高三数学32直线和圆单元测试A试题

卜人入州八九几市潮王学校教A 数学2021届
高三单元测试32：直线和圆
一、选择题(每一小题4分，总计40分)
1.平面上的点)9,3()1,1(和点-的间隔是( )
A ．10
B ．20
C ．30
D ．40 2.点M 在曲线22430x y x +++=上，点N 在不等式组2034430x x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩
所表示的平面区域上，那么|MN|
的最小值是
〔〕 A ．1 B
C
1- D ．2 3.圆C 1:x 2+y 2－4x+6y=0与圆C 2:x 2
+y 2－6x=0的交点为A 、B ，那么AB 的垂直平分线方程为() A.x+y+3=0B.2x －5y －5=0 C.3x －y －9=0D.4x －3y+7=0
4.圆222410220(,)x y x y ax by a b R ++-+=-+=∈关于直线对称，那么ab 的取值范围是
A ．1(,]4-∞
B ．1[,)4+∞
C ．1(,0)4-
D ．1(0,)4
5.圆心在直线y x =上，经过原点，且在x 轴上截得弦长为2的圆的方程为〔〕
A ．22(1)(1)2x y -+-=
B ．22(1)(1)2x y -++=
C ．2222(1)(1)2(1)(1)2x y x y -+-=+++=或
D ．2
222(1)(1)2(1)(1)2x y x y -++=++-=或 6.曲线
1sin ()(0,(0))cos x f x f x +=在点处的切线与圆22:()(1)1C x t y t -+--=的位置关系为
〔〕 A ．相交B ．相切
C ．相离
D ．与t 的取值有关 7.
直线:0l x -=与圆22:40C x y y +-=交于A 、B 两点，那么△ABC 的面积为〔〕
8.平移直线x －y ＋1＝0使其与圆2(2)x -＋2(1)y -＝1相切，那么平移的最短间隔为
〔A －1〔B 〕2C 〔D ＋1
9.直线:(2)2l y k x =-+将圆22:220C x y x y +--=平分，那么直线l 的方向向量是
〔A 〕(2,2)-
〔B 〕(2,2) 〔C 〕(3,2)- 〔D 〕(2,1) 10.圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，那么圆C 的方程〔〕
A ．22(1)(1)2x y ++-=
B ．22(1)(1)2x y -++=
C ．PF PA +
D ．22(1)(1)2x y +++=
二、填空题(每一小题4分，总计16分)
11.假设实数b a ,满足条件014222=+--+b a b a ，那么代数式
2+a b 的取值范围是． 12.点R t t t P ∈),,(，点M 是圆41)1(22=-+y x
上的动点，点N 是圆41)2(22=+-y x 上的动点，那么||||PM PN -的最大值是
13.圆22:890C x x y -+-=，过点(1,3)M 作直线交圆C 于,A B 两点，ABC ∆面积的最大值为
_____________.
14.圆：02422=-+-+k y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，假设︒=∠90APB ，那么实数k 的值是．
三、解答题(一共4个小题，总计44分)
15.〔本小题总分值是10分〕
如图，直线1:40l x y +=，直线2:10l x y +-=以及2l 上一点(3,2)P -． 〔Ⅰ〕求圆心M 在1l 上且与直线2l 相切于点P 的圆⊙M 的方程．
〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下；假设直线l 1分别与直线l 2、圆⊙依次相交于A 、B 、C 三点，利用代数法验证：||||||2AC AB AP •=.
16.〔本小题总分值是10分〕
动圆222)()(:r b y a x P =-+-(0>r )被y 轴所截的弦长为2，被x 轴分成两段弧，且弧长之比等于3
1，r OP ≤||(其中点),(b a P 为圆心，o 为坐标原点) (1)求b a ,所满足的关系；
(2)点P 在直线02=-y
x 上的投影为A,求事件“在圆P 内随机地投入一点，使这一点恰好落在POA ∆内〞的概率的最大值。

17.〔本小题总分值是12分〕
圆C 经过(4,2)P -,(1,3)Q -两点，且在
y 轴上截得的线段长为435．
〔1〕求直线PQ 与圆C 的方程；
〔2〕假设直线l ∥PQ ,且l 与圆C 交于点A,B,且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程
18.〔本小题总分值是12分〕 C
过点)1,1(P ,且与
M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.
〔1〕求C 的方程；
〔2〕设Q 为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；
〔3〕过点P
作两条相异直线分别与
C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行请说明理由.
答案
一、选择题
1.A
2.A
3.C
4.A
5.C
6.A
7.D
8.A
9.B10.B
二、填空题 112[0,]52252 三、解答题 15.
此题主要考察圆的几何性质，直线与圆的位置关系等根底知识，考察解析几何的根本思想方法和根本解题才能。

【解】〔Ⅰ〕设圆心为(,)M a b ，半径为r ，依题意，
4b a =-.………………2分
设直线
2l 的斜率21k =-，过,P C 两点的直线斜率PC k ，因2PC l ⊥， 故21
PC k k ⨯=-， ∴2(4)13PC a k a ---==-，……4分
解得1,4a b ==-.||2
2r PC ==.……6分 所求圆的方程为222(1)(4)(22)x y -++=.……7分
〔Ⅱ〕联立
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=+32310104y x y x y x 那么A )34,31(- 那么
9200)342()313(||222=--++=AP
圆心
(1,4)M -，9272)344()311(||222=--++=AM 所以||||||2AC AB AP •=得到验证.…….………….……10分
16.答案：〔1〕由题意知：22
2222221r b a r a b r ⎧=⎪+=⎨⎪+≤⎩所以得到222222121b a a b b a b =++≤≤≤或者 〔2〕点P 到直线20x y -=
的间隔||PA = 22()x y y b x a =⎧⎨-=--⎩得出2(2)525a b x a b y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
所以A 点坐标是2(2)2,55a b a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
所以|||2|OA a b =
+ 那么22|232|10
OAP a ab b S ∆--=，圆的面积是22=2S r b ππ=圆 所以2
|232|()20OAP
a a S
b b P A S π∆⎛⎫-- ⎪⎝⎭==圆 令a t b =，()2221232,22()|232|1232,22
t t t t g t t t t t t ⎧--≥≤-⎪⎪=--=⎨⎪----≤≤⎪⎩或 因为2222a b b +≤，所以11t -≤≤ 所以当34
t =
时，()g t 取到最大值， 即当34a b =时，事件“在圆P 内随机地投入一点，使这一点恰好落在POA ∆内〞的概率的最大为532π 17.〔1〕直线PQ 的方程为：x+y-2=0………………2分
设圆心C 〔a,b 〕，半径为r
由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y-21=x-23
即y=x-1所以b=a-1①………………3分
又由在y 轴上截得的线段长为43
知〔a+1〕2+〔b-3〕2=12+a 2
② 由①②得：a=1,b=0或者a=5,b=4………………4分
当a=1,b=0时，r 2
=13满足题意 当a=5,b=4时，r 2
=37不满足题意 故圆C 的方程为〔x-1〕2+y 2
=13………………6分 〔2〕设直线l 的方程为y=-x+m………………7分
A 〔x 1,m-x 1〕,
B 〔x 2,m-x 2〕
那么，由题意可知OA⊥OB，即k OA •k OB =-1 ∴1()(2
211-=-⋅-x x m x x m x 1+x 2=1+m,x 1x 2=2122-m 即m 2-m•〔1+m 〕+m 2-12=0
∴m=4或者m=-3∴y=-x+4或者y=-x-3
18.解:(1)设圆心C (,)a b ,那么222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩
,解得00a b =⎧⎨=⎩………………(2分) 那么圆C 的方程为222x
y r +=,将点P 的坐标代入得22r =, 故圆C 的方程为222x
y +=………(3分) (2)设(,)Q x y ,那么222x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++…………………………(4分)
=224x y x y +++-=2x y +-,所以PQ MQ ⋅的最小值为4-(可由线性规划或者三角代换求得)…
(6分)
(3)由题意知,直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-, :1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--=………(7分)
因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22
211A k k x k --=+……………(8分) 同理,22211B k k x k
+-=+, 所以(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B A
y y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OP k 所以,直线AB 和OP 一定平行……………………………………(12分)。