黑龙江省哈尔滨市道里区2023年中考三模数学试题【含答案】

黑龙江省哈尔滨市道里区2023年中考三模数学试题
一、选择题（每小题3分，共计30分） 1.2023--的结果是（ ）
A.2023
B.-2023
C.1
2023 D.1
2023-
2.下列计算中，正确的是（ ）
3=± B.2
193-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
C.()32639a a -=-
D.538a a a +=
3.下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
4.如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体组成，它的俯视图是（
）
A. B.
C. D.
5.关于x 的一元二次方程220x x k -+=无实数解，则k 的取值范围是（
）
A.1k >
B.1k <
C.1k
D.1k
6.如图，反比例函数k y x
=的图象过矩形OABC 的顶点,B OA OC ､分别在x 轴、y 轴的正半轴上，矩形OABC 的对角线OB 和AC 交于点()2,4E ，则k 的值为（ ）
A.32
B.16
C.-32
D.-16
7.如图，ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE （点B 与点D 是对应点，
点C 与点E 是对应点），连接CE ，若,42,108AD BC BAC ADE ∠∠==∥，则CED ∠的度数为（ ）
A.22
B.23
C.24
D.25
8.如图，BC 是O 的切线，切点为B ，点A 是O 上一点，连接OA OC ､和,AB OC 和AB 交于点,,22D CD CB BAO ∠==，则OCB ∠的度数为（ ）
A.42
B.43
C.44
D.45
9.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 上一点，连接BE 并延长和CD 的延长线交于点F ，1,4AE BC ==，则下列结论错误的是（ ）
A.
13AB DF = B.14
CD CF = C.34ED BC = D.12AB BC = 10.五一期间，小刚和家人乘汽车赴300km 外的亲属家串门，前一段路为高速公路，后一段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程()km y 与时间()h x 间的关系如图所示，则小刚全家从出发到亲属家所需的时间是（ ）小时（全程没有任何耽误）
A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11.将数字5200000用科学记数法表示为__________．
12.在函数57
x y x =--中，自变量x 的取值范围是__________． 13.把2416x -因式分解的结果是__________．
14.
计算__________． 15.不等式组321342x x --<⎧⎪⎨->-⎪⎩
的解集为__________． 16.二次函数29y x =-+的最大值是__________．
17.一个扇形的圆心角为100，面积为10π，则此扇形的弧长为__________．（结果保留π）
18.分别写有数字112,,0,,222
--的五张外观形状完全相同的卡片，把卡片背面朝上，从卡片中任意抽一张，那么抽到表示非负数的卡片的概率是__________．
19.在矩形ABCD 中，过点A 作BD 的垂线，垂足为点H ，矩形ABCD 的两边长分别是2和3，则cos BAH ∠的值是__________．
20.如图，平行四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接AE ，将ABE 沿AE 折叠使点B 落在点F 处，连接CF 和BF ，延长BF 交CD 于点,G AE 和BG 相交于点H ，若2,5FCG GBC AB ∠∠==
，BC =BG 的长为__________．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21.（本题7分） 先化简，再求代数式2211169
x x x x +⎛⎫+
⋅ ⎪+++⎝⎭的值，其中2cos453tan 45x =-． 22.（本题7分）
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC 的顶点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸上画出BCD ，使BCD 与BCA 关于直线BC 对称，点D 在方格纸上的顶点上；
（2）在（1）的条件下，把BAD 绕点B 顺时针旋转90得到BFE （点A 和点F 是对应点，点D 和点E
是对应点），点E 和点F 在方格纸上的顶点上，连接DF ，直接写出tan BDF ∠的值． 23.（本题8分）
为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
请根据所给的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若参加成果展示活动的学生共有2400人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少． 24.（本题8分）
已知：在菱形ABCD 中，两条对角线相交于点E ，过点D 作AC 的平行线，在此平行线上取一点F ，连
接EF 交CD 于点G ，使EF CD =，连接CF ．
（1）如图1，求证：四边形DECF 是矩形；
（2）如图2，延长FE 交AB 于点H ，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中所有平行四边形（菱形ABCD 和矩形DECF 除外）．
25.（本题10分）
盛夏来临，电风扇开始热销，某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A B ､两种型号的电风扇，销售3台A 种型号和5台B 种型号的电风扇销售收入为1800元，销售4台A 种型号和10台B 种型号的电风扇销售收入为3100元．
（1）求A B ､两种型号的电风扇的销售单价各为多少元；
（2）若超市准备再采购这两种型号的电风扇共30台，超市销售完这30台电风扇后，使这30台电风扇的利润能超过1410元，求A 种型号的电风扇最少采购多少台？
25.（本题10分）
已知AB 为O 的直径，弦CD 和AB 相交于点,E AC AD =．
（1）如图1，求证：AB CD ⊥；
（2）如图2，在BC 上有一点,F CF AC =，连接BF ，求证：2BF OE =；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AD 和BD ，在AB 上取一点G ，使,AG AD GM AD =⊥，垂足为点M ，连接GD ，在AD 上取一点H ，使2DH AH =，在CE 上取一点K ，连接HK 和BK ，若
90,2HKB DAB KBE ∠∠∠==，HK 与AB 相交于点8,5R HM =
，求BF 的长． 27.（本题10分）
已知在平面直角坐标系中，抛物线()()234y a x x =-++交x 轴于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点,C OA OC =．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D 在第四象限的抛物线上，点D 的横坐标为2，连接DO 并延长，交抛物线于点E ，连接CE 和CD ，求tan CED ∠的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC ，在AC 上有一点,G AB 的延长线上有一点F ，连接FG ，过点G 作y 轴的平行线交FC 的延长线于点M ，把FMG ∠沿MG 翻折，和过点A 垂直于x 轴的直线交于点N ，连接ME 和EG ，若,2MN FG FG FO =-=，求EGM 的面积．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1.B
2.B
3.D
4.D
5.A
6.A
7.C
8.C
9.D 10.A ，
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11.65.210⨯ 12.75x ≠- 13.()()422x x +- 14.2 15.76
x >-
16.9 17.103π 18.35 20.152
． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21.（本题7分） 解：原式212111(3)x x x x x ++⎛⎫=+⋅ ⎪+++⎝⎭ 2
311(3)x x x x ++=⋅++ 13
x =+
23132x =⨯
-⨯=，
原式
== 22.（本题7分）
tan 2BDF ∠=
23.（本题8分）
解：（1）调查学生总数为3630%120÷=（名），
答：在这次调查中，一共抽取了120名学生．
（2）选择“E 数学园地设计”的有120303036618----=（人），
补全统计图如下：
（3）302400600120
⨯=（人）， 答：若参加成果展示活动的学生共有2400人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是600人． 24.（本题8分）
（1）证明：四边形ABCD 是菱形
BD AC ∴⊥，即90DEC ∠=
DF EC ∥
180FDE CED ∠∠∴+=，即90FDE ∠=
,DE DE EF CD ==
∴Rt CED Rt FDE ≅
CE DF ∴=
∴四边形DECF 是平行四边形
90DEC ∠=
∴平行四边形DECF 是矩形
（2）平行四边形DAHG 、平行四边形CBHG 、平行四边形DAEF 、平行四边形CBEF
25.（本题10分）
（1）解：设A B ､两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元．
依题意得：3518004103100
x y x y +=⎧⎨+=⎩，
解得：250210x y =⎧⎨=⎩
， 答：A B ､两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元．
（2）设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇()30a -台．
()()()250200210170301410a a -+-->，
解得：21a >， a 为整数，a ∴的最小值取22，
答：超市最少采购A 种型号电风扇22台，才能使利润能超过1410元．
26.（本题10分）
（1）证明：如图，连接OC 和O D.
AC AD =
COE DOE ∠∠∴=
OC OD =
AB CD ∴⊥
（2）证明：如图，连接OC 和BC ，过点O 作OS BF ⊥垂足为点S ．
AC CF =
ABC CBF ∠∠∴=
即2OBF ABC ∠∠=
2AOC ABC ∠∠=
EOC SBO ∠∠∴=
90,CEO OSB OC OB ∠∠===
CEO OSB ∴≅
OE SB ∴=
22BF SB OE ∴==
（3）如图AB 是O 的直径
90ADB ∠∴=
设KBE ∠α=，则2,902,90DAB DBA ADE DBK DKB ∠α∠∠α∠∠α===-==-， DK DB ∴=
90HKB ∠=
HKD ∠α∴=
AG AD =
90,ADG AGD GDB HKD ∠∠α∠∠α∴==-==
DHK BGD ∴≅
HD BG ∴=
90KRE ARH AGD AHR ∠∠∠∠α====-
,,HR DG AH AR HD RG BG ∴===∥
AH AR HD RG
∴=， 2DH AH =
12
AH AR HD RG ∴==， 设AH AR a ==，则2,3,5,4HD RG BG a AD AG a AB a BD BR a ========
4tan 3DAB ∴∠=
， 连接GH 和RD 相交于点,P RD 与MG 相交于点N
BD BR =
45,45,45BRD BDR ADR RDG ∠∠α∠α∠∴==+=-=
,,HD RG HDG RGD DG DG ∠∠===
HDG RGD ∴≅
45,90,HGD RDG DPG HDP RGP ∠∠∠∠∠∴====
过点H 作HQ AG ⊥垂足为点Q ，
解AHG 解得1tan tan 3
AGH ADR ∠=∠=， 90,NPG NMD PNG MND ∠∠∠∠===
PGN MDN ∠∠∴=
13
tan MGH ∠∴=
85
HM =
245MG ∴= ,,90DG DG MDG EGD GMD DEG ∠∠∠∠==== GMD DEG ∴≅
245
MG DE ∴== 在Rt AED 中185
AE = 在Rt BED 中325
BE = 10AB =，
连接,5OD OD ∴= 在Rt OED 中75
OE = 145
BF = 27.（本题10分）
（1）解：如图，令0y =，则()()2340a x x -++=，解得132
x =或24x =-．
点A 在点B 的左侧
()34,0,,02A B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ OA OC =
()0,4C ∴
把C ()0,4代入()()234y a x x =-++中，解得13
a =， ∴拋物线解析式为225433
y x x =--+． （2）解：如图，过点E 作EP x ⊥轴，垂足为点P ，过点D 作DT x ⊥轴，垂足为点T ，过点C 作x 轴的平行线分别交PE 的延长线于点K ，交DT 的延长线于点S ．
点D 的横坐标为2
()2,2D ∴-
2,DT TO OD ∴===
45TOD TDO POE PEO ∠∠∠∠∴====
EP PO ∴=
设(),E t t -代入抛物线解析式为225433
y x x =--+．解得13t =-或22t =（舍去）． ()3,3E ∴-
03,0EP P E ED ∴====
1,3EK KC ==
CE ∴=
2,6CS SD ==
CD ∴=
22104050EC CD ∴+=+=
222250ED EC CD ED =∴+=，
90ECD ∠∴=
tan 2
CD CED EC ∴∠===． （3）解：如图3，延长MG 交x 轴于点H ，过点N 作NQ MH ⊥，垂足为点Q ，过点E 作EP x ⊥轴于点P ，过点F 作FR AC ⊥，垂足为点R ．
MH y ∥轴
90MHA COA ∠∠∴==
4OA OC ==
45OAC OCA ∠∠∴==
45HAG HGA ∠∠∴==
AH HG ∴=
AN AB ⊥
90NAH AHQ NQH ∠∠∠∴===
∴四边形NAHQ 为矩形
NQ AH ∴=
NQ HG ∴=
,90MN FG NQM GHF ∠∠===
NQM GHF ∴≅
NMQ GFH ∠∠∴=
NMG FMG ∠∠=
GFH FMG ∠∠∴=
45,45FGC GAF GFA GFA FCG CGM CMG CMG ∠∠∠∠∠∠∠∠=+=+=+=+， FGC FCG ∠∠∴=
FC FG ∴=
设0F x =则2FG FC x ==+
222CO OF CF +=
在Rt COF 中2224(2)x x +=+
3x =
43,5,tan 3OF FG FC CFO ∴===∠=
， 7AF ∴=
在Rt ARF 中2
AR RF ==，
RC RG ∴===
GC AG ∴==，
3AH HG ∴==
在Rt GHF 中4,1HF OH ==
在Rt MHF 中163
MH =
， 3,EP GH EP GH ==∥ ∴四边形EPHG 为矩形
90EGM ∠∴=
1672,333
EG MG ∴==-=， 1772233MEG S ∴=⨯⨯=．。