函数基本性质-单调性(课时教学设计)高中数学人教A版2019必修第一册

第1课时函数的单调性
（一）教学内容
函数的单调性的定义、证明与判断。

（二）教学目标
1.通过具体实例，经历函数单调性概念的抽象过程，能准确说出函数在某个区间上单调递增、单调递减以及增函数、减函数的定义；举例说明“任意”“都有”等关键词的含义，发展直观想象、数学抽象素养.
2.通过用函数单调性的定义证明函数的单调性，能总结归纳出证明的基本步骤和方法，发展逻辑推理、数学运算素养.
（三）教学重点及难点
1.教学重点
函数单调性的定义及其应用。

2.教学难点
用符号语言表达函数的单调性，用定义证明函数的单调性。

（四）教学过程设计
引导语在上一个单元，我们学习了函数的定义和表示法，知道函数()
=
y f x （x∈A）描述了客观世界中自变量x与函数值y之间的一种对应关系.函数是刻画现实世界中各种各样的变化关系的重要模型，因此，研究清楚函数的性质就能掌握事物变化的规律，进而准确地“预测未来”.
问题1 阅读课本第76页节引言的内容（包括图3.2-1），回答下列问题：（1）为什么要研究函数的性质？
（2）什么是函数的性质？你认为可以研究函数的哪些性质？
（3）用什么方法发现函数的性质？
师生活动：学生阅读教材，思考回答问题.
（1）通过研究函数的性质掌握客观世界中事物的变化规律。

（2）变化中的不变性，变化中的规律性就是函数的性质.随着自变量的增大，函数值是增大还是减小；有没有最大值、最小值；函数图象的对称性等.
（3）函数图象是直观形象的，可以通过观察函数图象特征，发现函数的性质.
设计意图：从整体上初步了解函数的性质以及它的研究方法，以指导接下来的研究过程.
问题1：观察下面几个函数的图象，你能指出这些函数的定义域和值域吗？
师生活动：引导学生通过观察函数图象，让学生指出函数的定义域和值域，但在具体的端点上面，学生会有不同答案.
设计意图：学生通过观察函数图象，在定义域和值域上的一些不同看法，也可以让学生体会形的直观和表达的不严谨，为引入单调性的符号表示做好铺垫.同时让学生关注函数的定义域，为单调区间与定义域的关系做好准备.
追问：你能发现这些函数的一些变化规律，也就是函数的性质吗？
师生活动：结合初中已学知识，学生会发现函数图象的上升下降趋势、对
称性、最高点最低点等特征，向学生指明分别对应函数的单调性、奇偶性、最
值等性质，其中奇偶性和最值会在后面的课程中研究，本节课主要研究函数的
单调性，也就是初中学习的函数值随着自变量增大而增大（或减小）的性质.
设计意图：学生发现函数图象变化的一些规律，直观的获得函数的基本性质，让学生了解单调性只是函数性质的一个方面，为学生后续研究其他性质做一些准备.
问题2：你能结合函数f(x)=x2的图象，描述一下函数的单调性吗？
师生活动：学生描述时一般会说函数先下降后上升，可以提醒学生能不能
更具体的说一下在什么范围图象下降和上升.引导学生发现函数f(x)=x2的图象在x∈(−∞，0)下降，在x∈(0，+∞)上升.
设计意图：学生可以观察到单调区间是定义域子集这一事实，也会注意到
在描述单调性时要注意到不同区间上的单调性不同.
追问1：请同学们在(0，+∞)取一对不同的自变
量，代入解析式得到函数值，你能发现自变量的大小和函
数值的大小之间的联系吗？
师生活动：让每个同学都各自选取点，然后随机提问
几个学生，书写时可以按照2<3，f(2)<f(3)的形式书
写，并让同桌之间相互交流，可以发现都有自变量小函数
值小这一规律.教师展示GGB软件上面，函数f(x)=x2的图象在x∈(0，+∞)时，不同两点滑动时，观察他们坐标之间的关系。

追问2：我们已经找到很多对不同的自变量了，大家可以将(0，+∞)中的自变量全都列出来吗？
师生活动：学生发现无法穷举.
设计意图：让学生意识到点的无穷多个，体会引入符号的必要性.
追问3：那我们如何才能表示这些一对对不同的自变量呢？
师生活动：引导学生发现可以用符号来进行表示，用下标来进行区分不同，引入x1、x2∈(0，+∞).
设计意图：让学生自然的联想到用符号来表示.
追问4：那我们可以将“自变量小函数值小”用符号来进行表示吗？
师生活动：引导学生发现x1、x2∈(0，+∞)当x1<x2，有y1<y2.
设计意图：将自变量小函数值小转换为符号语言.
追问5：在x∈(0，+∞)范围内有不满足上述规律的吗？怎样修改会更加的严谨呢？
师生活动：引导学生引入全称量词∀，∀x1、x2∈(0，+∞)当x1<x2，
有y1<y2.
设计意图：进一步完善符号语言，表达出所有、任意、都等含义.
问题3：函数f(x)，满足∀x1、x2∈(0，+∞)，当x1<x2，有y1<y2，请作出满足上述要求的函数f(x)的一个图象.
师生活动：学生依据要求作出图象，可以相互观察不同学生作出的函数图象，让同学说出函数的单调性是否相同.
设计意图：学生通过作图将符号表示图象化，通过结果的一致性，进一步体会符号表示的严谨性.
单调递增的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为
I，区间D⊆I,如果∀x1、x2∈D，当x1<x2
时，f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调
递增.如右图：
特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
师生活动：老师给出单调递增的定义，并带领学生理解定义中区间与定义域的关系、全称量词、符号表示等含义，体会如果改变或者删除一些词语后定义发生的改变.
设计意图：在前面学生已经得到符号化表示的情况下，顺理成章的给出了单调递增的定义，然后通过带领学生学习概念措辞，体会数学概念的精炼和严谨.
问题4：请同学们模仿单调递增的定义，给出单调递减的定义.
师生活动：老师可以提问同学作答，如果不完整可以请其他同学补充.不管学生作答是否完整，都可以多提问几个同学，让学生在一遍遍
的提问中理解记忆.
设计意图：学生掌握单调递增的标志，就是可以模仿说出
单调递减的定义.
单调递减的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I,如果
∀x1、x2∈D，当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.如右图：
特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
练习1：下列说法是否正确？请画图说明理由：
（1）如果对于区间(0,+∞)上的任意x有f(x)>f(0)，则函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；
（2）对于区间上（a,b）的某3个自变量的值x1,x2,x3，当a<x1<x2<
x3<b时，有f(a)>f(x1)>f(x2)>f(x3)>f(b)，则函数f(x)在区间（a,b）单调递减．
师生活动：学生回答问题，可以提醒学生举出反例.
设计意图：使学生在具体问题中，进一步体会定义中“任意”二字的必要性．例1：根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.
师生活动：老师板书过程，并对步骤进行解释，并指出定义研究单调性的
一般步骤，取值、作差、分解、判号、下结论.
设计意图：通过老师板书，让学生学会定义研究函数单调性的一般步骤，
掌握单调性应用，将理论与实践相联系.
在x∈(0,+∞)上单调递减.
例2：用单调性定义证明函数f(x)=1
x
师生活动：学生在证明时可能会出现不进行因式分解直接判号的情况，需
要向学生指出这种方法的错误原因是利用单调性证明单调性.
设计意图：学生通过模仿老师板书进一步掌握证明单调性的一般步骤．
在定义域上单调递减，可以师生活动：学生可能会错误的说出函数f(x)=1
x
通过取特值向学生说明错误原因，让学生体会断开的单调区间一般用逗号或者
在(−∞，0)，(0，+∞)上分别单调递减，或者函数f(x)=和字连接，f(x)=1
x
1
的单调递减区间是(−∞，0)，(0，+∞).
x
设计意图：防止学生在细节上出错，也进一步让学生体会定义中任意的含义．
练习2：根据定义证明函数f(x)=x+1
在区间(1,+∞)上单调递增.
x
师生活动：学生模仿例题进行证明，老师注意观察学生证明过程，搜集学生易错的点，比如分解不彻底等.
设计意图：让学生进一步掌握定义证明单调性的方法步骤，注意因式分解要彻底，体会何为分解彻底.
问题5：请同学们总结一下，本节课我们学习了哪些知识，掌握了哪些方法？
师生活动：老师可以提问同学作答，本节课学习了函数单调性的概念，以及用符号化来表达数学问题，掌握了用单调性定义来研究和证明函数单调性的方法.
设计意图：通过回顾本节课内容，形成知识体系，进行知识内化。

六、目标检测设计
1.如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调递增区间和单调递减区间.
2.画出函数f(x)=x2−5x−6的图象，利用定义研究单调性.
3.研究函数f(x)=x+1
的单调性.
x
设计意图：让学生及时巩固所学，可以数形结合研究函数单调性，并能掌握定义研究函数单调性的一般步骤.。