湘教版选修2-1高中数学《直线与平面的垂直关系》课件

O
B
第1题
C
P
C
A
D
B
第2题
P
A
D
B
第3题 C
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课堂小结 1.直线与平面垂直的关系
2.三垂线定理及其逆定理
线射垂直
定
逆
理
定
理
线斜垂直
点A叫做斜足.
线段PA叫做斜线段.
思考：平面的斜线在平面内的射影是什么图形？
答案：仍是一条直线BA
图1 P
B
A
α
图2
由线线垂直可以得到线面垂直，再由线面垂直 又可以得到线线垂直。
三垂线定理：
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这
P
条斜线垂直
m
① 线面垂直
性质定理
两个定理的区别：
（1）从条件和结论上区分:三垂线定理是
“线与射影垂直
线与斜线垂直”，
（2）从作用上区分：三垂线定理解决：
“共面直线 垂直
异面直线垂直”,
逆定理相反。 逆定理相反。
思考题：想一想？
如图，PA 垂直于以AB为直径的圆Ｏ平面，Ｃ为 圆Ｏ上任一点（异于Ａ，Ｂ），试判断图中共有 几个直角三角形，并说明理由。
直线与平面垂直的判定定理：向量证明
由线线垂直可以得到线面垂直
练习： 在正方体ABCD—A1B1C1D1 中 E、F分别是
BB1 、CD 的中点 ，求证：D1F 平面ADE
Z
D1
A1
C1 B1
D
A X
E
F
C Y
B
平面的斜线、斜线在平面内的射影
如图2，ＰＡ∩α＝Ａ，ＰＡ不垂直α, 直线PA --------叫做平面α的斜线；
P
A
O
B
C
四、课堂练习
1、已知点O是△ABC的BC边的高上的任意一点，且OP⊥平面ABC， 求证PA⊥BC .
2、如图，PD⊥平面ABC，AC=BC，D为AB中点，求证AB⊥PC.
3、如图，ABCD是矩形，PA⊥平面AC，连结PB、PC、PD，指出 图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由.
P A
直线与平面的垂直关系
一、复习回顾
1、直线的方向向量定义：
2.设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ，
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos a b ；
2
ab
若直线 l , m垂直，则有
a b a • b x1x2 y1 y2 z1z2 0;
3.直线与平面垂直的判定定理：
平面内的一条直线和平 面的一条斜线垂直
三垂线定理的逆定理
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PB，PA分别是平面α的
垂线和斜线，BA是PO在平面
B
A m 的射影, m在平面α内 ,m ⊥PA
求证：m ⊥BA
α
剖析定理： “一面，四线，三垂直”； 两定理的实质与区别？
故称“三垂线定理”
PA⊥ m
三垂线定理
P
直线a 一定要在平面内，如果 a 不在 平面内，定理就不一定成立。
例如：当 b⊥ α时， 则 b⊥OA
但 b不垂直于OP
O ab
α
A
注意：定理中“在平面内”的条件不能去掉。
三垂线定理
三垂线定理的逆命题
？ P 线射垂直
P 线斜垂直
A Oa α
A Oa α
平面内的一条直线和平面的 一条斜线在平面内的射影垂 直线ຫໍສະໝຸດ 垂直② 判定定理α
线面垂直
BA
③ 线线垂直
性质定理
证明：
PB⊥α mα
PB⊥m
BA⊥m
m⊥平面PAB
PA 平面PAB
m⊥PA
一面四线三垂直
一面——平面α（基础平面） ；
P m
BA α
四线——PB（ α的垂线）， m（ α内的直线））
PA（斜线），BA（射影），
三垂直——PB ⊥ m,, BA ⊥ m,