蚌埠二中2014年省理科实验班招生加试数学试题(附答案)

蚌埠二中 2014 年省理科实验班招生加试
数 学 试 题
（本卷满分 150 分 答题时间 120 分钟）
题 号
一
二
三
总 分
12
13
14
15
11
得 分
参考公式：
(a b) 3 a 3 3a 2 b 3ab 2
b 3 ( a b) 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3
a 3
b 3 (a b)(a 2 ab b
2
) a 3
b 3 ( a b)(a 2 ab b 2 )
阅卷人
得 分
一、选择题（本题共 4 小题，每小题 7 分，满分 28 分。

每小题均给
出了代号 A 、 B 、 C 、 D 的四个结论，其中只有一个是正确的，请将
正确答案的代号填在题后的括号内）
1、如图，梯形 ABCD 的对角线交于 O ，过 O 作两底的平行线分别交两腰于
M 、N ，若
AB ＝ 4， CD ＝ 1，则 MN 的长为（ ） D C
M N
A 、 1.2
B 、 1.4
O
C 、 1.6
D 、 1.8
A
B
第1题图
2、方程 2x
x
2
2
的正根个数为（
）
x
A 、 0
B 、 1
C 、 2
D 、 3
3、若 a 、b 和 c 是三个两两不同的奇质数， 且方程 (b
c) x 2
5(a 1) x 225 0 有两
个相等的实根，则 a 的最小值是（
）
A 、 41
B 、 47
C 、53
D 、59
、已知 y x 3 ax 2 bx c ，当 x 5 时， y 50 ； x 6 时， y 60 ； x 7 时， y 70 。

4
则当 x 4 时， y 的值为（ ）
A 、 30
B 、 34
C 、40
D 、44
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阅卷人
得 分
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 7 分，满分 42 分）
5、若 0＜ a ＜1，化简 （ a
1 2
（ a
1
2
得。

a ） 4
a ） 4
6、已知 (2 x 1) 9 a 0 a 1 x a 2 x 2 a 9 x 9 ，
则 (a 0 a 2
a 4 a 6 a 8 ) 2 (a 1 a 3 a 5
a 7
a 9 ) 2 的值为。

7、向一个三角形内加入 2005 个点，加上原三角形的三个点共计
2008 个点。

用剪刀最
多可以剪出
个以这
2008 个点为顶点的三角形。

8、若 2 x 1
2 x 1 ＞ a 对任意实数 x 恒成立，则 a 的取值范围是。

9、如图， C 为半圆⊙ O 上一点， AB 为直径， 且 AB ＝ 2a ，∠ COA ＝ 60°。

延长 AB 到 P ， 使BP ＝1
AB ，连 CP 交半圆于 D ，过 P 作 AP 的垂线交 AD 的延长线于 H ，则 PH 的长度
2
为。

C
D
H
A
O
B
P
第 9题图
10 、 已 知 ： a ＜ 0 ， b ＞ 0 ， 且 2a
2
a 2
1 1 ， 则 代 数 式 a 3b b 1
的 值
b
b b b
为 。

三、解答题（本题共 5 小题，满分 80 分）
阅卷人
得 分
11、（本题满分 10 分）
有三个含 30°角的直角三角形，它们的大小互不相同，但均有一条长为 a 的边。

这三个三角形按照从大到小的顺序，求其面积比。

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阅卷人得分12、（本题满分15 分）
某厂现有甲种原料360kg，乙种原料 290kg，计划用这两种原料生产
A、B 两种产品共50 件。

已知生产一件 A 种产品，需用甲种原料 9kg，乙种原料 3kg，可获利润700 元；生产一件 B 种产品，需甲种原料 4kg，乙种原料 10kg，可获利润 1200 元。

（ 1）按要求安排 A 、 B 两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来；
（ 2）设生产 A、 B 两种产品总利润是 y 元，其中一种产品的生产件数是 x。

试写出 y 与 x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（ 1）中的哪种生产方案获总利润最大？最大利
润是多少？
阅卷人得分13、（本题满分 15 分）
试写出所有 3 个连续正整数立方和的最大公约数，并证明。

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阅卷人得分14、（本题满分 20 分）
如图 1，在△ ABC 中，AB 边上高 CE 与 AC 边上高 BD 相交于 H 点。

若 BC＝ 25， BD ＝ 20，BE ＝ 7。

C
（ 1）求 DE 的长；
D
H
A B
E
第 14题图 1 （ 2）如图 2，若以 DE 为直径作圆，分别与AC、 AB 交于 G、 F ，连 AH ，
C 求证： AH ⊥ GF。

D
G
H
A B
F E
第 14题图 2
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阅卷人
得 分
15、（本题满分 20 分）
已知二次函数 y ax
2
bx c ，对任意实数 x 都有
x ≤ ax 2
c ≤
x
1 2
bx 成立。

2
（ 1）当 x 1 时，求 y 的值；
（ 2）若当 x
1 时， y 0 ，求 a 、 b 、 c 的值。

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蚌埠二中 2005 年省理科实验班招生加试
数学试题答案
一、选择题
1、C
2、 A
3、 D
4、 B
二、填空题
5、 2 a
6、－ 39
7、 4011
8、 a ＜ 2
9、
3 a 10、 7
a
3
8
三、解答题（如有其它正确解法，请参照给分）
11、如图， Rt △ABC 、 Rt △ABD 、 Rt △ABE 中，有一条相等的边 AB ，
∠ BAC ＝ ∠BAD ＝∠E ＝ 30°。

设
E
AB a 2 3a
AB ＝a ， AD ＝
3 3
cos30
2
BE ＝2a
C
∴ 其斜边按从大到小的比是 2：
2 3
： 1 （5分）
A
B
∵ 三角形相似
3
11 题图
D
∴ 面积比 12： 4： 3
（10 分）
12、（ 1）设安排生产 A 种产品 x 件，则生产 B 种产品为（ 50－ x ）件，根据题意，得
9 x 4(50 x ) 360 （5 分）
3 x 10(50 x )
290
解得 30≤ x ≤32。

因为 x 是自然数，所以 x 只能取 30， 31，32。

所以按要求可设计出三种生产方案：
方案一：生产 A 种产品 30 件，生产 B 种产品 20 件； 方案二：生产 A 种产品 31 件，生产 B 种产品 19 件；
方案三：生产 A 种产品 32 件，生产 B 种产品 18 件；
（10 分）
（ 2）设生产 A 种产品 x 件，则生产 B 种产品（ 50－ x ）件，由题意，得 y ＝700x ＋ 1200（ 50－ x ）＝－ 500x ＋ 60000
因为 a ＜ 0，由一次函数的性质知， y 随 x 的增大而减小。

因此，在 30≤ x ≤ 32 的范围内，当 x ＝ 30 时，的范围内，当 x ＝ 30 时，取最大值，且
y
最大值＝ 45000
（ 15 分）
13、
第
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设三个连续的正整数的立方和为 f (n ) ( n 1) 3 n3 (n 1) 3 (n ≥ 2)
∴ f (1) 36 ； f (2) 99
∵ f (1) ， f (2) 的最大公约数是9
∴ f (1) ， f (2) f (n) 的最大公约数不超过9
∴ 现证明 f (n) 是 9的倍数（5 分）
f (n) ( n 1) 3 n 3 (n 1) 3 （7 分）
= 2n（ n 2+3） +n 3
= n（ 3n 2+6）
= 3n（ n 2－ 1＋ 1＋ 2）
= 3n（ n － 1）（ n+1） +9n （10 分）又∵当 n≥ 2 时， (n－ 1) n （ n+1 ）是三个连续的整数的积，所以必是 3 的倍数，所以3n（ n－ 1）（ n+1 ）能被 9 整除
∴ f (n) 能被9整除
∴三个连续的正整数的立方和的最大公约数是9 （15 分）
14、由已知得CD＝ 15， CE＝ 24
（1）由题设知∠ADB ＝∠AEC ＝ 90°，所以△ADB 与△AEC 相似，
故AD BD AB①
AE CE AC
由①有
AD 5
AD 15
AE 6
（5 分）AE 7 5 AE 18
AD 15 6
于是，点 D 是 Rt△AEC 的中点，故 DE ＝1
AC＝ 15 （10 分）2
（ 2）法一：由条件知：G、F、 E、 D； E、 D、 C、 B 四点共圆，
则∠AFG ＝∠ADE ＝∠EBC ，故 GF ∥ BC （15 分）或（法二：连DF ，则 DF ∥ CE，由（ 1）知 D 为 AC 中点，
故 F 为 AE 中点，所以 AF ＝9 AG=
54
54
5
AG 9
故 5
AC 30 25
AF 9，AG AF GF∥ BC）
AB 25 AC AB
∵H 为△ ABC 垂心
∴AH ⊥BC
∵GF∥BC
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∴ AH ⊥GF
15、（本题满分 20 分） ① f （ 1）＝ 1
a b c 1 b
② 由①知：
a b c
c
故 y
ax 2 1 x 1 a
2 2
∴ ax 2
1 x 1 a ≥ x 恒成立
2
2
ax
2
1 x 1
a ≥ 0 恒成立
2 2
(a
1)2
≤0 故 a 1
1 4
4
c
4
2
x 1
代入检验 y ≤
也恒成立。

2
y 1 x 2 1 x 1
4 2 4
（20 分）
（5 分）
1
2
（10 分）
1
a
2
1
4a(
1
a) ≤ 0
4
2
（15 分）
（20 分）
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