实验一微小长度变化的测量——

实验一 微小长度变化的测量——
光杠杆镜尺法
长度的微小变化，用一般的测量长度的工具，不易被测准，有时甚至很困难。

光杠杆镜尺法是一种测量微小长度变化的简便方法，它可以实现非直接接触式的放大测量，所以常被采用。

镜尺法还可以用来测量角度的微小变化。

例如在灵敏电流计，冲击电流计，光点式检流计中都采用镜尺法。

内容一 光杠杆镜尺法测金属丝的杨氏模量
【实验目的与要求】
1.掌握用光杠杆镜尺法测量微小长度变化的原理和方法。

2.用拉伸法测量金属丝的杨氏模量。

3.学习处理数据的一种方法------逐差法。

【实验器材】
杨氏模量仪，望远镜（附标尺），光杠杆，砝码，钢皮卷尺，游标卡尺。

【实验原理】
一、拉伸法测量杨氏模量
设细钢丝的原长L ，横截面积为S ，沿长度方向施力F 后，其长度改变ΔL ，则细钢丝上各点的应力为F/S ，应变为ΔL/L 。

根据胡克定律，在弹性限度内有
S F ＝L
L
E ∆∙ （１） 则
E ＝
L
L ∆S F
（２）
比例系数E 即为杨氏弹性模量。

在国际单位制中其单位为牛顿／米２，记为Ｎ·Ｍ－２。

通过分析知，作用力可由实验中钢丝下端所挂砝码的重量来确定，原长（起始状态）可由米尺测量，钢丝的横截面积S ，可先用螺旋测微计测出钢丝直径d 后算出
S ＝4
2
d π （３）
现在的问题是如何测量ΔL ？用米尺准确度太低，用游标卡尺和螺旋测微计呢，测量范围
又不够（在此实验中，当L ≈１ｍ时，F 每变化１ｋg 相应的ΔL 约为０．３ｍｍ）。

因此，本实验设计利用光杠杆的光学放大作用实现对钢丝微小伸长量ΔL 的间接测量。

二、光杠杆镜尺法测量微小长度变化
光杠杆系统是由光杠杆与望远镜标尺架组成的。

设开始时，三个尖足在同一水平面内，光杠杆的平面镜竖直，在望远镜中恰能看到望远镜处标尺刻度y 0的象，光杠杆平面镜到标尺的距离为D ，光杠杆常数为b 。

当细钢丝受力伸长时，光杠杆的主脚尖c ３随之绕c 1c 2下降ΔL ，光杠杆转过一较小角度α，望远镜中将观察到标尺上x 处的刻度，记x - x 0= Δx 。

在α较小的情况下（即ΔL ＜＜b ）有
α≈
b L
∆ 和
α2≈
x D
∆ 则
L ∆＝
D
b
2·x ∆ （4） 因为实验中取D ＞＞b ，由上式可知，光杠杆的作用是将微小长度变化ΔL 放大为标尺上的位置变化Δx ，通过较易准确测量的b 、D 、Δx ，便可间接求得ΔL 将（３）、（４）、两式代入（２）有
b d LD E 28π=
·F
x
∆ （５） 通过上式便可算出杨氏模量E 。

【实验内容与步骤】
一、仪器的调整
1．为了使金属丝处于铅直位置，调节杨氏模量仪三角架的底座螺丝，使支架、细金属丝铅直，使平台水平。

2．安放光杠杆。

平面镜应竖直，两前脚放在平台前部的槽中，主脚放在钢丝下端的夹头上适当位置，不能接触钢丝，不要靠着圆孔边，也不要放在夹缝中。

望远镜和标尺放在光杠杆镜前方约1.5-2m 处。

调节望远镜上下位置使它和光杠杆处于同一高度。

调节望远镜三角支架的底脚螺丝使望远镜大致水平，标尺大致铅直。

3．安放望远镜标尺架。

标尺要竖直，望远镜应水平对准平面镜中部。

4．调整望远镜
（1）微微移动标尺架，通过望远镜筒上的准心往平面镜中观察，到能看到标尺的像为止；
（2）调整目镜至能看清镜筒中叉丝的像；
（3）调整物镜到能在望远镜中看见标尺的像，并使望远镜中的标尺刻度线的像与叉丝水平线的像重合；
（4）消除视差。

眼睛在目镜处微微上下移动，如果叉丝的像与标尺刻度线的像出现相对位移，应重新微调目镜和物镜，直至消除为止。

二、测量
1．加减砝码。

记下开始时望远镜中标尺上的读数0x ，先逐个加砝码，每加一个砝码，记录一次标尺的位置i x ；然后依次减砝码，每减一个砝码，记下相应的标尺位置'i x
取同一荷重下两读数的平均值。

'
,0,1,2,72
i i i x x x i +== 2．用米尺测量平面镜到标尺的距离D 。

3．取下砝码，测出钢丝原长（两夹头之间部分）L 。

在钢丝上选不同部位及方向，用螺旋测微计测出其直径d 。

4．取下光杠杆，在展开的白纸上同时按下三个尖脚的位置，用直尺作出光杠杆主脚到两前脚连线的垂线，再用游标卡尺测出光杠杆常数b 。

三、数据处理
1.用逐差法处理数据，求x
2.将所测数据代入公式计算杨氏模量。

【注意事项】
1．实验系统调好后，一旦开始测量i x ，在实验过程中绝对不能对系统的任一部分进行任何调整。

否则，所有数据将重新再测。

2．加减砝码时，要轻拿轻放，并使系统稳定后才能读取i x 。

3．注意保护平面镜和望远镜，不能用手触摸镜面。

4．待测钢丝不能扭折，如果严重生锈和不直必须更换。

5．实验完成后，应将砝码取下，防止钢丝疲劳。

6．光杠杆主脚不能接触钢丝，不要靠着圆孔边，也不要放在夹缝中。

内容二金属线胀系数的测定
【实验目的】
1.掌握用光杠杆镜尺法测量微小长度变化的原理和方法。

2.测量金属在某一温度范围内的平均线胀系数。

【实验仪器】
线胀系数测定仪（附光杠杆），望远镜直横尺，钢卷尺，蒸汽发生器，气压计（共用），温度计（50～100℃，准确到0.1℃），游标卡尺。

【实验原理】
1．金属线胀系数的测定及其测量方法
固体的长度一般是温度的函数，在常温下，固体的长度L与温度t有如下关系：
L＝L0（1＋αt）（1－2－1）
式中L0为固体在t＝0℃时的长度；α称为线胀系数。

其数值与材料性质有关，单位为℃－1。

设物体在t1℃时的长度为L，温度升到t2℃时增加了ΔL。

根据（1－2－1）式可以写出
L＝L0（1＋αt1）（1－2－2）
L＋ΔL＝L0（1＋αt2）（1－2－3）
从（3－2－2）、（3－2－3）式中消去L0后，再经简单运算得
（1－2－4）由于ΔL<<L，故（3－2－4）可以近似写成
（1－2－5）
显然，固体线胀系数的物理意义是当温度变化1℃时，固体长度的相对变化值。

在（1－2－5）式中，L、t1、t2都比较容易测量，但ΔL很小，一般长度仪器不易测准，本实验中用光杠杆和望远镜标尺组来对其进行测量。

关于光杠杆和望远镜标尺组测量微小长度变化原理可以根据如图1所示进行推导。

图1
由图中可知，tgθ=ΔL/h,反射线偏转了2θ，tg2θ=Δd/D, 当θ角度很小时，
tg2θ≈2θ, tgθ≈θ,故有2ΔL/h=Δd/D，即
ΔL＝Δd h/2D，或者ΔL＝（d2－d1）h/2D（1－2－6）2．测量装置简介
待测金属棒直立在仪器的大圆筒中，光杠杆的后脚尖置于金属棒的上顶端，两个前脚尖置于固定平台的凹槽内。

设在温度t1时，通过望远镜和光杠杆的平面镜，看到标尺上的刻度d1恰好与目镜中十字横线重合，当温度升到t2时，与十字横线重合的是标尺的刻度d2，则根据光杠杆原理可得
（1－2－7）
【实验步骤】
1．在室温下，用米尺测量待测金属棒的长度L三次，取平均值。

然后将其插入仪器的大圆柱形筒中。

注意，棒的下端点要和基座紧密接触。

2．插入温度计，小心轻放，以免损坏。

3．将光杠杆放置到仪器平台上,其后脚尖踏到金属棒顶端,前两脚尖踏入凹槽内。

平面镜要调到铅直方向。

望远镜和标尺组要置于光杠杆前约1米距离处，标尺调到垂直方向。

调节望远镜的目镜，使标尺的像最清晰并且与十字横线间无视差。

记下标尺的读数d1。

4．记下初温t1后，给仪器通电加热，待温度计的读数稳定后，记下温度t2以及望远镜中标尺的相应读数d2。

5．停止加热。

测出距离D。

取下光杠杆放在白纸上轻轻压出三个足尖痕迹，用铅笔通过前两足迹联成一直线，再由后足迹引到此直线的垂线，用标尺测出垂线的距离h。

【数据处理】
1．把测得的数据代入（1－2－7）式，计算出α值；
．将α的测量值与实验室给出的真值相比较，求出百分误差。

思考题
1．本实验所用仪器和用具有哪些？如何将仪器安装好？操作时应注意哪些问题？
2．调节光杠杆的程序是什么？在调节中要特别注意哪些问题？
3．分析本实验中各物理量的测量结果，哪一个对实验误差影响较大？
4．根据实验室条件你还能设计一种测量ΔL的方案吗？。