人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第三章 双曲线 双曲线的简单几何性质(2)

8.已知等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与直线 =
1
交于,两点,若
2
2 − 2 = 9

|| = 2 15,则该双曲线的方程为____________.



[解析]设点( , ),( , ),等轴双曲线的方程为 − = ( > ),与 =


对于B,双曲线的渐近线方程为 = ± = ± ,若点A,B同在双曲线右支上,则的斜
率大于 或小于− ,故B不正确；
对于C,当点A,B同在双曲线右支上,且 ⊥ 轴时,||最短,将 =
代入
−


= 可
得 = ±,此时|| = ,当点A,B在双曲线两支上时,线段最短为实轴长 = ,所
2
−
2
= 1上的两点,的中点为(1,2),求:
（1）直线的方程；
12
− = 1,
2
两式相减可得
2

22 − 2 = 1,
2
12
解设点(1 , 1 ),(2 , 2 ),则൞
(1 + 2 )(1 − 2 ) =
1
(
2 1
+ 2 )(1 − 2 ).
∵ 中点为(1,2),∴ 1 + 2 = 2,1 + 2 = 4,
1
2
∴ 2(1 − 2 ) = × 4(1 − 2 ).
易知1 ≠ 2 ,∴直线的斜率 =
2 −1
2 −1
= 1,
∴直线的方程为 − 2 = − 1,即 − + 1 = 0.
经检验，符合题意.
（2）△ 的面积（为坐标原点）.
解 直线的方程为 = +
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
)
[解析] 当“直线与双曲线有且只有一个公共点”成立时有可能是直线与双曲线的渐近
线平行,此时,“直线与双曲线相切”不成立,反之,“直线与双曲线相切”成立,一定能推出
“直线与双曲线有且只有一个公共点”,所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直
以线段的最短长度为2,故C不正确；
对于D,当点A,B同在双曲线右支上时,|| = < ,当点A,B在双曲线两支上时,
|| = < ,根据双曲线对称性可知，满足|| = 的直线有4条,故D正确.故选
.
2
13.过双曲线 −
2
2
= 1的一个焦点作直线交双曲线于,两点,若|| = 4,则这样的直



所以直线的方程为 = ( − ) = ( − ).



− = ,

设点( , ),( , ),由ቐ
得 − + = ,则
= ( − ),
+ = , = ,
两式作差得


−
= ,




( − )( + )

( − )( + )
−

=

,整理得

=
( − )( + )
−
,而
( − )( + )
−
+ = ,

代入有

=
−
−

− = .
− = ,
因为直线与双曲线C的左、右两支各有一个交点,所以方程
( − ) + − − = 有一正一负根,
> ,


−

≠ , 整理得 − > ,解得− < < .
所以
− −
−
< ,
所以的取值范围为(−, ).故选D.
,即

= ,可得 =


= .故选A.
= , + = ,
2
11.已知双曲线: 2

为 =
2
− 2

= 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为1 ,2 ,一条渐近线方程
π
2,过双曲线的右焦点2 作倾斜角为 的直线交双曲线的右支于,两点,若
3
设点( , ),( , ),由ቐ
−


= ,
得 + + = ,∴ + = − ,
= ,
∴ || =
选C.
+ ⋅ ( + ) − = + × − = × = .故
1,代入 2
2
−
2
= 1,整理得 2 − 2 − 3 = 0,不妨令1 = −1,
2 = 3,∴ 1 = 0,2 = 4,
∴ || =
(1 − 2 )2 + (1 − 2 )2 =
1
,
2
1
△ = ||
2
距离 =
∴
1
2
= ×4 2×
1
2
= 2.
(3 + 1)2 + (4 − 0)2 = 4 2.又点到直线的


−

= 可得( − ) + − − = ,
设点( , ),( , )，则 + =

−
,
−
=
− −
,
−
= ( ) − ( − )(− − ) = + ( − )( + ) = + > ,
得(
−

− = ,
= 时, =

,方程组只有一解；当

当 − ≠ 时, = + (

= −时, = − ,方程组只有一解；


− ) = , = ± ,此时方程组也只有一解.

方程组只有一解,即直线与双曲线只有一个交点.因此这样的直线有4条.故选D.
因为△ 的周长为36,所以| | + | | + || = ,
所以 + = ,得 =
,所以双曲线的方程为

−

= .故选C.
2
12.（多选题）已知双曲线: −
2
3
= 1,过其右焦点的直线与双曲线交于,两点,
则下列说法正确的有() AD
5.已知曲线 2 − 4 2 = 4,过点(3,1)且被点平分的弦所在的直线方程为() A
A.3 − 4 − 5 = 0B.3 + 4 − 5 = 0C.4 − 3 − 5 = 0D.4 + 3 − 5 = 0
− = ,
[解析]设点( , ),( , ),易知 ≠ ,故൝
− = ,
两式作差得( − )( + ) = (
−
−
=
+
.
( + )
又因为 + = , + = ,
所以 =
−
−

,故直线和双曲线只有一个交点.




又双曲线 − = 的渐近线方程为 = ± ,



所以 = −
=



+ 与双曲线的一条渐近线平行
且与双曲线只有一个交点,所以直线和双曲线的位置关系为相交.故选B.
2.“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的( C
A.充要条件
3
线有___条.

[解析]双曲线 −



= 的右焦点为( , ),设直线过双曲线 −



当直线的斜率不存在时,直线的方程为 = ,代入双曲线方程
= 的右焦点，

−

= 可得
= ±,即|| = ,满足条件；
当直线的斜率存在时,设直线的方程为 − = ( − ),代入双曲线方程


联立,得 − = ,
∴ + = , =

− ,

∴ || =
=


+

×




+ ( ) ⋅ ( + ) −

= ,
∴ = ，故双曲线的方程为 − = .



9.设,为双曲线 2
第三章
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质(2)
A级 必备知识基础练
1.直线 =
3

2
A.相切
+
2
2与双曲线
4
2
−
9
= 1的位置关系是() B
B.相交

= + ,

[解析]由൞
得

− = ,


C.相离
D.无法确定

−
(+)

= ,整理得 = −,
2
7.[2024北京,13]已知双曲线
4
1
− 2 = 1,则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的
±
斜率为____.
2

[解析]由



− = ,得双曲线的渐近线方程为 = ± . ∵直线过点(, )，且与双


曲线只有一个交点，∴直线与双曲线的渐近线平行，∴直线的斜率为± .
所以|| = + ⋅ ( + ) − = − = .
因为| | = | | + ,| | = | | + ,所以
| | + | | = | | + | | + = || + = .
=
+
( + )


= .


故弦所在的直线方程为 − = ( − ),即 − − = .
− − = ,
− + = , = − = > ,故满足
联立൝
得
− = ,
△ 1 的周长为36,则双曲线的标准方程为() C
2
A.
2
−
2
4
=
2
1B.
4
−
2
2
=
1C. 2
−
2
2
=
2
1D.
2
− 2 = 1

[解析]因为双曲线:


− = ( > , > )的一条渐近线方程为 = ,所以



= ,则双曲线方程为 − = ( > ), (− , ), ( , ),
A.若点在双曲线右支上,则线段的最短长度为1
B.若点,同在双曲线右支上,则的斜率大于 3
C.线段的最短长度为6
D.满足|| = 8的直线有4条
[解析]由双曲线:

−

= 可得 = , = ,所以 =
+ = .
对于A,若点A在双曲线右支上,则线段的最短长度为 − = − = ,故A正确；

= ( > , > )的一条渐近线方程是 = ,∴


= ,
即 = .
∵左焦点(− , ),∴ = .
∴

=

+

=

= ,∴

=
,
=
. ∴双曲线方程为

−

= ,直线的方程
为 = ( + ).
= ( + ),
线与双曲线相切”的必要不充分条件.故选C.
3.如果直线 = − 1与双曲线 2 − 2 = 4只有一个交点,则符合条件的直线有() D
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
= − ,
) + − = ,若 − = ,即 = ±,当
[解析]由൝
B级 关键能力提升练
2
10.已知斜率为1的直线与双曲线: 2

2
− 2

= 1( > 0, > 0)相交于,两点,且的
中点为(1,3),则的离心率为() A
A.2B.
5
6
C.3D.
2
2


− = ,

[解析]设点( , ),( , ),൞
条件.故选A.
2
6.已知双曲线: 2

2
− 2

= 1( > 0, > 0)的一条渐近线方程是 = 2,过其左焦点
(− 3, 0)作斜率为2的直线交双曲线于,两点,则截得的弦长||为() C
A.2 5B.4 5C.10D.10 2

[解析]∵双曲线:


−
4.直线: = ( − 2)与双曲线: 2 − 2 = 2的左、右两支各有一个交点,则实数的
取值范围为() D
A.(−∞, −1] ∪ [1, +∞)B.[−1,1]
C.(− 2, 2)D.(−1,1)
= ( − ),



[解析]由൝
得(
−

)
+