离散数学PPT电子教案-第07章特殊关系 精品 推荐

例7.2.5
设A={0,1,2,4,5,8,9}, R是A上的以4为模的同余关系。 (1) 写出R的所有元素； (2) 求分别与元素1,2,4有关系R的所有元素所作成 的集合。
解: (1) R={<0,0>,<0,4>,<0,8>,<1,1>,<1,5>,<1,9>,<2,2>,
<4,0>,<4,4>,<4,8>,<5,1>,<5,5>,<5,9>,<8,0>,
（4）R具有自反性意味着对x∈A，[x]R≠；
（5）R具有对称性意味着对任意x, y∈A,
若有y∈[x]R, 则一定有x∈[y]R。
定理7.2.1
(3) ① 对x∈A，有(x-x)被12所整除，所以<x,x>∈R, 即 R是自反的。 ② 对x,y∈A, 若<x,y>∈R, 有(x-y)被12整除, 则 (y-x) ＝-(x-y)被12整除, 所以 <y,x>∈R, 即R是对称的。 ③ 对x,y,z∈A, 若<x,y>∈R且<y,z>∈R, 有(x-y)被12
7.2.3 等价类与商集
定义7.2.3 设R是非空集合A上的等价关系，对任意 x∈A，称集合
[x]R＝{y|y∈A∧<x,y>∈R}
为x关于R的等价类，或叫作由x生成的一个R等价类， 其中x称为[x]R的生成元 (或叫代表元) 。
由定义7.2.3可以看出：
（1）等价类产生的前提: A上的关系R是等价关系； （2）A中所有与x有关系R的元素y构成了[x]R； （3）A中每个元素都对应一个由它生成的等价类；
7.2 等价关系
定义7.2.1设R是定义在非空集合A上的关系，如 果R是自反的、对称的、传递的，则称R为A上的 等价关系。
由定义7.2.1知： （1）关系R是等价关系当且仅当R同时具备自 反性、对称性和传递性； （2）关系R不是等价关系当且仅当R不具备自 反性或对称性或传递性。
例7.2.1 判定下列关系是否是等价关系?
1. 幂集上定义的“”关系； 不具有对称性 2. 整数集上定义的“<”关系；不具有对称性, 自反性 3. 全体中国人所组成的集合上定义的“同性别”关
系。
是等价关系
练习: P217 4 令A={1,2,3}, 判断A上的关系(如图7.5.1
所示)是否是等价关系.
图7.5.1
例7.2.2
在时钟集合A＝{1,…,24}上定义整除关系： R＝{<x,y>|{(x,yA)∧((x-y)被12整除)}。 （1）写出R中的所有元素； （2）画出R的关系图； （3）证明R是一个等价关系。
3 拟序、全序和
良序关系的相
关性质。
判定下列关系具有哪些性质
1、在全体中国人所组成的集合上定义的“同姓”关系; 2、对任何非空集合A, A上的全关系; 3、三角形的“相似关系”、“全等关系”; 4、直线的“平行关系” ; 等价 关系 5、“朋友”关系；
解：1, 2, 3具有自反性，对称性和传递性； 4 具有反自反, 对称和传递性，不具有自反性； 5 具有自反和对称性，不具有传递性。
{7,19}, {8,20}, {9,21}, {10,22}, {11,23}, {12,24}。 这12个A的子集具有如下特点： 1、在同一个子集中的元素之间都有关系R； 2、不同子集的元素之间无关系R。
以n为模的同余关系
记xRy为 x＝y(mod n), 则 R 是Z上的等价关系。 如用resn(x)表示x除以n的余数，则 x＝y(mod n) resn(x)＝resn(y)。 此时，R将Z分成了如下n个子集： {…, -3n, -2n, -n, 0, n, 2n, 3n,…} {…, -3n+1, -2n+1, -n+1, 1, n+1, 2n+1, 3n+1,…} {…, -3n+2, -2n+2, -n+2, 2, n+2, 2n+2, 3n+2,…} …… … … … … … … … … … … … {…, -2n-1, -n-1, -1, n-1, 2n-1, 3n-1, 4n-1,…}
例7.2.2 解
(1) R={<1,1>, …, <24,24>, <1,13>, <13,1>, <2,14>, <14,2>, …,<11,23>, <23,11>, <12,24>, <24,12>}}
(2) 关系图为：
1
2 3 …… 13 12
14
15 图7.2.1
24
例7.2.2 解 (续)
<8,4>,<8,8>,<9,1>,<9,5>,<9,9>}. 显然，R是A的一个等价关系。
例7.2.5 解
(2) 与元素1有关系R的所有元素所作成的集合{1,5,9}; 与元素2有关系R的所有元素所作成的集合{2}; 与元素4有关系R的所有元素所作成的集合{0,4,8}.
集合{1,5,9}称为元素1关于等价关系R的 等价类，记为[1]R，即[1]R ={1,5,9}; 同理: [2]R= {2}, [4]R = {0,4,8}.
离散数学
2018年3月2日星期五
第三篇 二元关系
第7章 特殊关系
7.0 内容提要
1 2
集合的概念 等价关系集合的表示方法 拟序关系 来自序关系 全序关系良序关系
3
4 5
7.1 本章学习要求
重点掌握 1
1. 等价和偏序 关系的定义和 证明 2 等价类和商 集的计算 3 特殊元
一般掌握
了解
2
拟序、全序和 良序关系的定 义以及它们之 间的联系
所整除且(y-z)被12所整除, 所以(x-z)＝(x-y)＋(y-z)被12
所整除, 所以, <x,z>∈R, 即R是传递的. 由①②③知, R是等价关系。
从例7.2.2可以看出
关系R将集合A分成了如下的12个子集：
{1, 13}, {2,14}, {3,15}, {4,16}, {5,17}, {6, 18},
7.2.2 集合的划分
定义7.2.2给定非空集合A，设有集合 S={S1,S2,S3...Sm}. 如果满足 SiA 且 Si≠, i＝1,2,...,m; Si∩Sj＝，i≠j, i,j＝1,2,...,m;

m i 1
Si A
则集合S称作集合A的一个划分，
而S1,S2,...Sm叫做这个划分的块或类。