2016届山东省泰安市岱岳区初中毕业生竞赛数学试题及答案解析

2016届初中毕业生竞赛
数学试题
（考试时间120分钟，满分120分）
说明：
请将答案写在答题纸的相应位置，考试结束后只交答题纸。

一、选择题（每小题3分，满分60分。

每小题给出的代号为ABCD 的四个选项中，只有一个是正确的）
1. 如果m 是大于1的偶数，那么m 一定小于它的 （ ） (A) 相反数 (B) 倒数 (C) 绝对值
(D) 平方
2. 有理数a ,b ,c 的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（ ）
(A)c b a ++＞0
(B)c b a <+
(C)| a – c | = |a | + c (D)| b – c | > | c – a | 3. 设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为α, 则
(A) οο900<<α或οο18090<<α (B) οο1800<<α (C) οο900<<α (D) οο900≤<α
4. 如图，在44⨯的正方形网格中，321∠∠∠，，的大小关系是（ ）
． （A ）321∠>∠>∠ （B ）321∠>∠=∠ （C ）321∠=∠<∠ （D ）321∠=∠=∠
5. 2
，3
，5
，6
这四个数中最小的数是 （ ）
(A) 2 (B) 3 (C) 5
(D) 6
6. 在下列6个图形中, 每个小四边形都是全等的正方形, 那么沿其正方形相邻边折叠, 能够围成正方体的编号是
55
44
33
22
55
44
33
22
(A) ① ② ③ ⑥ (B) ① ② ⑥ (C) ① ③ ④ (D) ① ③ ⑥
7. 下面的条形图是从某中学800名学生中帮助失学儿童捐款金额的部分抽样调查数据, 扇形图是该校各年级人数比例分布图. 那么该校七年级同学捐款的总数大约为
(A) 870元 (B) 4200元 (C) 5010元 (D) 250560元 8. 如图, Q P ,是ABC ∆的边BC 上的两点, 且有AQ AP QC PQ BP ====, 则
BAC ∠的大小为
(A) ο90 (B) ο100 (C) ο120 (D) ο150
9．若
20 10a b b c ==，，则
a b
b c
++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210
11
10. 若关于的不等式组的整数解共有4个，则关于x 的一元二次方程
8x 2-8x+m=0的根的情况是
x ⎩⎨⎧≤-<-1
270
x m x
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．有一个实数根
11. 将一张大小为10cm ⨯10cm 的正方形纸片，依下图所示方式折叠并剪裁后再展开，其中折线(虚线)正好过三角形两边的中点，则展开后内部的正方形(无阴影部份)面积等于
(A) 25cm 2 (B) 50cm 2 (C) 75cm 2 (D) 40cm 2
12.请你估计一下,22222222222
(21)(31)(41)(20151)(20161)
123420152016-----⋅⋅⋅⋅L L 的值应该最接近于
(A) 1 (B)
2
1 (C)
12016
(D)
12015
13.如图（1），B 是线段AD 上一点，分别以AB 、BD 为边在AD 同侧作等边△ABC 和等边△BDE ，得到（1）△ABE ≌△CBD ；（2）AE 与CD 相交所得的锐角为600。

如图（2），B 是线段AE 上一点，分别以AB 、BE 为边在AE 同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG ，除了得到△ABG ≌△CBE 外，AG 与CE 相交所得的角的度数为
(A) 900 (B) 600 (C) 1200 (D) 不能确定
14. 如图，两个标有数字的轮子可以分别绕中心旋转，旋转停止时，每个轮子上的箭头各指向轮子上的一个数字，若左图上方箭头指着的数字为a ，右图中指着的数字为b ，数对（a ，b ）所有可能的个数为n ，其中a+b 恰为偶数的不同数对个数为m ，则m
n
等于 (A)
12 (B)16 (C)512 (D)34
15.已知，如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于D，E两点，过B 点的切线交OE的延长线于点F，连接FD。

下列结论：
①O E∥AC；②两段劣弧»»
=
DE BE；③FD与⊙O相切；④S△BOE：S△BAC=1:4。

其中一定正确的有（）个
A、1
B、2
C、3
D、4
16.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，PQ=y，则y与x之间的函数图象大致为
17．函数y=mx+n与y=
n
m x
，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是
18. n 个连续偶数按规律排成右表:
根据规律, 从2016到2018, 箭头的方向依次应为
(A) ↑→ (B) →↑ (C) ↓→ (D) →↓
19．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB=23BC=422-CD ＝42则AD 边的长为（ ）．
（A ）26
（B ）64
（C ）64+ （D ）622+
20．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①3a+2b+c ＜0；②3a+c ＜b 2-4ac ；③方程2ax 2+2bx+2c -5=0没有实数根 ；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），
其中正确结论的个数是（ ）
A ． 4个
B ． 3个
C ． 2个
D ． 1个
二、填空题（只要求填写最后结果。

每小题4分，满分16分）
21．已知a＝5－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于．
22. 将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形，设最长的一段的长度为x厘米，则x的取值范围为_______________________.
23．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝．24、如图，菱形ABCD，过点B作直线BE，使得∠ABE=∠BCA，分别交AC、AD于点F、E．若
AB＝CF，则AE
AD
．
三、解答题（要求写出必要的计算过程、证明过程或推理步骤。

共4小题，满分44 分）
25. (本小题满分10分)
某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：
(1)某户5月份交水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？
(2)要使月所缴水费控制在20元至30元之间，则该户的月用水量应该控制在什么范围内？
26、(本小题满分10分)
如图，△ABC是直角三角形，且△ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC的中点，
BD平分△ABC. 求OC
OD
的值。

27、(本小题满分12分)
如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交射线AD 于点N.
（1）当F 为BE 中点时，求证：AM=CE ；
（2）若，求
的值； （3）若，当为何值时，MN ∥BE ？
28、(本小题满分12分)
二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A 、B 两点（如图），A 点在y 轴上，过点B 作BC △x 轴，垂足为点C （﹣3，0）． （1）求二次函数的表达式；
（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在AB 上方），连接NB 、NA ，试问△ABN 的面积是否存在最大值？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由。

出
解【温馨提示
2==BF EF BC AB ND AN
n BF
EF
BC AB ==
n
处：2温馨提示
温馨提示
2016届初中毕业生竞赛数学试题参考答案
一、选择题（3分×20=60分）
参考答案【DCBBA，DCCDC，ABACD，CCCDA
二、填空题（4分×4=16分）
21、解：由已知得(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
22. 因为最长一段的长度为x厘米，则其余4段的和为(10 –x)厘米．
由线段基本性质知x＜10 –x，所以x＜5，即最长的一段AB的长度必须小于5厘米．
最长边x ≥ 2
得2 ≤ x＜5
23、解：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、
，，（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得客车的速度分别为a b c
()
10a b S
-=，①
()
-=，②
152
a c S
()
-=．③
x b c S
t=--=（分）．由①②，得30b c S
-=
（），所以，x=30．故3010515
24、解：见题图，设,
==．
FC m AF n
因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ，所以 2AB AF AC =⋅．
又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即 2()10n n
m m
+-=，
解得
51n m -=，或51
n m --=（舍去）． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF n
AD BC FC m ====51-， 即AE
AD
=51-．
三、解答题(共44分)
25. (本题满分10分)
（1）设该用户5月份的用水量为x 吨， 根据题意得：
12×2+6×2.5+3（x -18）= 45 ----------------------4分 解得x=20
答：该用户5月份的用水量为20吨。

----------------------5分 （2）设该用户月用水量为x 吨，
若x > 18时，12⨯2 + 2.5 ⨯ 6 = 39 > 30（元），所以只能x < 18。

-------------6分 若x< 12，则由2x ≥ 20，得x ≥ 10; --------------7分 若12≤ x < 18 ，则由24 + 2.5(x – 12) ≤30 , 得 x ≤ 14. 04, ----------------------8分 所以 10≤ x ≤ 14. 04,
答： 该户的月用水量应该控制在10吨到14.04吨之间。

-------------------10分 26、(本小题满分10分) 解：延长DE 交AB 于F ，
∵△ABC=90°，四边形BCDE 是平行四边形， BD 平分△ABC ， ∴CB ∥DE ，CB=DE ，△CBD=△DBF=△BDE= 45°， ∴△DFB=90°，----------------------2分 ∵E 为AC 的中点，∴BE=EC=EA 。

∵EF ∥CB ，∴F 为AB 的中点。

∴EF=
2
1
CB 。

----------------------5分
设EF=m ，则CB=2m ，DE=2m ，DF=3m ，FB=3m ，
∴DB=22
32DF BF m +=----------------------7分
∴DO=
2
1
DB=32m ∵CO=
21CE=2
1
BE=22110922m m m += ∴10523
322
m
OC OD m =
=----------------------10分
27、(本题满分12分) 解：（1）证明：
∵F 为BE 中点，∴BF=EF.
∵AB ∥CD ，∴∠MBF=∠CEF ，∠BMF=∠ECF. ∴△BMF ≌△ECF （AAS ）. ----------------------2分 ∴MB=CE.
∵AB=CD ，CE=DE ，∴MB=AM. ∴AM=CE. ---------------------4分 （2）设MB=a ，
∵AB ∥CD ，∴△BMF ∽△ECF. ∴EF CE
BF MB
=
.----------------------5分 ∵
2EF BF =，∴2CE
MB =.∴2CE a =. ∴24,3AB CD CE a AM AB MB a ====-= . ∵
2AB
BC
=，∴2BC AD a ==. ∵MN ⊥MC ，∠A=∠ABC=90°，∴△AMN ∽△BCM. ----------------------7分 ∴
AN AM MB BC =，即32AN a
a a
=
.∴331,2222AN a ND a a a ==-= . ∴3
2312
a
AN ND a ==. ----------------------9分
（3）设MB=a ，
∵AB EF n BC BF
==，∴由（2）可得2,BC a CE na == . 当MN ∥BE 时，CM ⊥BE. ----------------------10分 可证△MBC ∽△BCE. ∴
MB BC BC CE =，即22a a a na =. ∴4n =.
∴当4n =时，MN ∥BE. ----------------------12分
育名师】
28、(本小题满分12分)
（1）由题设可知A （0，1），B （﹣3，），----------------------2分
根据题意得：，解得：，----------------------5分
则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；---------------------6-分
（2）存在。

------------------------------------------------------------------7分
如图，要使△ABN 的面积最大，AB 长度一定，只要AB 上的高最大。

将直线AB 平移到与抛物线只有一个交点时，此时△ABN 的底边AB 上的高最大。

----------------------9分
∵y = -
2
1x + k 与抛物线只有一个交点 ∴方程 -21x + k =﹣﹣x+1 即5x 2+15x+4k -4=0的判别式△=152-4×5（4k-4）=0. ∴k= 6116 .
∴直线CN 的表达式为y = -21x + 6116
.----------------------11分 此时方程5x 2+15x+4k -4=0变为4x 2+12x+9=0即（2x+3）2=0.
∴x=-32
y = -21（-32）+ 6116=7316。

∴点N （-
32，7316）。

----------------------12分 【法2】
过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，分别过A 、B 作NH 的垂线，垂足为D 、E ，如图，
则△ABN 的面积为2
1×NF ×OC ，而NF 、OC 的长可通过点N 的坐标来表达，进而求得。