高中数学第一章立体几何初步1.7.3球的表面积和体积课时作业北师大版必修2(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步1.7.3 球的表面积和体积课时作业北师大版必修2
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1.7.3 球的表面积和体积
［学业水
平训练]
错误!半径为r的球的表面积为16π，则r＝（）
A．2 B.错误!
C．4 D.错误!
解析：选A.由4πr2＝16π，得r2＝4，∴r＝2.
错误!用一平面去截体积为4错误!π的球，所得截面的面积为π,则球心到截面的距离为( ）
A．2 B.错误!
C。

错误!D．1
解析：选C.由已知得球的半径为R＝错误!，又πr2＝π，∴r＝1，∴d＝错误!＝错误!.
错误!平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为错误!，则此球的体积为（）
A.错误!πB．4错误!π
C．4错误!πD．6错误!π
解析：选B。

设球的半径为R,由球的截面性质得R＝错误!＝错误!，所以球的体积V＝错误!πR3＝4错误!π.
4。

一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2 cm,则球的表面积是（)
A．8π cm2B．12π cm2
C．16π cm2D．20π cm2
解析：选B。

设球的半径为R,正方体的体对角线为l,
则R＝错误!＝错误!＝错误!，
所以S球＝4πR2＝12π cm2.
错误!如图是一个几何体的三视图,根据图中数据，可得该几何体的表面积是（)
A．9πB．10π
C．11πD．12π
解析：选D.由三视图可知该几何体上面是个球,下面是个圆柱，由已知数据得表面积S＝S 球
＋S圆柱＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π.
错误!圆半径扩大n倍,其面积扩大________倍；球半径扩大n倍，其表面积扩大________倍，体积扩大________倍．
解析：由圆的面积公式S＝πr2，
球的表面积公式S＝4πR2，
球的体积公式V＝4
3
πR3，
可知,圆半径扩大n倍，其面积扩大n2倍，球的半径扩大n倍，其表面积扩大n2倍,体积扩大n3倍．
答案：n2n2n3
错误!一个圆柱的底面直径和高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、球的体积之比为________．
解析：设球的半径为R，
则由已知得
V
圆柱
＝πR2·2R＝2πR3，
V
球
＝错误!πR3，
所以，V圆柱∶V球
＝2πR3∶错误!πR3
＝3∶2.
答案：3∶2
错误!已知一个表面积为24的正方体,设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．
解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝24,解得a＝2.又球与正方体的每条棱都相切,则正方体的面对角线长2 2 等于球的直径，则球的半径是错误!，则此球的体积为错误!π（错误!)3＝错误!π.
答案：错误!π
错误!过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2,试求此球的表面积和体积．
解：
如图，设截面圆的圆心为O1，
则OO1⊥O1A，O1A为截面圆的半径,OA为球的半径．
∵48π＝π·O1A2，∴O1A2＝48。

在Rt△AO1O中,
OA2＝O
1O2＋O
1
A2，
即R2＝错误!错误!＋48，∴R＝8 cm，
∴S球＝4πR2＝4π×64＝256π cm2，
∴V球＝错误!πR3＝错误!π cm3。

10.一个长、宽、高分别是80 cm、60 cm、55 cm的水槽中有水200 000 cm3，现放入一个直径为50 cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出(π取3.14)?
解:V球＝错误!πR3＝错误!×3。

14×253≈65 417(cm3）,
水中球的体积为V1＝V球×错误!≈43 611(cm3)，
V
长方体
＝80×60×55＝264 000（cm3），
∴V长方体－200 000＝264 000－200 000
＝64 000〉43 611。

故水槽中的水不会流出．
[高考水平训练]
错误!如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC
分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P，则三棱锥P.DCE的外接球的体积为( ）
A。

错误!B。

错误!
C。

错误! D.错误!
解析：选C。

折起后的几何体是一个棱长为1的正四面体P.CDE，我们容易求得该正四面体外接球半径为错误!，
∴外接球的体积V＝错误!π错误!错误!＝错误!.
2。

若一个底面边长为错误!，侧棱长为错误!的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,则此球的体积为________．
解析：
如图,OO1＝错误!，AO1＝错误!,
∴AO＝错误!＝错误!，
即R＝错误!。

∴V＝错误!π错误!错误!＝错误!π.
答案：错误!π
错误!如图，某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.
(1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0。

1)?
（2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克？
解：(1）因为半球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm，
所以两个半球的体积之和为V球＝错误!πR3＝错误!π·27＝36π(cm3)．
又圆柱筒的体积为V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π（cm3)．
所以这种“浮球”的体积是:V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm3)．
（2）根据题意，上、下两个半球的表面积是S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π(cm2)．
又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π(cm2),
所以1个“浮球”的表面积为S＝错误!＝错误!(m2）．
因此,2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S＝2 500×错误!＝12π（m2）．
因为每平方米需要涂胶100克,
所以共需要胶100×12π＝1 200π（克）．
4．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱）的表面积分别是S1，S2，
S
3
试比较它们的大小．
解:设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2,S2＝4πR2，
S
3
＝6πr2.
由题意知,错误!πR3＝a3＝πr2·2r，
所以R＝3，
3
4π
a，r＝错误!a,
所以S2＝4π错误!错误!＝4π·错误!a2＝错误!a2，S
3
＝6π错误!错误!＝6π·错误!a2＝错误!a2，
所以S2〈S3.
又6a2〉3错误!a2＝错误!a2，
即S1>S3.
所以S1，S2，S3的大小关系是S2<S3〈S1。