人教A版高中数学必修五高一(下)期末试卷 (4).doc

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
2012-2013学年四川省资阳市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）直线l：x﹣2y﹣1=0在y轴上的截距是（）
A．1B．﹣1 C．D．
考点：直线的截距式方程．
专题：计算题．
分析：对于直线l，令x=0求出y的值，即可确定出直线l在y轴上的截距．
解答：解：对于直线l：x﹣2y﹣1=0，
令x=0，得到y=﹣，
则直线l在y轴上的截距是﹣．
故选D
点评：此题考查了直线的截距式方程，令x=0求出y的值即为直线在y轴上的截距．
2．（5分）一个几何体的正视图为三角形，侧视图是四边形，则这个几何体可能是（）
A．三棱锥B．圆锥C．三棱柱D．圆柱
考点：简单空间图形的三视图．
专题：作图题；探究型．
分析：直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可．
解答：解：A 三棱锥的侧视图仍为三角形，不可能是四边形
B 圆锥的侧视图是等腰三角形，不可能是四边形
C 平放的三棱柱的正视图为三角形，侧视图是四边形，符合要求．
D 圆柱的正视图为矩形．
故选C
马鸣风萧萧
点评：本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．
3．（5分）已知点B（1，﹣2），C（2，0），且2=（5，﹣1），则（）
A．（4，﹣3）B．（6，1）C．（﹣1，﹣2）D．（3，5）
考点：平面向量的坐标运算．
专题：平面向量及应用．
分析：利用向量的运算法则即可得出．
解答：
解：∵2=（5，﹣1），∴，
∵，∴=（6，1）．
故选B．
点评：熟练掌握向量的运算法则是解题的关键．
4．（5分）已知等比数列{a n}，则下列一定是等比数列的是（）
A．{a n+a n+1} B．{} C．{a n+2} D．{|a n|}
考点：等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
利用等比数列的定义可得为常数，因此也为常数，即可得出．
解答：
解：∵为常数，∴也为常数，
∴数列{|a n|}一定是等比数列．
故选D．
点评：熟练掌握等比数列的定义是解题的关键．
5．（5分）集合A={直线的倾斜角}，集合B={三角形的内角}，集合C={向量的夹角}，则（）
A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆C C．A⊆C⊆B D．B⊆C⊆A
考点：集合的包含关系判断及应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：分别确定直线的倾斜角、三角形的内角、向量的夹角的范围，即可得到结论．
解答：解：∵直线的倾斜角的范围为[0，π），三角形的内角的范围为（0，π），向量的夹角的范围为[0，π]，∴B⊆A⊆C
故选B．
点评：本题考查集合的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
6．（5分）已知直线l1：y=k1x+b1与l2：y=k2x+b2如图所示，则有（）
A．B．C．D．
考点：直线的截距式方程．
专题：计算题．
分析：根据图象得到直线l1的倾斜角小于与直线l2的倾斜角，根据正切函数图象得出两斜率的大小，根据两直线与y轴的交点位置即可确定出截距的大小．
解答：
解：根据图象得：．
故选D
点评：此题考查了直线的截距式方程，以及直线斜率与倾斜角的关系，熟练掌握直线斜率与倾斜角的关系是解本题的关键．
7．（5分）（2011•青岛一模）若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）
A．
＞B．
+≤1
C．≤2 D．≤
考点：基本不等式．
专题：计算题．
分析：
由题设知ab≤，所以，，，
==≤，由此能够排除选项A、B、C，从而得到正确选项．解答：解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4，
∴ab≤，
∴，故A不成立；
，故B不成立；
，故C不成立；
∵ab≤4，a+b=4，∴16﹣2ab≥8，
∴==≤，故D成立．
故选D．
点评：本题考查不等式的基本性质，解题时要注意均值不等式的合理运用．
马鸣风萧萧
8．（5分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定
考点：点与圆的位置关系．
专题：计算题．
分析： ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点说明圆心到直线的距离小于圆的半径，得到关于a，b的不等式，判断结论是否成立．
解答：解：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，
则＜1，∴a2+b2＞1，
点P（a，b）在圆C外部，
故选C．
点评：本题考查直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系．
9．（5分）二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象如图所示，给出以下四个结论，正确的是（）
①
②c＞0
③
④．
A．②③B．②④C．①④D．①②③
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：由二次函数的图象可知抛物线开口向下，对称轴大于0，二次函数在y轴上的交点在y轴的上方，利用这些条件进行判断．
解答：
解：由抛物线的图象可知，a＜0，对称轴，即，所以①错误．
抛物线在y轴上的交点在y轴的上方，所以f（0）=c＞0，所以②正确．
M点在x轴的左侧，所以M的横坐标为小根，所以M（）．所以③错误．因为M，N是抛物线与x轴的两个交点，所以M（），
，
所以|MN|=，所以④正确．
故选B．
点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质，研究二次函数的图象和性质，主要从抛物线的开口方向，对称轴，与y轴的交点，以及抛物线与x轴的交点，从这几个方向去研究二次函数．
10．（5分）若钝角三角形ABC的三边a，b，c成等比数列，且最大边长与最小边长的比为m，则m的取值范围是（）
A．m＞2 B．C．D．
考点：余弦定理；等比数列的通项公式；等差数列的性质．
专题：解三角形．
分析：
由题意可得b2=ac，设a为最小边，c为最大边，则m=＞1．再由cosC=＜0，可得a2+ac
﹣c2＜0，即1+﹣＜0．由此解得m=的范围．
解答：解：由钝角三角形ABC的三边a，b，c成等比数列，可得b2=ac，设a为最小边，c为最大边，则m=＞1．
再由cosC==＜0，可得a2+ac﹣c2＜0，∴1+﹣＜0．
解得＞，或c＜（舍去），故有m=＞，
故选B．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，余弦定理的应用，一元二次不等式的解法，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案直接填在题中横线上.
11．（5分）已知数列{a n}中，a5=14，a n+1﹣a n=n+1，则a1=0．
考点：数列递推式．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：直接利用递推公式，令n=5，求出a4，再令n=4，求出a3，依次进行求出a1即可．
解答：解：由a n+1﹣a n=n+1得a n=a n+1﹣（n+1），
所以a4=a5﹣5=14﹣5=9
a3=a4﹣4=9﹣4=5
a2=a3﹣3=2
a1=a2﹣2=0
故答案为：0
点评：本题是数列递推公式的简单直接应用．属于基础题．
马鸣风萧萧
12．（5分）如图，正方体AOCD﹣A'B'C'D'的棱长为2，则图中的点M坐标为（1，﹣2，1）．
考点：空间中的点的坐标．
专题：空间位置关系与距离．
分析：写出点D，C′的坐标，再利用中点坐标公式即可得出中点M的坐标．
解答：解：∵D（2，﹣2，0），C′（0，﹣2，2），∴线段DC′的中点M（1，﹣2，1）．
故答案为（1，﹣2，1）．
点评：熟练掌握中点坐标公式是解题的关键．
13．（5分）已知点A（0，2），B（3，﹣2），那么与共线的一个单位向量．
考点：平行向量与共线向量；单位向量．
专题：平面向量及应用．
分析：
由条件和向量的坐标运算求出的坐标，再求的模，再求出与共线的一个单位向量的坐标．
解答：
解：由题意得，=（3，﹣2）﹣（0，2）=（3，﹣4），
则||==5，
∴与共线的一个单位向量是±==，
故答案为：．
点评：本题主要考查了已知向量的单位向量的求出，以及向量的坐标运算，注意单位向量与已知向量的符
号，属于基础题．
14．（5分）向量=（m，1），=（1﹣n，1）满足∥，其中m＞0，则的最小值是3+2．
考点：平行向量与共线向量；基本不等式．
专题：平面向量及应用．
分析：
由∥，得到m+n=1，整理=（）（m+n）=3+≥3+2，由此能求出其最小值．
解答：
解：由于向量=（m，1），=（1﹣n，1）满足∥，故m﹣（1﹣n）=0
即正数m，n满足m+n=1，
则=（）（m+n）=3+≥3+=3+2．
当且仅当时，取最小值3+2．
故答案为：3+2．
点评：本题考查共线向量的坐标表示及基本不等式的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用．
15．（5分）设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：
（1）M中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点P不在M中的任一条直线上；
（3）对于任意正整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
（4）M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是（2），（3）．
考点：过两条直线交点的直线系方程．
专题：计算题．
分析：先弄清直线系M中直线的特征，直线系M表示圆x2+（y﹣2）2=1 的切线的集合，再判断各个结论的正确性．
解答：
解：由直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），可令，
消去θ可得x2+（y﹣2）2=1，故直线系M表示圆x2+（y﹣2）2=1 的切线的集合，
故（1）不正确．
因为对任意θ，存在定点（0，2）不在直线系M中的任意一条上，故（2）正确．
由于圆x2+（y﹣2）2=1 的外且正n 边形，所有的边都在直线系M中，故（3）正确．
M中的直线所能围成的正三角形的边长不一等，故它们的面积不一定相等，
如图中等边三角形ABC和ADE面积不相等，
故（4）不正确．
综上，正确的命题是（2）、（3），故答案为（2）、（3）．
点评：本题考查直线系方程的应用，要明确直线系M中直线的性质，依据直线系M表示圆x2+（y﹣2）2=1 的切线的集合，结合图形，判断各个命题的正确性．
三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（12分）已知点A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），求经过A，B两点的直线方程与△ABC的面积．
考点：直线的一般式方程；三角形的面积公式．
专题：直线与圆．
分析：用两点式求得直线AB方程，再利用点到直线AB的距离求得点C（﹣1，0）到直线AB的距离h，再求得AB的长度，即可求得△ABC的面积．
解答：
解：∵点A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），故直线AB方程：，即x+y﹣4=0．…（4分）
马鸣风萧萧
点C（﹣1，0）到直线AB的距离，…（7分）
又，…（10分）∴．…（12分）点评：本题主要考查用两点式求直线的方程，点到直线AB的距公式的应用，属于基础题．
17．（12分）已知，且向量的夹角是60°
（Ⅰ）求，
（Ⅱ）k为何值时，与互相垂直．
考点：数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：平面向量及应用．
分析：
（Ⅰ）由题意和向量的数量积运算求出的值，将展开后代入求值，再开方即得；
（Ⅱ）根据向量垂直的充要条件，列出方程由条件求出k的值．
解答：
解：（Ⅰ）由题意得，，
则，
∴，
（Ⅱ）由得，
即9﹣16k2=0，解得．
点评：本题考查了利用向量的数量积运算求向量的模，以及向量垂直的充要条件应用，难度不大，注意向量的模与向量的数量积运算的相互转化问题．
18．（12分）公差不为零的等差数列{a n}中，已知其前n项和为S n，若S8=S5+45，且a4，a7，a12成等比数列
（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n
（Ⅱ）当b n=时，求数列{b n}的前n和T n．
考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）由等差数列的性质和S8=S5+45得a7=15，再由通项公式代入另一个条件列出方程组，求出首项和公差，代入通项公式化简即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的前n项和公式求出S n，再代入b n=化简后再裂项，代入数列{b n}的前n和T n化简．
解答：解：（Ⅰ）由S8=S5+45得，S8﹣S5=45，
∴a6+a7+a8=45，即3a7=45，得a7=15，
又∵，设公差为d≠0，
∴
解得，
∴a n=2n+1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∴，
∴．
点评：本题考查了等差和等比数列的性质，通项公式和前n项和公式的应用，以及裂项相消法求数列的前n项和．
19．（13分）某电脑生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按40个工作时计算）生产联想、方正、海尔三种电脑共120台，且海尔至少生产20台．已知生产这些电脑产品每台所需工时和每台产值如下表：
电脑名称联想方正海尔
工时
产值（千元） 4 3 2
（Ⅰ）若生产联想与方正分别是x台、y台，试写出x、y满足的条件，并在给出的直角坐标系中画出相应的平面区域．
（Ⅱ）每周生产联想、方正、海尔各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少？
马鸣风萧萧
考点：简单线性规划的应用．
专题：数形结合．
分析：（Ⅰ）根据条件建立约束条件，并作出可行域．（Ⅱ）利用目标函数求出最优解．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：生产海尔120﹣x﹣y台…（1分）
即…（5分）
相应的平面区域如图所示…（8分）
（Ⅱ）产值z=4x+3y+2（120﹣x﹣y）=2x+y+240（9分）
由可行域知
解得点M（10，90）…（11分）
所以生产联想10台，方正90台，海尔20台时，产值最高
最高产值为z=2×10+90+240=350（12分）
点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值．
20．（12分）在△ABC中，已知sinB=cosAsinC．
（Ⅰ）判定△ABC的形状；
（Ⅱ）若=9，△ABC的面积等于6，求△ABC中∠ACB的平分线长．
考点：三角形的形状判断；平面向量数量积的运算；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：
（Ⅰ）在△ABC中，由已知sinB=cosAsinC，可得，即b2+a2=c2，可得
△ABC是直角三角形．
（Ⅱ）由以及，求得b的值．再由△ABC的面积等于6求得a=4，可得c=5，．设∠ACB的平分线CM交AB边于M，在△AMC中，
由正弦定理得，由此求得CM的值．
解答：
解：（Ⅰ）∵在△ABC中，已知sinB=cosAsinC，可得，（4分）
即b2+a2=c2，故△ABC是直角三角形．…（5分）
（Ⅱ）由，得bc•cosA=9，又，∴b=3．（7分）
∵△ABC的面积等于6，即，∴a=4（9分），可得c=5，∴．
设∠ACB的平分线CM交AB边于M，
在△AMC中，由正弦定理得，（10分）∴．（13分）
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．
21．（14分）已知圆C经过点P1（1，0），P2（1，2），P3（2，1），斜率为k且经过原点的直线l与圆C交于M、N两点．点G为弦MN的中点．
（Ⅰ）求圆C的方程
（Ⅱ）当取得最大值时，求直线l的方程．
考点：圆的一般方程；平面向量数量积的运算．
专题：计算题；综合题；直线与圆．
分析：（I）设椭圆的一般式方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0，将P1、P2、P3的坐标代入解出D=﹣2，E=﹣2且F=1，即可得到圆C的一般式方程，再化成标准形式即可；
（II）设直线l方程为y=kx，与圆C消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系化简算出点G（，），结合算出，再用基本不等式求最
值即可得到当k=1时，取得最大值，此时直线l的方程为y=x．
解答：解：（Ⅰ）设圆C的方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）（1分）
则，解得
∴圆C的方程x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化成标准形式得（x﹣1）2+（y﹣1）2=（15分）
（Ⅱ）设直线l：y=kx，M（x1，y1），N（x2，y2），G（x0，y0）
由，消y得（1+k2）x2﹣2（k+1）x+1=0（7分）
由题意得△=4（1+k）2﹣4（1+k2）＞0，解出k＞0（8分）
，即
马鸣风萧萧
∴点
又∵（9分）
∴
∵≤，∴≤2（13分）
因此，可得当即k=1时，取得最大值是2（13分）
此时直线l的方程为y=x（14分）
点评：本题给出经过三个点的圆，求圆的标准方程并研究向量数量积的最值问题，着重考查了向量数量积的坐标运算、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．。