2020-2021学年人教A数学必修1配套学案：2.1.2 第2课时 指数函数图象及性质的应用

第2课时指数函数图象及性质的应用
内容标准学科素养
1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数
函数的单调性比较幂的大小，解不等式．
2.通过本节内容的学习，进一步体会函数图象
是研究函数的重要工具，并能运用指数函数
研究一些实际问题.
提升数学运算
应用直观想象
培养数学建模
授课提示：对应学生用书第41页探究一利用指数函数的单调性比较大小
[阅读教材P57例7]比较下列各数中两个值的大小：
(1) 1.72.5,1.73；
(2) 0.8－0.1, 0.8－0.2；
(3) 1.70.3,0.93.1.
题型：比较大小
[例1]比较下列各组数的大小：
(1)1.82.2与1.83；
(2)0.7－0.3与0.7－0.4；
(3)1.90.4与0.92.4.
[解析](1)1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值．
∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数．
∴1.82.2<1.83.
(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，
又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.
(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，
∴1.90.4>0.92.4.
方法技巧比较幂的大小的方法
(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来
判断．
(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值来比较． 跟踪探究 1.已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a
D ．c >a >b
解析：1.20.8>1.20＝1,0.80.9<0.80.7<0.80＝1，∴b <a <c ，故选D. 答案：D
探究二 解简单的指数不等式 [例2] 如果a
－5x
>a x ＋
7(a >0且a ≠1)，求x 的取值范围．
[解析] ①当a >1时，∵a －5x
>a x ＋
7，
∴－5x >x ＋7，解得x <－7
6.
②当0<a <1时，∵a
－5x
>a x ＋
7，
∴－5x <x ＋7，解得x >－7
6
.
综上所述，x 的取值范围是：当a >1时，x <－7
6；
当0<a <1时，x >－7
6
.
方法技巧 指数不等式的解法
(1)形如a x ＞a y 的不等式：可借助y ＝a x 的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论．
(2)形如a x ＞b 的不等式：注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．
(3)形如a x ＞b x 的不等式：可借助图象求解，也可转化为⎝⎛⎭⎫a b x
＞1求解． 跟踪探究 2.若a x ＋
1>⎝⎛⎭⎫1a 5－3x (a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围． 解析：a x ＋1>⎝⎛⎭⎫1a 5－3x ⇔a x ＋1>a 3x －5， 当a >1时，可得x ＋1>3x －5， ∴x <3.
当0<a <1时，可得x ＋1<3x －5， ∴x >3.
综上，当a >1时，x <3； 当0<a <1时，x >3.
探究三 指数函数的实际应用
[阅读教材P57例8]截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?
题型：实际应用
[例3]某市现在人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题．
(1)试写出该市人口总数y(万人)与经过时间x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该市人口总数(精确到1万人)；
(3)计算多少年以后该市人口将达到120万人(精确到1年)．
(参考数据： 1.01210≈1.127,1.01211≈1.140,1.01212≈1.154,1.01213≈1.168, 1.01214≈1.182,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210)
[解析](1)1年后该市人口总数为
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)，
2年后该市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，
3年后该市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3，
…
x年后该市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.
(2)10年后该市人口总数为y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127＝112.7≈113(万人)．
∴10年后该市人口总数约为113万人．
(3)依题意，得100(1＋1.2%)x＝120，即1.012x＝1.2，
解得x≈15.
∴约15年以后，该市人口将达到120万人．
方法技巧此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到指数运算．
跟踪探究 3.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了__________天．
解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．答案：19
授课提示：对应学生用书第42页
[课后小结]
1．比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性．
(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m ＜c 且c ＜b n ，则a m ＜b n ；若a m ＞c 且c ＞b n ，则a m ＞b n .
2．解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如a x ＞a y 的不等式，可借助y ＝a x 的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0＜a ＜1和a ＞1两种情况进行讨论．
(2)形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．
(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助图象求解．
[素养培优]
警惕底数a 对指数函数单调性的影响
若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值为__________．
易错分析：(1)解决本题易忽视对a 的讨论，错认为a 2＝2a ，从而导致得出a ＝2的错误答案．
(2)求函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在闭区间[s ，t ]上的最值，应先根据底数的大小对指数函数进行分类．当底数大于1时，指数函数为[s ，t ]上的增函数，最小值为a s ，最大值为a t .当底数大于0小于1时，指数函数为[s ，t ]上的减函数，最大值为a s ，最小值为a t .
自我纠正：当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数， 最小值为a 2，最大值为a ， 故a ＝2a 2，解得a ＝1
2
.
当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，最小值为a ， 最大值为a 2.故a 2＝2a ， 解得a ＝2. 综上，a ＝1
2或a ＝2.
答案：12
或2。