材料力学第6章-应力状态与强度理论4+第7章-组合变形1

有关.同一种材料在不同情况下，破坏形式不同,强度理
论也应不同.如
强度理论/常用的强度理论
低碳钢： 单向受拉时，产生塑性变形
第三、第四 强度理论
三向均拉时，产生断裂破坏
铸铁：
第一、第二 强度理论
第一、第二 强度理论 第三、第四 强度理论
单向受拉时，脆性拉断
三向均压时，产生屈服破坏
3、如果考虑材料存在内在缺陷如裂纹，须利用断裂力 学中的脆性断裂准则进行计算。
1 2 0( ) 2 2 00( ) 2E




1 2 E
E G 2 1
应力状态/应变分析
上节回顾
七 、 平面应变状态的应变分析
一点的应变状态： 构件内一点在各个不同方位的应变情况。
正应变：变形后单元体棱边长度的变化。 切应变：变形后单元体各平面之间角度的变化。
然后进行强度校核。
强度理论/常用的强度理论
例题 3
已知:圆杆受力如图所示，若已知圆杆直径d=10mm,
1 外力偶矩 M 0 Fd 。材料为钢材， [s ] 160MPa 。 10
试按第三和第四强度理论求许可载荷[F]。
M0
d A B F
强度理论/常用的强度理论
解：（1）确定危险点处的应力状态 危险点：任一截面的外缘 其上应力： 应力单元体：
sr1 = smax= s1 [s]
其次确定主应力
强度理论/常用的强度理论
s max
s x s y
2
1 2
2 s x s y 4 xy 29.28MPa 2
s min
s x s y
2
1 2
2 s x s y 4 xy 3.72MPa 2
复杂应力状态相当应力状态已有简单拉压试验资料强度理论强度条件强度理论强度理论强度理论的概念关于关于屈服屈服的强度理论的强度理论最大切应力理论最大切应力理论形状改变比能理论形状改变比能理论关于关于断裂断裂的强度理论的强度理论最大拉应力理论最大拉应力理论最大拉应变理论最大拉应变理论莫尔强度理论莫尔强度理论强度理论强度理论常用的常用的强度理论最大拉应力理论第一强度理论maximumtensilestresscriterion无论材料处于什么应力状态只要发生脆性断裂都是由于微元内的最大拉应力达到了一个共同的极限值
应力状态/应变能密度
sm
上节回顾
体积改变能密度
1 2 2 uv s 1 s 2 s 3 6E
s 2 s m
s1 s m
sm
sm
形状改变能密度(畸变能密度)
s3 s m
1 2 2 2 uf s 1 s 2 s 2 s 3 s 3 s 1 6E
关于屈服的强度理论(Criteria of Yield) 最大切应力理论（第三强度理论） (Tresca’s Criterion) 无论材料处于什么应力状态,只要发 生屈服,都是由于微元内的最大切应力达 到了某一共同的极限值。
max s
强度理论/常用的强度理论
s2 s1 s3
s= ss
s1＝29.28MPa,s2＝3.72MPa, s3＝0
s r1 s 1 s t 30MPa
结论：该点强度是安全的！
强度理论/常用的强度理论
例题2 已知：s 和，
试写出最大切应力理论和
畸变能密度理论的
表达式。
解：首先确定主应力 s s1＝ 2
＋
1 2
s 2＋4 2
－
s2＝0
强度理论/常用的强度理论
畸变能密度理论（第四强度理论）
(Mises’s Criterion) 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由 于微元的形状改变比能(即畸变能)达到一个共同的极
限值。
s2
uf ufs
s1
s3
强度理论/常用的强度理论
s= ss
屈服条件
强度条件
实验表明：此理论适用范围与局限性和最大切应力理论
s r1 s 1 s
强度理论/常用的强度理论
实验表明：此理论对于大部分脆性材料受拉应力作用，
结果与实验相符合，如铸铁受拉、扭。

局限性：
1、未考虑另外二个主应力影响，
2、对没有拉应力的应力状态无法应用， 3、对塑性材料的破坏无法解释， 4、无法解释三向均压时，既不屈服、也不破 坏的现象。
xy
2
sin 2

sin 2
xy
2
cos 2
应力状态/应变分析
上节回顾
应变圆
与应力圆相比： s ,

2
.

2
x y 2 xy 2 ( ) ( ) 2 2
xy
2
E ( ,

2
)
D( x ,
xy
2
)
R
2

c
F ( y , )
x y 2
应力状态/应变分析
上节回顾
已知：o点的应变分量分别为 x , y , xy 。现求：与x轴成 角的线段oB的正应变 ，以及处于该方位的直角BOD 的切应变 。 y y
D C B
x
dy

E
o
dx
A
x
x y
2 x y 2


2
ห้องสมุดไป่ตู้x y
2
cos 2
八、复杂应力状态的强度理论
强度理论/强度理论的概念
两种强度失效形式
(1) 屈 服（流动）：材料破坏前发生显著的 塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生 在最大切应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸 铁压。
(2) 断裂 无裂纹体 含裂纹体
材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较 粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上， 如铸铁受拉、扭，低温脆断等。
强度理论/强度理论的概念
强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判 断、推理、概括，提出了种种关于破坏原因的 假说，找出引起破坏的主要原因，经过实践检 验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上 升为理论。
即
为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出
的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
强度理论/强度理论的概念
强度理论/常用的强度理论
s1 183.1 MPa , s 2 94.4 MPa , s 3 0
s
A
y
s
s r 3 s1 s 3 183.1 s
x
s r 3 s 183.1170 7.70 0 s 170
所以，此容器不满足第三强度理论, 不安全！
A
y
s
x
(已知 E = 210GPa, [s] = 170MPa, = 0.3 )
解：由广义胡克定律得
E sx ( x y ) 2 1
2.1 (1.88 0.3 7.37) 107 94.4MPa 1 0.32
E 2.1 s y 2 ( y x ) (7.370.31.88)107 183.1MPa 1 10.32
s
F 1 2 d 4
,
M0 , 1 3 d 16
（2）根据第三、第四强度理论求许可载荷[F]。
求得：
强度理论/常用的强度理论
求得：
强度理论/常用的强度理论
例 薄壁圆筒压力容器受最大内压时, 测得
x = 1.8810-4，y = 7.3710-4, 用第三强度
理论校核其强度。
s
强度理论/常用的强度理论
上节回顾
例 用应变能法证明三个弹性常数间的关系 G
A
E 2 1

s3 s1
（1）纯剪单元体的应变能密度为 1 1 2 u
2 2 G 2G
（2）纯剪单元体应变能密度用主应力 表示为
s1 s2 0 s 3
1 2 2 2 u s 1 s 2 s 3 2 s 1s 2 s 3s 2 s 1s 3 2E
无论材料处于什么应力状态,只要发生同一种破坏形 式,都是由于同一种因素引起。
s2
s r f (s 1 , s 2 , s 3 )
s1 sr
相当应力状态
s3
复杂应力状态

强度条件
[s]
已有简单拉 压试验资料
强度理论
强度理论/常用的强度理论
2、常用的强度理论
关于屈服的强度理论
最大切应力理论
强度理论/常用的强度理论
上节回顾
—最大拉应力理论（第一强度理论） —最大拉应变理论（第二强度理论）
s r1 s 1 s
s r 2 s 1 (s 2 s 3 ) [s ]
—最大切应力理论（第三强度理论） —畸变能密度理论（第四强度理论）
强度理论/常用的强度理论
第六章 应力状态与强度理论
应力状态/广义胡克定律
上节回顾
承受内压薄壁容器任意点的应力状态
st
p
sx
pD sx 4t
pD st 2t
应力状态/应变能密度
上节回顾
应变能密度
s2
s 2 s m
s1 s m
sm sm
s1
s3
应变能密度
+
s3 s m
sm
1 u uf uv s 11 s 2 2 s 3 3 2
形状改变比能理论
关于断裂的强度理论
最大拉应力理论
最大拉应变理论
莫尔强度理论
强度理论/常用的强度理论
关于断裂的强度理论 —最大拉应力理论（第一强度理论）
(Maximum Tensile-Stress Criterion) 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,
都是由于微元内的最大拉应力达到了一个共同的极
强度理论/常用的强度理论
例题 4
一工字形截面梁受力如图所示，已知F=80KN,q=10KN/m, 许用应力 [s ] 120MPa 。试对梁的强度作全面校核。
126
F A C 1m D
F B 1m
q
300 9
15
E 2m
2m
强度理论/常用的强度理论 F F A C 1m (+) 5
(-)
q
解： （1）求支座反 力并作内力图
实验表明：此理论对于单向压缩时的岩石等脆性材料的 断裂较符合。
强度理论/常用的强度理论

局限性：
1、第一强度理论不能解释的问题，未能解决， 2、在二向或三向受拉时，
s r 2 s 1 (s 2 s 3 ) s r1 s 1
似乎比单向拉伸时更安全，但实验证明并非如此。
强度理论/常用的强度理论
相同，但比最大切应力理论更接近于实验结果。
强度理论/常用的强度理论
讨论：
1、选用强度理论时要注意：破坏原因与破坏形式的一
致性，理论计算与试验结果要接近，一般
第一、第二强度理论，适用于脆性材料（拉断）
第三、第四强度理论，适用于塑性材料（屈服、剪断）
2、材料的破坏形式与应力状态有关，也与速度、温度
s2
s1 s3 s= sb

max
1
1 [s 1 (s 2 s 3 )] E
1u
sb
E
强度理论/常用的强度理论

最大拉应变理论 断裂条件 强度条件
即
1 1u
1 sb [s 1 (s 2 s 3 )] / n E E
s r 2 s 1 (s 2 s 3 ) [s ]
s3＝ s 2
1 2
s 2＋4 2
强度理论/常用的强度理论
对于最大切应力理论
sr3=s1-s3= s 2＋4 2
对于畸变能密度理论
sr4= = s 2＋3 2
强度理论/常用的强度理论

应用强度理论进行强度计算的步骤：
1、外力分析：确定所需的外力值； 2、内力分析：画内力图，确定可能的危险截面； 3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画 出单元体，求主应力； 4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力
莫尔强度理论(Mohr Criterion)
请同学们自学课本P.111有关内容
强度理论/常用的强度理论
例题1
已知 ：铸铁构件上 危险点的应力 状态。铸铁拉
伸许用应力
[st] =30MPa。
试校核该点的强度。
强度理论/常用的强度理论
例题1
解：首先根据材料和应力
状态确定破坏形式， 选择强度理论。 脆性断裂，最大拉应力准则
s1 s3 max 2
屈服条件 强度条件
s 1o s 3o s s s 2 2
强度理论/常用的强度理论
实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到 较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生
塑性变形或断裂的事实。 (
max
0)

局限性：
1、未考虑 s 2 的影响，试验证实最大影响达15%。 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象， 3、不适用于脆性材料的破坏。
强度理论/常用的强度理论

最大拉应变理论（第二强度理论）
(Maximum Tensile-Strain Criterion) 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,
都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单 拉伸时的破坏伸长应变数值。

max
1u
强度理论/常用的强度理论
—最大拉应变理论
限值。
s
max
s
o max
强度理论/常用的强度理论

最大拉应力理论
s2 s1 s3 s= sb
s
max
s 1 (s 1 0)
s
o max
sb
强度理论/常用的强度理论

最大拉应力理论
断裂条件
s1 sb
s1 sb
nb s
强度条件
将强度理论中直接与许用应力[σ]比较的量,称之为 相当应力σri 即