0)=RQ，而微分则是在点P处的切线上与△x所对应的增量，即dy=f’(x0)△x=RQ’，且==f’(x0)=0，
所以当f ’(x 0)≠0时，
=0. 即当x →x 0时线段Q ’Q 远小于RQ ’。

若函数y=f(x)在区间I 上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数.
函数y=f(x)在I 上任一点x 处的微分记作dy=f ’(x)△x ，x ∈I. 特
别地，当y=x 时，dy=dx=△x ，则微分也可记为dy=f ’(x)dx ，即f ’(x)=
，可见函数的导数等于函数微分与自变量微分的商。

因此导数
也常称为微商。

二、微分的运算法则
1、d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)；
2、d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)；
3、d
=
；
4、d(f ?g(x))=f ’(u)g ’(x)dx ，其中u=g(x)，或dy=f ’(u)du.
例1：求y=x 2lnx+cosx 2的微分。

解：dy=d(x 2lnx+cosx 2)=d(x 2lnx)+d(cosx 2)=lnxd(x 2)+x 2d(lnx)-2xsinx 2dx =2xlnxdx+xdx-2xsinx 2dx=x(2lnx-2sinx 2+1)dx.
例2：求y=e sin(ax+b)的微分.
解：dy=d(e sin(ax+b))=e sin(ax+b)d(sin(ax+b)) =ae sin(ax+b) cos(ax+b)d(ax+b)
=ae sin(ax+b)cos(ax+b)dx.
三、高阶微分
若f二阶可导，则dy对自变量x的微分为
d(dy)=d(f’(x)dx)=f”(x)dx·dx=f”(x)(dx)2，或写作d2y=f”(x)dx2，
这就是函数f的二阶微分。

注：dx2=(dx)2；d2x=d(dx)=0；d(x2)=2xdx.
一般地，n阶微分是n-1阶微分的微分，记作d n y，即
d n y=d(d n-1y)=d(f(n-1)(x)dx n-1)=f(n)(x)dx n；或=f(n)(x).
对n≥2的n阶微分均称为高阶微分。

当x为复合函数y=f(x)，x=φ(t)的中间变量时，dy=f’(x)dx=f’(x)φ’(t)dt；而
d2y=(f(φ(t)))”dt2=(f’(φ(t))φ’(t))’dt2=[f”(φ(t))(φ’(t))2+f’(φ(t))φ”(t)]dt2
=f”(x)dx2+f’(x)d2x，可见二阶微分不具有形式不变性。

例3：设y=f(x)=sinx，x=φ(t)=t2. 求d2y.
解1：∵y’=(sint2)’=2tcost2；y”=(2tcost2)’=2cost2-4t2sint2；
∴d2y=y”dt2=(2cost2-4t2sint2)dt2.
解2：d2y=f”(x)dx2+f’(x)d2x=(sinx)”[(t2)’dt]2+(sinx)’(t2)”dt2 =-sinx·4t2dt2+cosx·2dt2=(2cost2-4t2sint2)dt2.
四、微分在近似计算中的应用
1、函数的近似计算：∵△y=f’(x0)△x+o(△x)=dy+o(△x)，
当△x很小时，有△y≈dy，由此得f(x0+△x)≈f(x0)+f’(x0)△x，
或当x≈x0时，有f(x)≈f(x0)+f’(x0)(x-x0)，又点(x0,f(x0))的切线方程为：y=f(x0)+f’(x0)(x-x0)，即当x充分接近x0时，可用切线近似替代曲线，这就是所谓的“以直代曲”。

设f(x)分别是sinx, tanx, ln(1+x)和e x，令x0=0，易得这些函数在原点附近的近似公式：sinx≈f(0)+xf’(0)=x；tanx≈f(0)+xf’(0)=x；
ln(1+x)≈f(0)+xf’(0)=x；e x≈f(0)+xf’(0)=1+x.
例4：求sin33?.
解：∵sin33?=sin, 可取f(x)=sinx，x0=，△x=，则有
sin33?≈f()+f’()=sin+cos=+·≈0.545.
(注：sin33?的真值为0.544 639…)
例5：设钟摆的周期是1秒，在冬季摆长至多缩短0.01cm，试问此钟每天至多快几秒？
解：根据单摆周期T与摆长l的关系式：T=2，有T’=.
已知原周期T0=1秒，故原摆长为：l0=，又△l =-0.01，
∴周期增量为：△T ≈△lT’(l0)=0.01=≈-0.0002(秒).
∴每天大约快：24×3600×0.0002=17.28(秒)
2、误差估计：设测量值x，函数y=f(x). 由测量误差，测得x的近似值x0，则y0=f(x0)为y的一个近似值。

若误差限为δx(与测量工具的精度有关)，即|△x |=|x-x0|≤δx，则当δx很小时，
|△y |=|f(x)-f(x0)|≈|f’(x0)△x|≤|f’(x0)|δx，
而相对误差限则为：δ=δx.
例6：设测得一球体的直径为42cm，测量工具的精度为0.05. 试求以此直径计算球体体积时引起的误差.
解：由球体体积函数式V=，得V’=.
取d0=42, δd=0.05，求得V0=≈38 792.29(cm3).
∴球体体积的绝对误差限为：δV=||δd=≈138.54；
相对误差限为：δ=δd=δ=≈3.57‰.
习题
1、若x=1，而△x=0.1, 0.01. 问对于y=x2，△y与dy之差分别是多少？解：△y=(x+△x)2-x2=2x△x+△x2；dy=y’·△x=2x△x；
∴△y-dy=2x△x+△x2-2x△x=△x2.
当△x=0.1时, △y-dy=△x2=0.01；
当△x=0.01时, △y-dy=△x2=0.0001.
2、求下列函数微分：
(1)y=x+2x2x3+x4；(2)y=xlnx-x；(3)y=x2cos2x；(4)y=；
(5)y=e ax sinbx；(6)y=arcsin.
解：(1)dy=(x+2x2x3+x4)’dx=(1+4x-x2+4x3)dx.
(2)dy=(xlnx-x)’dx=(lnx+1-1)dx=lnxdx.
(3)dy=(x2cos2x)’dx=(2xcos2x-2x2sin2x)dx=2x(cos2x-
xsin2x)dx.
(4)dy=dx=dx=dx.
(5)dy=(e ax sinbx)’dx=(ae ax sinbx+be ax cosbx)dx=e ax(asinbx+bcosbx)dx.
(6)dy=(a rcsin’dx=·dx=.
3、求下列函数的高阶微数：
(1)设u(x)=lnx，v(x)=e x，求d3(uv)，d3()；
(2)设u(x)=，v(x)=cos2x，求d3(uv)，d3().
解：(1)d3(uv)=(u”’v+3u”v’+3u’v”+uv”’)dx3=(+ e x lnx)dx3 =e x(++lnx)dx3.
d3()=(u”’+3u”()’+3u’()”+u()”’)dx3=()dx3
=(lnx)dx3.
(2)d3(uv)=(u”’v+3u”v’+3u’v”+uv”’)dx3
=(+·8sin2x)dx3
=(cos2x +8sin2x)dx3=(52sin2x-47cos2x)dx3. d3()=(u”’+3u”()’+3u’()”+u()”’)dx3
=(8sec2xtan2x(5+6tan22x))dx3
=sec2x(12tan22x+48tan32x))dx3.
4、利用微分求近似值.
(1)；(2)lg11；(3)tan45?10’；(4).
解：(1)设f(x)=，取x0=1，则△x=1.02-1=0.02.
由f(x0+△x)≈f(x0)+f’(x0)△x得：≈×0.02≈1.007. (2)设f(x)=lgx，取x0=10，则△x=11-10=1.
由f(x0+△x)≈f(x0)+f’(x0)△x得：lg11≈lg10×1≈1.0434.
(3)设f(x)=tanx，取x0=45?，则△x=45?10’-45?=.
由f(x0+△x)≈f(x0)+f’(x0)△x得：
tan45?10’≈tan45?+sec245?×≈1.0058.
(4)设f(x)=，取x0=25，则△x=26-25=1.
由f(x0+△x)≈f(x0)+f’(x0)△x得：≈×1=5.1.
5、为了使计算出球的体积精确到1%，问度量半径为r时允许发生的相对误差至多为多少？
解：球的体积公式为V=r3，则△V≈dV=v’(r)△r=4πr2△r.
要使≈==3≤1%，只需≤1%×≈0.33%.
∴度量半径为r时允许发生的相对误差至多约为0.33%.
6、检验一个半径为2米，中心角为55?的工件面积，现可直接测量其中心角或此角所对的弦长，设量角最大误差为0.5?，量弦长最大误差为3毫米. 试问用哪一种方法检验的结果较为精确。

解：弦长公式为：L=r2sin=4sin，其中α为中心角. 当α0=55?时，|△L |≈| dL |=|2cos||△α|，
当△α=0.5?=时，由量角引起的弦长最大误差为：|△L |≈| dL |=2cos≈0.015(米)>3(毫米).
∴直接测量此角所对弦长检验的结果较为精确。