福建省四地六校高二下学期第二次(5月)联考考试理科数学试卷 Word版含答案

“四地六校”联考 下学期第二次月考 高二数学（理）试题
命题人： 审题人： (满分150分, 考试时间120分钟)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.）
1．若复数()2
1+2ai i -（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ） A ．1 B ．1-
C ．0
D ．1±
2．函数2()2ln f x x x =-的单调递减区间为 ( )
A ．(0，1)
B ．（－1，1）
C ．(0，＋∞)
D ．（1，＋∞）
3. 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 （ ） A ．12种 B ．24种 C ．30种 D ．36种 4． 如图，在正方形OABC
内，阴影部分是由两曲线2(01)y y x x =
=≤≤围成，
在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） A ．
23 B ． 1
2
C ． 13
D ．16
5．已知随机变量X 服从二项分布1
(4,)2
B ，则(31)D X +=（ ） A ．3 B ．4
C ．9
6．已知在R 上可导的函数()f x 的图象如图所示，则不等式()()f x f x ⋅'<
A.(2,0)-
B.(,2)(1,0)-∞-⋃-
C.(,2)(0,)-∞-⋃+∞
D.(2,1)(0,)--⋃+∞
7.直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AA ==,90ACB ∠=
,则直线1AC 与平面所成的角的大小为（ ）
A. 30
B. 60
C. 90
D. 120
8.若点P 是曲线2x
y x e =-上任意一点， 则点P 到直线y x =的最小距离为（ A.19.5
1(2)x x
++的展开式中，2
x 的系数为（ ）
A.45
B.60
C.90
D.120
10． 袋子中装有各不相同的5个白球和3个红球，不放回地依次随机取两个，已知第一次取到的是红球，则第二次取到的也是红球的概率是 ( ) A.
18 B. 328 C. 14 D.27
11.双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是E 左支上一点，112PF F F =，直线
2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为（ ）
A.
5
4
C.53
12．已知函数()=-x
a
f x x e 存在单调递减区间，且()=y f x 的图象在0=x 处的切线l 与曲线x y e =相切，符合情况的切线l （ ）
A.有3条
B.有2条
C. 有1条
D.不存在 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.
计算
1
)x dx =⎰
_________
14.在一个由三个元件,,A B C 构成的系统中，已知元件,,A B C 正常工作的概率分别是111
,,234
,且三个元件正常工作与否相互独立，则这个系统正常工作的概率为：
15. 观察下列数表：
1 3 5
7 9 11 13
15 17 19 21 23 25 27 29 … … …
设1025是该表第m 行的第n 个数，则m n +=____________.
16.已知()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2
>-x f x
f x 的解集为_____ _____．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17. （本小题10分）旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.
（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率； （2）求恰有2条线路没有被选择的概率；
（3）求至少有一个旅游团选择甲线路旅游的概率；
18．（本小题12分）设函数2
1()ln 2
f x ax x x =
--，a R ∈ （1）当2a =时，求函数()f x 的极值；
（2）若()f x 在[2，+∞）上单调递增，求a 的取值范围．
19. （本小题12分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PAD ∆是边长为a 的正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠= ， E 是AD 的中点，F 是PB 的中点. （1）求证：//EF 平面PCD .
（2）求二面角B EC F --的余弦值.
A
20．（本小题12分）每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚，还能增进彼此的感情．2016年“5.1”期间，小王在自己的微信校友群，向在线的甲、乙、丙、丁四位校友随机发放红包，发放的规则为：每次发放1个，每个人抢到的概率相同．
（1）若小王随机发放了3个红包，求甲至少得到2个红包的概率；
（2）若丁因有事暂时离线一段时间，而小王在这段时间内共发放了3个红包，其中2个红包中各有5元，1个红包有10元，记这段时间内乙所得红包的总钱数为X 元，求X 的分布列和数学期望．
21. （本小题12分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左右焦点分别为12F F 、，，点M 在
椭圆上，且满足2MF x ⊥轴，3
3
41=MF ． （1）求椭圆的方程；
（2）若直线2y kx =+交椭圆于A,B 两点，求△ABO （O 为坐标原点）面积的最大值．
22.（本小题12分） 已知实数a ，函数1
()x f x e
ax -=-的图象与x 轴相切．
（1）求实数a 的值及函数()f x 的单调区间；
（2）当1x >时，()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．
“四地六校”联考 下学期第二次月考 高二数学（理）参考答案
一、选择题。

(本题12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入
13.
2
4
π+ ； 14.
1
6
； 15. 12 ； 16.(1.)+∞； 三、解答题：(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P 1=83
4334=A ...........3分
（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P 2=169
43
2
22324=
⋅⋅A C C ……………………6分 （3）设选择甲线路旅游团个数为X ，则X=0，1，2，3
事件“至少有一个旅游团选择甲线路旅游”
即{}{}{}{}1123X X X X ≥==== ………………………7分
()()()()1123P X P X P X P X ≥==+=+==12233333333337
44464
C C C ++=…………………10分
或()333711(0)16464
P X P X ≥=-==-= （用独立重复试验解法酌情给分） 18.解：（1）函数定义域为(0,)+∞，2a =时，2()ln f x x x x =--
1(21)(1)
()21x x f x x x x
+-'=--= ……………………2分
由()0f x '=，得1x =，或1
2
x =-（舍去）
在(0,1)上，()0f x '<，()f x 单调递减 在(1,)+∞上，()0f x '>，()f x 单调递增
所以函数()f x 在1x =处取极小值，且()f x 极小值=(1)0f =；函数无极大值；……………………5分 （2）()f x 在[2，+∞）上单调递增
1
()1f x ax x
'⇔=--≥0在[)2,x ∈+∞上恒成立 ……………………7分
211
a x x ⇔--≥0在[)2,x ∈+∞上恒成立
211
a x x ⇔+≥在[)2,x ∈+∞上恒成立
只要max 211
)a x x
+≥(，[)2,x ∈+∞
由[)112,02x x ∈+∞⇒<≤，所以max 2113)4x x +=(，所以3
4
a ≥ ……………………12分
所以//
EF平面PCD.……………………4分
（2）连结PE，则PE AD
⊥，∵平面PAD⊥平面ABCD，AD为交线，
∴PE⊥平面ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，60
DAB
∠= ，E是AD的中点，∴EB AD
⊥
以E为坐标原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z
坐标系E xyz
-，则
),
P,0)
B,(,0)
C a
-,)
F，平面EAC
的一个法向量
1
(0,0,1)
n=
，设
2
(,,)
n x y z
=
是平面EFC的一个法向量，
由2
2
044
ay
n EF
n EC
ax
+=
⎪
⎧⋅=
⎪⎪
⇒
⎨⎨
⋅=
⎪⎪
⎩-+=
⎪⎩
，令y=2
3
(
2
n=
……………………8分
12
12
12
cos,
n n
n n
n n
⋅
===
⋅
……………………10分
又二面角B EC F
--的平面角是锐角，
所以二面角B EC F
--的余弦值是
11
……………………12分
20解：（1）设“甲至少得2个红包”为事件A，由题意得：
22330
33
13135
()()()()
444432
P A C C
=⨯⨯+=……………………3分
（2）由题意知X可能取值为0,5,10,15,20．……………………4分3
28
(0)()
327
P X===
，
12
2
128
(5)()
3327
P X C
==⨯⨯=
22
12212
(10)()()
33339
P X==⨯+⨯=
，
12
2
124
(15)()
3327
P X C
==⨯⨯=
3
11
(20)()
327
P X===
所以X 分布列为
……………………10分
8824120()051015202727927273E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………12分
21解析：(I)由已知得221
3
c a =，又由222c b a +=，可得223c a =，222c b =，
得椭圆方程为22
22132x y c c
+=，
因为点M 在第一象限且x MF ⊥2轴，可得M 的坐标为,
3c c ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 由3
34344221=+=
c c M F ，解得1c =，
所以椭圆方程为22132x y +=
……………………4分 (II)设()()1122,,,A x y B x y 将2+=kx y 代入椭圆，可得0612)23(22=+++kx x k 由0∆>，可得0232>-k ，则有22
1221326
,3212k x x k k x x +=+-=+
……………………7分
所以12AB x =-==
因为原点O 直线2+=kx y
所以OAB ∆的面积
22122323S k k ==++
……………………9分 令t k =-232,由①知),0(+∞∈t
26
8
166216
862462
2≤
++=++=+=t
t t t t
t t S ……………11分 所以4=t 时，面积最大为
6
． ……………12分
22解：（1）()1e x f x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ······························································· 1分
依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即001
01e 0,
e 0,
x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩
解得01,1,x a =⎧⎨=⎩
···················································································································· 3分
所以()1e 1x f x -'=-．
当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．
故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ································ 5分 （2）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．
则11
()e (ln )1x x g x m x x
--'=-+-，
令()()h x g x '=，则1211
()e ()x h x m x x
-'=-+， ····························································· 6分
当1x >时，11x 0<<，则211
()2x x 0<+<
（ⅰ）若1
2
m ≤，
因为当1x >时，1e 1x ->，211
()1m x x
+<，所以()0h x '>，
所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．
又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，
而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ········································· 9分
（ⅱ）若1
2
m >，
可得1211
()e ()x h x m x x
-'=-+在(0,)+∞上单调递增．
因为(1)120h m '=-<，2
11
(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]
h m m m m m '+=-+>++， 所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，
且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减，
又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<， 从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，
而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立．
纵上所述，m 的取值范围是1
(,]2-∞． ····································································· 12分。