[整理]版高三(理)一轮复习76空间直角坐标系

(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )
(A)y 轴上 (B)xOy 平面上
(C)xOz 平面上 (D)yOz 平面上
2.在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则Q 的坐标为( )
(A)(0，2，0) (B)(0，2，3)
(C)(1,0，3) (D)(1，2，0)
3.以棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA 1B 1B 的对角线交点的坐标为( )
(A)(0，12，12) (B)(12，0，12
) (C)(12，12，0) (D)(12，12，12
) 4.到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x ，y ，z)的坐标满
足( )
(A)x ＋y ＋z ＝－1 (B)x ＋y ＋z ＝1
(C)x ＋y ＋z ＝4 (D)x ＋y ＋z ＝0
5.(2012·肇庆模拟)在空间直角坐标系中，与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)无数
6.(易错题)若两点的坐标是A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos β，2sin β，1)，则|AB|的取值范围是( )
(A)[0,5] (B)[1,5]
(C)(0,5) (D)[1,25]
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30，则该点的坐标为.
8.(2012·珠海模拟)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到A与B的距离相等，则点M的坐标是.
9. (2011·温州模拟)如图，BC＝4，原点O是BC的中点，点A(
3
2
，
1
2
，0)，点D在平面yOz
上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD的长度为.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·宜昌模拟)如图ABCD－A1B1C1D1是正方体，M、N分别是线段AD1和BD的中点.
(1)证明：直线MN∥平面B1CD1；
(2)设正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为a，若以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B1、M两点的坐标，并求线段B1M的长.
11.在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3).
(1)在y轴上是否存在点M，使|MA|＝|MB|成立？
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
【探究创新】
(16分)解答下列各题：
(1)已知实数x，y，z满足(x－3)2＋(y－4)2＋z2＝4，求x2＋y2＋z2的最小值.
(2)已知空间四个点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，求三棱锥O－ABC的体积.
答案解析
1. 【解析】选C.由点的坐标的特征可得该点在xOz 平面上.
2.【解析】选D.由于点Q 在xOy 内，故其竖坐标为0，又PQ ⊥xOy 平面，故点Q 的横坐标、纵坐标分别与点P 相同.从而点Q 的坐标为(1，2，0).
3.【解析】选B.由题意知所求点即为AB 1的中点，由于A(0,0,0)，B 1(1,0,1)，所以AB 1的中
点坐标为(12，0，12
). 4.【解析】选D.到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C 应满足|CA |2＝|CB |2， 即(x ＋1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2
，化简得x ＋y ＋z ＝0.
5. 【解析】选D.由两点间距离公式可得|AB|＝26，|BC|＝74，|AC|＝2
6.易知A 、B 、C 三点不共线，故可确定一个平面，在△ABC 所在平面内可找到一点到A ，B ，C 的距离相等.而过该点与平面ABC 垂直的直线上的每一点到A ，B ，C 的距离均相等.
【方法技巧】空间直角坐标系中求对称点坐标的技巧
(1)关于哪个轴对称，对应轴上的坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数；
(2)关于坐标平面对称，另一轴上的坐标变为原来的相反数，其余不变；
(3)关于原点对称，三个坐标都变为原坐标的相反数；
(4)空间求对称点的坐标的方法，可类比平面直角坐标系中对应的问题进行记忆.
6.【解题指南】利用两点间距离公式求出|AB|，然后结合三角函数知识求范围.
【解析】选B.
∵|AB|＝(3cos α－2cos β)2＋(3sin α－2sin β)2＋(1－1)2 ＝13－12(cos αcos β＋sin αsin β) ＝13－12cos(α－β).
∴13－12≤|AB|≤13＋12，
即1≤|AB|≤5.
7.【解析】设点P 的坐标是(x,0,0)，
由题意得，|P 0P|＝30， 即(x －4)2＋12＋22＝30，∴(x －4)2＝25.
解得x ＝9或x ＝－1.
∴点P 坐标为(9,0,0)或(－1,0,0).
答案：(9,0,0)或(－1,0,0)
【误区警示】解答本题时容易忽视对解的讨论而造成结果不全.
【变式备选】在z 轴上与点A(－4,1,7)和点B(3,5，－2)等距离的点C 的坐标为 .
【解析】设点C 的坐标为(0,0，z)，
由条件得|AC|＝|BC|， 即(－4－0)2＋(1－0)2＋(7－z)2
＝(3－0)2＋(5－0)2＋(－2－z)2，
解得z ＝149
. 答案：(0,0，149
) 8.【解析】设点M(0，y,0)，由题意知|MA|＝|MB|，
即12＋y 2＋4＝1＋(－3－y)2＋1，解得y ＝－1，
故点M 的坐标是(0，－1,0).
答案：(0，－1,0)
9. 【解题指南】先求点的坐标，再利用两点间距离公式求线段长度.
【解析】由于点D 在平面yOz 上，
所以点D 的横坐标为0，
又BC ＝4，原点O 是BC 的中点，
∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.
∴点D 的竖坐标z ＝4×sin30°×sin60°＝3，
纵坐标y ＝－(2－4×sin30°×cos60°)＝－1.
∴D(0，－1，3).
∴|AD|＝
(32－0)2＋(12＋1)2＋(0－3)2＝ 6. 答案： 6
10.【解析】(1)连接CD 1、AC ，则N 是AC 的中点，
在△ACD 1中，又M 是AD 1的中点，∴MN ∥CD 1.
又MN 平面B 1CD 1，CD 1平面B 1CD 1，
∴MN ∥平面B 1CD 1.
(2)由条件知B 1(a ，a ，a)，M(a 2，0，a 2
)，
∴|B 1M|＝(a －a 2)2＋(a －0)2＋(a －a 2)2＝62
a ， 即线段B 1M 的长为
62a.
11.【解题指南】(1)先假设点M 存在，然后利用两点间距离公式作出判断.
(2)先假设点M 存在，然后利用两点间的距离公式及等边三角形的三边相等列方程求解.
【解析】(1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA|＝|MB|，可设点M(0，y,0)，则
32＋(－y)2＋12＝12＋(－y)2＋(－3)2
，
由于上式对任意实数都成立，故y 轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立.
(2)假设在y 轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB 为等边三角形.
由(1)可知y 轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立，所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB 为等边三角形.
因为|MA|＝32＋(－y)2＋12＝10＋y 2，
|AB|＝2 5.
于是10＋y 2＝25，解得y ＝±10.
故y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，此时点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).
【探究创新】
【解析】(1)由已知得，点P(x ，y ，z)在以M(3,4,0)为球心，2为半径的球面上，x 2＋y 2＋z 2表示原点O 与点P 的距离的平方，显然当O ，P ，M 共线且P 在O 与M 之间时，|OP|最小.
此时|OP|＝|OM|－2＝32＋42
－2＝3.
∴|OP|2＝9.
即x 2＋y 2＋z 2的最小值是9.
(2)由题意可知，O ，A ，B ，C 为一正方体中的四个顶点，且该正方体的棱长为1，其中V O －ABC
＝V 正方体－4V 三棱锥＝1－46＝13.。