江苏省常州市武进洛阳中学2021年高二数学理期末试题含解析

江苏省常州市武进洛阳中学2021年高二数学理期末试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在直角坐标系中，，沿轴把直角坐标系折成的二面角，则此时线段
的长度为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
2. 设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题：
①若两两互相垂直，则是的垂心
②若，是斜边上的中点，则
③若，则是的外心
④若到的三边的距离相等，则为的内心
其中正确命题的是（）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
参考答案：
C
略
3. 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质为原来的，则经过（）年，剩余下的物质是原来的.
A.5
B.4
C.3
D.2
参考答案：
C
考点：指数函数的应用．
4. 已知变量x、y之间的线性回归方程为，且变量x、y之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（）
A. 可以预测，当时，
B.
C. 变量x、y之间呈负相关关系
D. 该回归直线必过点(9,4)
参考答案：
B
【分析】
将
的值代入回归直线方程可判断出A选项的正误；将的坐标代入回归直线方程可计算出实数的值，可判断出B 选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C选项的正误；根
据回归直线过点可判断出D选项的正误.
【详解】对于A选项，当时，，A选项正确；
对于B选项，，，将点的坐标代入回归直线方程得，解得，B选项错误；
对于C选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量、之间呈负相关关系，C选项正确；
对于D选项，由B选项可知，回归直线必过点，D选项正确.故选：B.
【点睛】本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
5. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（）
A B C D
参考答案：
B
略
6. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“5局3胜”，即先赢3局者为胜.根据经验，甲在每局比赛中获胜的概率为，已知第一局甲胜，则本次比赛中甲获胜的概率为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
对甲获胜比赛局数分类讨论，打3局甲获胜，甲连赢2,3局；打4局获胜则2,3局甲一胜一负，第4局胜；打5局获胜，则2,3,4局甲胜一局负两局，第5局胜，求出各种情况的概率，按照互斥事件概率关系，即可求解.
【详解】甲在每局比赛中获胜的概率为，第一局甲胜，
打3局甲获胜概率为；
打4局甲获胜概率为；
打5局获胜的概率为，所以甲获胜的概率为.
故选:D.
【点睛】本题考查相互独立同时发生的概率、互斥事件的概率，考查计算求解能力，属于基础题.
7. 已知向量，且与互相垂直，则k值是()
A．1 B. C. D.
参考答案：
D
略
8. 设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,
是底角为的等腰三角形,则的离心率为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
9. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（）
A．πB．2πC．4πD．8π
参考答案：
B
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】设出圆柱的高，通过侧面积，求出圆柱的高与底面直径，然后求出圆柱的体积．
【解答】解：设圆柱的高为：h，轴截面为正方形的圆柱的底面直径为：h，
因为圆柱的侧面积是4π，
所以h2π=4π，∴h=2，所以圆柱的底面半径为：1，
圆柱的体积：π×12×2=2π．
故选B．
【点评】本题考查圆柱的侧面积与体积的计算，考查计算能力，基础题．
10. 下列证明中更适合用反证法的是（）
A. 证明
B. 证明是无理数
C. 证明
D. 已知，证明
参考答案：
B
【分析】
对选项进行分析，选项A可用数学归纳法或者裂项相消法证明，选项B适合于反证法，选项C可用二倍角余弦公式证明，选项D可先计算的值，代入计算可得证明，综合可得答案.
【详解】解：选项A，可得，适合直接证明；
选项B并不适合直接证明，适合反证法；
选项C，可得，适合直接证明；
选项D，可得，将右边式子化简可得证明，也适合直接证明；
所以选项B的证明更适合用反证法，
故选B.
【点睛】本题主要考查直接证明和反证法的相关知识，及数列，三角函数的相关知识，需知道反证法适用的场所.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 有下列命题：
①双曲线﹣=1与椭圆有相同焦点；
②“﹣＜x＜0”是“2x2﹣5x﹣3＜0”必要不充分条件；
③若、共线，则、所在的直线平行；④若，，三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；
⑤?x∈R，x2﹣3x+3≠0．
其中是真命题的有：．（把你认为正确命题的序号都填上）
参考答案：
①⑤
【考点】双曲线的简单性质；命题的真假判断与应用．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据已知中双曲线和椭圆的标准方程，分别求出双曲线和椭圆的焦点，可判断①；
解不等式2x2﹣5x﹣3＜0，判断其解集与﹣＜x＜0的包含关系，结合充要条件的定义，可判断②；根据向量共线的定义，分析、所在的直线位置关系，可判断③；
根据向量共面的定义，可判断④；
判断方程x2﹣3x+3=0根的个数，可判断⑤
【解答】解：双曲线﹣=1的焦点坐标为（±，0）点，椭圆的焦点坐标也为（±，0）点，故①正确；
解2x2﹣5x﹣3＜0得＜x＜3，∵（，0）?（，3），故“﹣＜x＜0”是“2x2﹣5x﹣3＜0”充分不必要条件，故②错误；
若、共线，则、所在的直线平行或重合，故③错误；
若，，三向量两两共面，则、、三向量可能不共面，如空间坐标系中三个坐标轴的方向向量，故④错误；
∵方程x2﹣3x+3=0的△=﹣3＜0，故方程x2﹣3x+3=0无实根，故⑤正确
故答案为：①⑤
【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了圆锥曲线的性质，充要条件，向量共线与共面，全称命题等知识点，难度中档．
12. “任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是存．
参考答案：
在三角形的外角至多有一个钝角
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是：存在三角形的外角至多有一个钝角．
故答案为：存在三角形的外角至多有一个钝角．
13. 已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线右支上的任意一点，若
的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是__________
参考答案：
14. 圆C1：与圆C2：的公切线有_______条．
参考答案：
3
略
15. 如果双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心
率为．
参考答案：
2
16. 函数的定义域为A，若且时总有
，则称为单函数．例如，函数=2x+1()是单函数．下列命题：
①函数（x R）是单函数；
②指数函数（x R）是单函数；
③若为单函数，且，则；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）
参考答案：
答案：②③④
解析：对于①，若，则，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．
【分析】
根据单函数的定义分别进行判断即可．
【详解】①若函数f（x）=x2（x∈R）是单函数，则由f（x1）=f（x2）得x12=x22，即x1=﹣x2或
x1=x2，∴不满足单函数的定义．
②若指数函数f（x）=（x∈R）是单函数，则由f（x1）=f（x2）得2x1=2x2，即x1=x2，∴满足单函数的定义．
③若f（x）为单函数，x1、x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2），则根据逆否命题的等价性可知，成立．
④在定义域上具有单调性的函数一定，满足当f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，∴是单函数，成立．
故答案为：②③④.
【点睛】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，利用单函数的定义是解决本题的关键．
17. 已知函数，则▲ ．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)．若y＝f(x)图象上的点处的切线斜率为－4，
(Ⅰ)求a、b (Ⅱ)求y＝f(x)的极大值．
参考答案：
略
19. 已知函数f（x）=（x﹣k）e x（k∈R）．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；
（3）设g（x）=f（x）+f′（x），若对及?x∈[0，1]有g（x）≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．
参考答案：
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）由f（x）=（x﹣k）e x，求导f′（x）=（x﹣k+1）e x，令f′（x）=0，求得x=k﹣1，令f′（x）＜0，解得函数的单调递减区间，f′（x）＞0，解得函数的单调递增区间，根据函数的单调性即可求得f（x）的极值；
（2）当k﹣1≤1时，f（x）在[1，2]单调递增，f（x）的最小值为f（1），当k﹣1≥2时，f（x）在[1，2]单调递减，f（x）的最小值为f（2），当1＜k﹣1＜2时，则x=k﹣1时，f（x）取最小值，最小值为：﹣e k﹣1；（3）由g（x）=（2x﹣2k+1）e x，求导g′（x）=（2x﹣2k+3）e x，当g′（x）＜0，解得：x＜k﹣，求得函数的单调递减区间，当g′（x）＞0，解得：x＞k﹣，求得函数的单调递增区间，由题意可知g（x）≥λ，?x∈[0，1]恒成立，等价于g（k﹣）=﹣2e≥λ，由﹣2e≥λ，对?k∈[，]恒成立，根据函数的单调性，即可求得实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）=（x﹣k）e x（k∈R），求导f′（x）=（x﹣k）e x+e x=（x﹣k+1）e x，
令f′（x）=0，解得：x=k﹣1，
当x＜k﹣1时，f′（x）＜0，
当x＞k﹣1时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞），单调递减区间（﹣∞，k﹣1），极小值为﹣e k﹣1，无极大值；
（2）当k﹣1≤1时，即k≤2时，f（x）在[1，2]单调递增，
f（x）的最小值为f（1）=（1﹣k）e；
当k﹣1≥2时，即k≥3时，f（x）在[1，2]单调递减，
∴当x=2时，f（x）的最小值为f（2）=（2﹣k）e3；
当1＜k﹣1＜2时，解得：2＜
k ＜3时，
∴f（x ）在[1，k﹣1]单调递减，在[k﹣1，2]单调递增，
∴当x=k﹣1时，f（x）取最小值，最小值为：﹣e k﹣1；
（3）g（x）=f（x）+f'（x）=（x﹣k）e x+（x﹣k+1）e x=（2x﹣2k+1）e x，求导g′（x）=（2x﹣2k+1）e x+2e x=（2x﹣2k+3）e x，
令g′（0）=0，2x﹣2k+3=0，x=k﹣，
当x＜k﹣时，g′（x）＜0，
当x＞k﹣时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（﹣∞，k﹣）单调递减，在（k﹣，+∞）单调递增，
故当x=k﹣，g（x）取最小值，最小值为：g（k﹣）=﹣2e，
∵k∈[，]，即k﹣∈[0，1]，
∴?x∈[0，1]，g（x）的最小值，g（k﹣）=﹣2e，
∴g（x）≥λ，?x∈[0，1]恒成立，等价于g（k﹣）=﹣2e≥λ，由﹣2e≥λ，对?k∈[，]恒成立，
∴λ≤（﹣2e）最小值，
令h（k）=﹣2e，k∈[，]，
由指数函数的性质，函数h（k）在k∈[，]单调递增，
∴当k=时，h（k）取最小值，h（）=﹣2e，
∴λ≤﹣2e．
∴实数λ的取值范围（﹣∞，﹣2e）．20. 已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为，圆C与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求圆C的标准方程
（2）若点P的坐标为（4，4），试探究斜率为k的直线PF1与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF1的方程；若不能，请说明理由．
参考答案：
解：（1）由已知可设圆C的方程为（x﹣m）2+y2=5（m＜3）
将点A的坐标代入圆C的方程，得（3﹣m）2+1=5
即（3﹣m）2=4，解得m=1，或m=5
∵m＜3∴m=1
∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2=5．（6分）
（2）直线PF1能与圆C相切
依题意设直线PF1的方程为y=k（x﹣4）+4，即kx﹣y﹣4k+4=0
若直线PF1与圆C相切，则
∴4k2﹣24k+11=0，解得
当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去
当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为﹣4，
∴c=4，F1（﹣4，0），F2（4，0）
∴由椭圆的定义得：
∴，即a2=18，∴b2=a2﹣c2=2
直线PF1能与圆C相切，直线PF1的方程为x﹣2y+4=0，椭圆E的方程为．（14分）
考点：圆与圆锥曲线的综合；圆的标准方程．
专题：综合题．
分析：（1）由已知可设圆C的方程为（x﹣m）2+y2=5（m＜3），将点A的坐标代入圆C的方程，得（3﹣m）2+1=5．由此能求出圆C的方程．
（2）直线PF1能与圆C相切，设直线PF1的方程为y=k（x﹣4）+4，若直线PF1与圆C相切，则
．当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，当时，直线PF1与x 轴的交点横坐标为﹣4，由此能求出椭圆E的方程．
解答：解：（1）由已知可设圆C的方程为（x﹣m）2+y2=5（m＜3）
将点A的坐标代入圆C的方程，得（3﹣m）2+1=5
即（3﹣m）2=4，解得m=1，或m=5
∵m＜3∴m=1
∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2=5．（6分）
（2）直线PF1能与圆C相切
依题意设直线PF1的方程为y=k（x﹣4）+4，即kx﹣y﹣4k+4=0
若直线PF1与圆C相切，则
∴4k2﹣24k+11=0，解得
当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去
当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为﹣4，
∴c=4，F1（﹣4，0），F2（4，0）
∴由椭圆的定义得：
∴，即a2=18，∴b2=a2﹣c2=2
直线PF1能与圆C相切，直线PF1的方程为x﹣2y+4=0，椭圆E的方程为．（14分）
点评：本题考查圆的方程和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化
21. 如果x是实数，且x＞﹣1，x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明：（1+x）n＞1+nx．参考答案：
【考点】RG：数学归纳法．
【分析】利用数学归纳法证明：（1）当n=2时，证明不等式成立；（2）假设n=k（k≥2，k∈N*）时命题成立，用上归纳假设，去证明则当n=k+1时，不等式也成立即可．
【解答】证明：（1）当n=2时，∵x≠0，∴（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x，不等式成立；
（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即（1+x）k＞1+kx 当n=k+1时，左边=（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，∴当n=k+1时，不等式成立
由（1）（2）可知，不等式成立．
22.
参考答案：
略。