江西五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜中学

五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）
联考
高三年级数学（理）学科试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知z 是z 的共轭复数，若1z i =+（i 是虚数单位），则z z ⋅=（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．22．已知集合
2{|20}A x x x =--…，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B =I （ ）
A ．(1,2)
B ．(1,2]
C ．[1,1)-
D ．(1,1)-3．已知命题p ：
存在x R ∈，使得10lg x x ->；命题q ：对任意x R ∈，都有2
0x >， 则（ ） A ．命题“p 或q ”是假命题 B ．命题“p 且q ”是真命题 C ．命题“非q ”是假命题 D ．命题“p 且‘非q ’”是真命题
4．已知α为第二象限角，3
sin cos 3
αα+=，则cos2α=（ ） A ．53 B ．59 C ．53- D ．59
-
5．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．③④
D ．②④
6．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听 写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5
将数据分组成[)5,0,[)10,5,[)15,10,[)20,15,[)25,20,[)30,25,
[)35,30,[]40,35时,所作的频率分布直方图如图所示，则
原始茎叶图可能是（ ）
7．若如下框图所给的程序运行结果为35S =,那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）
A. 7=k
B. 6k „
C. 6<k
D. 6>k 8．已知定义在区间[3,3]-上的函数()y f x =满足()()0f x f x -+=，对于函数()
y f x =的图像上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 都有1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<．若实数,a b 满足2
2
(2)(2)0f a a f b b -+-„，则点(,)a b 所在区域的面积为（ ）
A ．8
B ． 4
C ． 2
D ． 1
9．已知直线0x y k +-=(0)k >与圆2
2
4x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原
点，且有3||||3
OA OB AB +u u u r u u u r u u u
r ≥，那么k 的取值范围是（ ） A. [2,)+∞ B. [2,22) C. (3,)+∞ D. [3,22)
10．如图，半径为2的圆内有两条圆弧，一质点M 自点A 开始沿弧A B C O A D C ------做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度()v v t =的图象大致为（ ）
二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计
分，本题共5分． 11． (1) （不等式选做题）如果存在实数x 使不等式2
315x x a a +---„成立，则实数a 的取值范围为____________.
(2) （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2
cos 4sin ρθθ=的焦点的
极坐标___________.(规定：0,02ρθπ<厔)
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12．设矩形区域Ω是由直线2
x π
=±
和1y =±所围成的平面图形，区域D 是由余弦函数
cos y x =、2
x π
=±
和1y =-所围成的平面图形．在区域Ω内随机的抛掷一粒豆子，则
该豆子落在区域D 内的概率是___________.
13．已知曲线1
()()n f x x n N +*=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线()y f x =在点P 处
的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则201412014220142013log log log x x x +++L 的值为
___________．
14．已知平面向量,()αβαβ≠u r u r u r u r 满足2α=u r ，且αu r 与βα-u r u r 的夹角为120︒
，t R ∈，则
(1)t t αβ-+u r u r
的最小值是________________．
15．如图，12,F F 是双曲线2
2
1:13
y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是12,C C 在第一象限的公共点．若121F F F A =，则2C 的离心率是________．
四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数2
()2sin ()3cos 2,,442f x x x x π
ππ⎡⎤
=+
-∈⎢⎥⎣⎦
．设x α=时()f x 取到最大值． （1）求()f x 的最大值及α的值；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12
A π
α=-
，且
2sin sin sin B C A =，求b c -的值．
17．（本小题满分12分）
某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得-2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来．
（1）求该参赛者恰好连对一条的概率；
（2）设X 为该参赛者此题的得分，求X 的分布列与数学期望．
18.（本小题满分12分）
已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1，A 1在底面ABC 上的射影恰为 AC 的中点O ，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA 1⊥AC 1。

（1）求证AC 1⊥平面A 1BC ；
（2）求锐二面角A —A 1B —C 的余弦值。

19．（本小题满分12分）
数列{}n a 的前n 项和是n S ，且1
12
n n S a +=. ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；
⑵ 记2
3log 4n n a b =，数列21{
}n n b b +⋅的前n 项和为n T ，证明：3
16
n T <.
20． （本小题满分13分）
已知点3
1,2
P -（）
在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且//MN AB ，2
||||
AB W MN =．试判断W 是否为
定值？若W 为定值，请求出这个定值；若W 不是定值，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数2
()(1)ln 1.f x a x ax =+++ （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）设1a <-，若对任意12(0,)x x ∈+∞、，恒有1212()()4f x f x x x --…成立，求a
的取值范围．
理科数学
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知z 是z 的共轭复数，若1z i =+（i 是虚数单位），则z z ⋅=（ D ）
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．2 2．已知集合
2{|20}A x x x =--…，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B =I （ C ）
A ．(1,2)
B ．(1,2]
C ．[1,1)-
D ．(1,1)-3．已知命题p ：
存在x R ∈，使得10lg x x ->；命题q ：对任意x R ∈，都有2
0x >， 则（ D ） A ．命题“p 或q ”是假命题 B ．命题“p 且q ”是真命题 C ．命题“非q ”是假命题 D ．命题“p 且‘非q ’”是真命题 4．已知α为第二象限角，3
sin cos αα+=
，则cos2α=（ C ） A ．53 B ．59 C ．53- D ．59
-
5．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ D ）
A ．①②
B ．①③
C ．③④
D ．②④ 6．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听 写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5
将数据分组成[)5,0,[)10,5,[)15,10,[)20,15,[)25,20,[)30,25,
[)35,30,[]40,35时,所作的频率分布直方图如图所示，则
原始茎叶图可能是（ A ）
7．若如下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（D ）
A. 7=k
B. 6k „
C. 6<k
D. 6>k 8．已知定义在区间[3,3]-上的函数()y f x =满足()()0f x f x -+=，对于函数
()y f x =的图像上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 都有
1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<．若实数,a b 满足22
(2)(2)0f a a f b b -+-„，则点(,)
a b 所在区域的面积为（ A ） A ．8 B ． 4 C ． 2 D ． 1
9．已知直线0x y k +-=(0)k >与圆2
2
4x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原
点，且有3||||3
OA OB AB +u u u r u u u r u u u
r ≥，那么k 的取值范围是（ B ） A. [2,)+∞ B. [2,22) C. (3,)+∞ D. [3,22) 10．如图，半径为2的圆内有两条圆弧，一质点M 自点A 开始沿弧A B C O A D C ------做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度()v v t =的图象大致为（ B ）
二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计
分，本题共5分． 11． (1) （不等式选做题）如果存在实数x 使不等式2
315x x a a +---„成立，则实数a 的取值范围为_(][)14-∞+∞U ，，___________.
(2) （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2
cos 4sin ρθθ=的焦点的极坐标___12π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，________.(规定：0,0
2ρθπ<厔)
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12．设矩形区域Ω是由直线2
x π
=±
和1y =±所围成的平面图形，区域D 是由余弦函数
cos y x =、2
x π
=±
和1y =-所围成的平面图形．在区域Ω内随机的抛掷一粒豆子，则
该豆子落在区域D 内的概率是____
2
2ππ
+_______. 13．已知曲线1()()n f x x n N +*
=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线()y f x =在点P 处
的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则201412014220142013log log log x x x +++L 的值为_______1-____．
14．已知平面向量,()αβαβ≠u r u r u r u r 满足2α=u r ，且αu r 与βα-u r u r 的夹角为120︒
，t R ∈，则
(1)t t αβ-+u r u r
的最小值是_____3___________．
15．如图，12,F F 是双曲线2
2
1:13
y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是12,C C 在第一象限的公共点．若121F F F A =，则2C 的离心率是
___
2
3
_____．
四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数2
()2sin ()3cos 2,,442f x x x x π
ππ⎡⎤
=+
-∈⎢⎥⎣⎦
．设x α=时()f x 取到最大值． （1）求()f x 的最大值及α的值；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12
A π
α=-
，且
2sin sin sin B C A =，求b c -的值．
解：（1）依题
()1cos(2)3cos 21sin 23cos 212sin(2).23f x x x x x x ππ⎡
⎤=-+-=+-=+-⎢⎥⎣
⎦
又,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则22633x πππ-剟，故当232x ππ-=即512x πα==时，max () 3.f x =
（2）由（1）知123
A π
π
α=-
=
，由2sin sin sin B C A =即2
bc a =，又
2
2
2
222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，则22b c bc bc +-=即2()0b c -=，故0.b c -=
17．（本小题满分12分）
某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得-2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来．
（1）求该参赛者恰好连对一条的概率；
（2）设X为该参赛者此题的得分，求X的分布列与数学期望．
解：(1)
1
4
4
4
2421
243 C
A
⨯⨯
==. (4分)
(2) X的所有可能取值为：8
-，1
-，6，20. (6分)
4
4
99
(8)
24
P X
A
=-==，
1
4
4
4
21
(1)
3
C
P X
A
⨯
=-==，
2
4
4
4
6
(6)
24
C
P X
A
===，
4
4
11
(20)
24
P X
A
===，
X-8 -1 6 20
P
3
8
1
3
1
4
1
24
分)
且
135
31
326
EX=--++=-. (12分)
18.（本小题满分12分）
已知三棱柱ABC—A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为
AC的中点O，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA1⊥AC1。

（1）求证AC1⊥平面A1BC；
（2）求锐二面角A—A1B—C的余弦值。

19．（本小题满分12分）
数列{}n a 的前n 项和是n S ，且1
12
n n S a +=. ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；
⑵ 记2
3log 4n n a b =，数列21{
}n n b b +⋅的前n 项和为n T ，证明：3
16n T <. 解：(1)由题 111
12n n S a +++= ①
1
12n n S a += ②
①-②可得1111022n n n a a a +++-=，则11
3n n a a +=. (3分)
当1n =时 11112S a +=，则123a =，则{}n a 是以23为首项，1
3为公比的等比数列，
因此1
11212()333n n n n a a q --=⋅=⋅=. (6分)
(2)2233log log 324n n
n a b n -===-， (8分) 所以
21111111
()22(2)4(2)82
n n b b n n n n n n +==⋅=-⋅⋅+++， (10分)
11111111111113()(1)81324112821216
n T n n n n n n =-+-++-+-=+--<-++++L
(12分)
20． （本小题满分13分）
已知点3
1,2
P -（）
在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且//MN AB ，2
||||
AB W MN =．试判断W 是否为
定值？若W 为定值，请求出这个定值；若W 不是定值，请说明理由． 解：（1）椭圆C 的右焦点为(1,0)，∴1c =，椭圆C 的左焦点为(1,0)-
可得53
2422
a =
=+=，解得2a =，
∴2
2
2
413b a c =-=-= ∴椭圆C 的标准方程为22
143
x y += ……………………4分
（2）①当直线斜率不存在时，2
2
2
||(2)4AB b b ==，2
2||b MN a
=，
所以22
2||4242||AB b W a b
MN a
=
===．…………………………………………………… 6分 ②当直线斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，且11(,)M x y ，22(,)N x y ．
由22
143(1)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 2
122
834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， …………………………………………………8分
||MN
12|x x -
22
12(1)
34k k ++．…10分 由22
143x y y kx
⎧+
=⎪⎨⎪=⎩
消去y ，并整理得：22
1234x k =+ ，……………………………………11分
设3344(,),(,)A x y B x y ，则
||AB
34|x x -=22222
48(1)
||34412(1)
||34k AB k W k MN k ++===++ 综上所述，W 为定值4． ……………………………………………………………… 13分
21．（本小题满分14分）
已知函数2
()(1)ln 1.f x a x ax =+++
（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设1a <-，若对任意12(0,)x x ∈+∞、，恒有1212()()4f x f x x x --…，求a
的取值范围． 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.2121()2.a ax a f x ax x x
+++'=+= 当0a …时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞单调递增；
当1a -„时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞单调递减；…………………（2分） 当10a -<<时，令()0f x '=
，解得x =
即0,x ⎛
∈ ⎝时，()0f x '>
；x ⎫∈+∞⎪⎪⎭
时，()0.f x '<； 故()f x
在0,⎛ ⎝
单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递减；…………（6分） （2）不妨设12x x „，而1a <-，由（1）知()f x 在(0,)+∞单调递减，从而对任意12(0,)x x ∈+∞、，恒有1212()()4f x f x x x --…
⇔1221()()4()f x f x x x --…
⇔1122()4()4f x x f x x ++…
令()()4g x f x x =+，则1()24a g x ax x
+'=++
等价于()g x 在(0,)+∞单调递减，即1()240a g x ax x
+'=++„，从而222
22241(21)42(21)2212121
x x x x a x x x ------==-+++„， 故a 的取值范围为(],2.-∞-。