海南省海南中学11-12学年高一下学期期末考试(数学)

海南中学2011—2012学年度第二学期期末考试
高一数学试题
（总分：150分；总时量：120分钟）
一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为( )
A ．30o
B ． 45o
C ．60o
D ．120o
2．下列命题正确的是( )
A ．三点可以确定一个平面
B ．一条直线和一个点可以确定一个平面
C ．四边形是平面图形
D ．梯形确定一个平面
３．两圆2
2
9x y +=和2
2
8690x y x y +-++=的位置关系是（ ）
Ａ 相离 Ｂ 相交 Ｃ 内切 Ｄ． 外切
4.已知a 、b 是两条异面直线，c ∥a ，那么c 与b 的位置关系（ ）
Ａ.一定是异面 Ｂ.一定是相交 Ｃ.不可能平行 Ｄ.不可能相交 5．已知D 是由不等式组2030
x y x y -≥⎧⎨
+≥⎩所确定的平面区域，则圆 22
4x y +=在区域D 内的弧
长为 （ ） A ．
4
π
B ．
2
π
C ．
34π D ．32
π 6．如图，水平放置的正方体的六个面分别用
“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示， 右图是一个正方体的表面展开图，若图中“抗”在 正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ）
A ．救
B ．灾
C ．胜
D ．利
7．对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆22
2
=+y x 的位置关系一定是( )
Ａ．相离 Ｂ．相切 Ｃ．相交但直线不过圆心 Ｄ．相交且直线过圆心 8．已知圆0122:2
2
1=++++y x y x C 与圆0122:2
2
2=+--+y x y x C 关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ）
Ａ．0=+y x Ｂ．01=++y x Ｃ．0=x Ｄ．0=y 9．如图，已知四棱锥 V-ABCD 的底面是边长 为2正方形，侧面都是侧棱长为5的等腰三角形， 则二面角V-AB-C 的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
震 抗 灾 救
利
胜
10．点P 在圆2
21x
y +=上变动时，它与定点(3,0)Q 连线段PQ 中点的轨迹方程是（ ）
A ．2
2
(3)4x y ++=
B ．2
2
(3)1x y -+=
C ．2
2
(23)41x y -+=
D ．2
2
(23)41x y ++=
11.已知三棱锥ABC P -的顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ，
2,1===BC AB PA ,则球O 的表面积为（ ）
Ａ． 4π
Ｂ． 3π
Ｃ． 2π
Ｄ．π
12．设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆2
2
(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是( )
A ．
[1- Ｂ．
(,1[1+3,+)-∞-
∞ Ｃ．
[2-
Ｄ． (,2[2+22,+)-∞-∞
二 、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.经过直线32x y -=和23x y +=交点，且与x y 2=平行的直线方程 14.α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论
断:①m ⊥n ，② α⊥β，③
n ⊥β，④ m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题:_______________
15.若点P 在平面区域⎪⎩
⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-012020
22y y x y x 上,点Q 在曲线的那么上||,1)2(2
2PQ y x =++最小
值为_______________
16. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1， 线段11B D 上有两个动点F
E ,，且E
F =， 给出下列五个命题:
①//EF ABCD 平面 ②AC BE ⊥ ③点1A 到平面11BDD B 的距离为2
④三棱锥A BEF -的体积为定值， ⑤异面直线,AE BF 所成的角为定值 其中真命题的序号是____ ____.
三、解答题（6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （－1，5）、B （－2，－1）、C （4，3），
M 是BC 边的中点．（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长．
18．（本小题满分12分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是全等的等腰直角三角形，并且直角边为4。

（1）用斜二侧的画法画出这个几何体的直观图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）。

（2）计算这个几何体的体积与表面积。

19．（本小题满分12分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。

该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，求该企业可获得的最大利润
（本小题满分12分）
在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点。

（1）判断BD 1与平面AEC 的位置关系，并证明你的结论。

（2）若AB=BC=3，CC 1=2，
求异面直线AE 、BD 1所成的角的余弦值。

21．（本小题满分12分）如图，圆柱轴截面ABCD 是正方形， E 是底面圆周上不同于A 、B 的一点，AF ⊥DE 于F 。

（1）求证：AF ⊥BD
（2）若圆柱的体积是三棱锥D-ABE 的体积的π3倍， 求直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值。

22．（本小题满分12分） 已知点(2,0)P 及圆C ：2
2
6440x y x y +-++=. (1)若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；
(2)设过点P 的直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；
1A 正视图 侧视图 A
B
C
D E
F
(3)设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线
2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．
年级 高一 科目 数学 命题老师：唐盛彪，吴小兰 校对老师:李莉
高一数学期末试题
第II 卷 答题卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、
14、
15、 16、
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤．）
班级： 姓名： 学号：
装 订 线
17、（本小题满分10分）
海南中学2011—2012学年度第二学期期末考试
高一数学试题
参考答案
13. __21y x =-______. 14.①③④⇒②或②③④⇒①
15.
23
16.①②④
三、解答题（本大题共6小题，共70分．）
17．解：（1）由两点式得AB 所在直线方程为： 1
21
515+-+=
---x y ， 即 6x －y ＋11＝0． （2）设M 的坐标为（00,y x ），则由中点坐标公式得，
12
3
1,124200=+-==+-=
y x ， 即点M 的坐标为（1，1）
． 故||AM =
=
18．解：（1）(图下)
（2）体积为11132
4443323V Sh =
=⨯⨯⨯⨯=
表面积为21344242S =⨯
⨯⨯+=+ 19
则有：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+>>18
3213300y x y x y x
目标函数y x z 35+=
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：
当x ＝3，y ＝5时可获得最大利润为27万元，
20、解：（１）1//BD AEC 平面 连结BD 交AC 于O ，则O 为BD 中点，连结OE
∵E 为1DD 的中点 ∴1//OE BD
∵OE AEC ⊂平面, 1BD AEC ⊄平面 ∴1//BD AEC 平面
2）∵1//OE BD ∴异面直线1AE BD 、所成的角为AEO ∠
∵AB BC ==
12CC = ∴11
12
DE DD =
=
12OA AC =
= ,2AE =
112OE BD ===
2
2
2
cos 2AE OE OA AEO AE OE +-∠==
== 因此，异面直线1AE BD 、
21．（12分）（1）证明: ∵DA ABE ⊥平面 BE ABE ⊂平面 ∴DA BE ⊥ ∵AB 为底面圆的直径 ∴AE BE ⊥ ∵DA
AE A = ∴BE DAE ⊥平面
∵CF DAE ⊂平面 ∴AF BE ⊥ ∵,AF DE DE
BE E ⊥= ∴AF DBE ⊥平面
∵BD DBE ⊂平面 ∴AF BD ⊥ （２）过E 在底面上作EH AB ⊥于H ，连结DH ∵⊥平面ABCD 平面ABE ∴EH ABCD ⊥平面 于是EDH ∠为直线DE 与平面ABCD 所成的角
A
B
C
D E
F H
设圆柱的底面半径为R ，则其母线为2R
2322V R R R ππ==圆柱
21112223323
D AB
E ABE V S DA R EH R R EH -∆==＝ 由3D ABE V V π-=圆柱 即322233
R R EH
ππ=
得EH R =
即H 为底面圆心 DH
==
又EH DH ⊥ tan EH EDH DH ∠== ２２. (１２分)
解：（1）设直线l 的斜率为k （k 存在），
则方程为0(2)y k x -=-. 即02=--
k y kx
又圆C 的圆心为(3,2)-，半径3r =，
由 1， 解得34
k =-. 所以直线方程为3(2)4
y x =-
-， 即 3460x y +-=
. 当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x
=也满足条件. （
2）由于CP =
d ==， 所以d =CP =
所以P 恰为MN 的中点.
故以MN 为直径的圆Q 的方程为22
(2)4x y -+=.
（3）把直线1y ax =+．代入圆C 的方程，
消去y ，整理得 22(1)6(1)90a x a x ++-+=．
由于直线10ax y --=交圆C 于,A B 两点，
故22
36(1)36(1)0a a ∆=--+>，
即20a ->，解得0a <．
则实数a 的取值范围是(,0)-∞．
设符合条件的实数a 存在，
由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心(3, 2)C -必在2l 上．
所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-
， 所以12a =
． 由于1(, 0)2
∉-∞，故不存在实数a ，使得过点(2, 0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ．。