7.8存在性问题(第1部分)-2018年中考数学试题分类汇编(word解析版)

第七部分专题拓展
7.8 存在性问题
【一】知识点清单
【二】分类试题汇编及参考答案与解析
一、选择题
二、填空题
三、解答题
1．（2018年重庆市A卷-第26题-12分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x 上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．
（1）求线段AB的长；
（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上
一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+1
2
FO的最小值；
（3）在（2）中，PH+HF+1
2
FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，
过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．
【知识考点】二次函数综合题．
【思路分析】（1）求出A、B两点坐标，即可解决问题；
（2）如图1中，设P（m，﹣m2+4m），作PN∥y轴J交BE于N．构建二次函数利用二次函数的性质求出满足条件的点P坐标，作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于
F，因为FK=OF，推出PH+HF+FO=PH+FH+Fk=PH+HK，此时PH+HF+OF的值最小，解直角
三角形即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解即可；
【解答过程】解：（1）由题意A（1，3），B（3，3），
∴AB=2．
（2）如图1中，设P（m，﹣m2+4m），作PN∥y轴J交BE于N．
∵直线BE的解析式为y=x，
∴N（m，m），
∴S△PEB=×2×（﹣m2+3m）=﹣m2+3m，
∴当m=时，△PEB的面积最大，此时P（，），H（，3），
∴PH=﹣3=，
作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于F，∵FK=OF，
∴PH+HF+FO=PH+FH+Fk=PH+HK，此时PH+HF+OF的值最小，∵•HG•OC=•OG•HK，
∴HK==+，
∴PH+HF+OF的最小值为+．
（3）如图2中，由题意CH=，CF=，QF=，CQ=1，
∴Q （﹣1，3），D （2，4），DQ=
，
①当DQ 为菱形的边时，S 1（﹣1，3﹣），S 2（﹣1，3+
），
②当DQ 为对角线时，可得S 3（﹣1，8）， ③当DR 为对角线时，可得S 4（5，3） 综上所述，满足条件的点S 坐标为（﹣1，3﹣
）或（﹣1，3+
）或（﹣1，8）或（5，3）．
【总结归纳】本题考查二次函数综合题、最短问题、菱形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，根据垂线段最短解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2．（2018年重庆市B 卷-第26题-12分）抛物线2y x =-+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接CD ，求线段CD 的长；
（2）如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当PE+1
2
EC 的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标；
（3）如图3，点H 是线段AB 的中点，连接CH ，将△OBC 沿直线CH 翻折至△O 2B 2C 的位置，再将△O 2B 2C 绕点B 2旋转一周，在旋转过程中，点O 2，C 的对应点分别是点O 3，C 1，直线O 3C 1分别与直线AC ，x 轴交于点M ，N ．那么，在△O 2B 2C 的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN 是以MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O 2M 的长；若不存在，请说明理由．
【知识考点】二次函数综合题．
【思路分析】（1）分别表示C和D的坐标，利用勾股定理可得CD的长；
（2）令y=0，可求得A（﹣3，0），B（，0），利用待定系数法可计算直线AC的解析式为：y=，设E（x，），P（x，﹣x2﹣x+），表示PE的长，利用勾股定理计算AC的长，发现∠CAO=30°，得AE=2EF=，计算PE+EC，利用配方法可得当PE+EC的值最大时，x=﹣2，此时P（﹣2，），确定要使四边形PO1B1C周长的最小，
即PO1+B1C的值最小，将点P向右平移个单位长度得点P1（﹣，），连接P1B1，则PO1=P1B1，再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），可得结论；
（3）先确定对折后O2C落在AC上，△AMN是以MN为腰的等腰三角形存在四种情况：
①如图4，AN=MN，证明△C1EC≌△B2O2M，可计算O2M的长；
②如图5，AM=MN，此时M与C重合，O2M=O2C=；
③如图6，AM=MN，N和H、C1重合，可得结论；
④如图7，AN=MN，过C1作C1E⊥AC于E证明四边形C1EO2B2是矩形，根据O2M=EO2+EM可得结论．
【解答过程】解：（1）如图1，过点D作DK⊥y轴于K，
当x=0时，y=，
∴C（0，），
y=﹣x2﹣x+=﹣（x+）2+，
∴D（﹣，），
∴DK=，CK=﹣=，
∴CD===；（4分）
（2）在y=﹣x2﹣x+中，令y=0，则﹣x2﹣x+=0，
解得：x1=﹣3，x2=，
∴A（﹣3，0），B（，0），
∵C（0，），
易得直线AC的解析式为：y=，
设E（x，），P（x，﹣x2﹣x+），
∴PF=﹣x2﹣x+，EF=，
Rt△ACO中，AO=3，OC=，
∴AC=2，
∴∠CAO=30°，
∴AE=2EF=，
∴PE+EC=（﹣x2﹣x+）﹣（x+）+（AC﹣AE），
=﹣﹣x+[2﹣（）]，
=﹣﹣x﹣x，
=﹣（x+2）2+，（5分）
∴当PE+EC的值最大时，x=﹣2，此时P（﹣2，），（6分）
∴PC=2，
∵O1B1=OB=，
∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，
如图2，将点P向右平移个单位长度得点P1（﹣，），连接P1B1，则PO1=P1B1，再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），则P1B1=P2B1，
∴PO1+B1C=P2B1+B1C，。