河北省衡水中学2016届高三下学期一模考试数学试题

2015-2016 学年度放学期高三年级一模考试
理数试卷
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项
中，只有一项
是切合题目要求的 .
1.设命题甲： ax 2 2ax 1 0 的解集是实数集 R ；命题乙： 0 a 1，则命题甲是命 题乙成立的（
）
A ．充足不用要条件
B ．充要条件
C ．必需不充足条件
D ．既不
充足也不用要条件
2.设 a,b R 且 b 0 ，若复数 a bi 3 （ i 为虚数单位）是实数，则（ ）
A ． b 2 3a 2
B ． a 2 3b 2
C ． b 2 9a 2
D ． a 2
9b 2
3.等差数列 a n 中， a n
是一个与 n 没关的常数，则该常数的可能值的会合为 （
）
a
2n
A ． 1
B ． 1,
1
C ．
1
D ． 0,1,
1
2 2
2
4. ABC 中三边上的高挨次为
1 , 1
, 1
，则 ABC 为（
）
13511
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不存在这样的三
角形
6.已知F是椭圆C :x
2
y21的右焦点，P是C上一点，A2,1，当 APF 周长最小204
时，其面积为（）
A． 4B．8C．3D．2 2
7.已知等式x4a1x3a2 x2a3x a4
4
b1 x1
3
1
2
x 1b4，定义映照x 1b2 x b3
f : a1 , a2 , a3 , a4b1 , b2 ,b3 ,b4，则 f4,3,2,1（）
A．1,2,3,4B．0,3,4,0C．0,3,4, 1D．1,0,2,2
8.以下图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为 2，侧视图是向来角三角形，俯视图为向来角梯形，且AB BC 1 ，则异面直线 PB 与CD 所成角的正切值是（）
A． 1B．2C．2
D．
1
22
9.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二
年级 20 名学生某次考试成绩（百分制）以下表所示：
若数学成绩 90 分（含 90 分）以上为优异，物理成绩 85（含 85 分）以上为优异 .有多少掌握以为学生的学生成绩与物理成绩相关系（）
A．99.9%B．99.5%C．97.5%D．95%
参照数据公式：①独立性查验临界值表
2
②独立性查验随机变量 K 2 的值的计算公式： K 2
n ad bc
a
b c d a c b d
10.在一个棱长为 4 的正方体内，你以为最多放入的直径为
1 的球的个数为（
）
A ． 64
B ．65
C ．66
D ．67
11.定义：分子为 1 且分母为正整数的分数成为单位分数， 我们能够把 1 分拆为若
干个不同的单位分数之和 .如：1
1 1 1 ,1 1 1
1 1 ,1 1 1 1 1
1
，挨次
2 3 6 2 4 6
12 2
5
6 12
20
类推可得： 1
1
1 1 1 1 1 1+1+1+1+1 + 1 + 1 ，此中
2 6 12 m
n
30
42 56 72 90 110 132 156
m n, m, n N
.设 1 x m,1 y
n ，则
x
y
2
的最小值为（
）
x 1
A ．
23
B ． 5
C ．
8
D ．
34
2
2
7
3
12.已知 a, b
R ，直线 y ax b
与函数 f x
tan x 的图像在 x
处相切，设
2
4
g x e x
bx 2
a ，若在区间 1,2 上，不等式 m g x m 2
2 恒成立，则实数 （
）
m
A ．有最小值 e
B ．有最小值 e
C ．有最大值 e
D ．有最大值 e 1
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数 f x
x 2 ax 的图像在点 A 1, f 1
处的切线与直线 x 3y 2
0 垂直，执
行以下图的程序框图，输出的
k 值是
.
14.在直角坐标系xOy中，已知点A 0,1和点B3,4 ，若点C在 AOB 的均分线上，
uuur uuur
且 OC2，则 OC
.
15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O 顺时针旋转30后，组成一个斜坐
标平面 xOy .在此斜坐标平面 xOy 中，点P x, y的坐标定义以下：过点 P 作两坐标轴的均分线，分别交两轴于M , N 两点，则M在Ox轴上表示的数为x，N在 Oy 轴上表示的数为 y .那么以原点 O 为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程
为.
16.已知ABC 的面积为 S ，内角A, B,C所对的边分别为a,b, c ，且 2sin C,sin B ,cos A 成
2
等比数列， b2a,21c23ac 18 ，则 4 c1的最小值为.
32292S16a
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）
17（.本小题满分12 分）设等比数列a n的前 n 项和为S n，已知，a12，且 4S1,3S2, 2S3成等差数列 .
（1）求数列a n的通项公式；
（2）设b n2n 5 a n，求数列 b n的前 n 项和T n.
18（本小题满分 12 分）如图，四边形PCBM是直角梯形，
PCB 90 , PM PBC , PM 1,BC 2 ，又 AC 1, ACB 120 , AB PC ，直线AM与直线PC 所成的角为 60 .
（1）求证：PC AC；
（2）求二面角M AC B的余弦值；
（3）求点B到平面MAC的距离 .
19.（本小题满分 12 分）电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为好多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有 8 种口胃供你选择（此中有一种为草莓口胃） .小王点击进入网页一看，只见有好多包装完整同样的瓶装口香糖排在一同，看不见详细口胃，由购置
者随机点击进行选择（各样口胃的高级口香糖均超出 3 瓶，且各样口胃的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动增补相应的口香糖）.
（1）小王花 10 元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？
（2）小王花 10 元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜爱的草莓味
口香糖瓶数的散布列，并计算其数学希望和方差 .
20.（本小题满分 12 分）已知椭圆C1:x
2
y2 1 a b 0 的离心率为
2
，其短轴a2b22
的下端点在抛物线 x2 4 y 的准线上.
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设O为坐标原点，M是直线l : x 2上的动点，F为椭圆的右焦点，过点F作OM 的垂线与以 OM 为直径的圆C2订交于P, Q两点，与椭圆C1订交于A, B两点，如图所示 .
①若 PQ 6 ，求圆C2的方程；
②设 C2与四边形OAMB的面积分别为S1 , S2，若 S1S2，求的取值范围.
21.（本小题满分 12 分）设a为实数，函数f x x2e1 x a x 1.
（1）当a 1 时，求 f x在3
, 2上的最大值；4
（2）设函数g x f x a x 1e1 x, 当 g x 有两个极值点 x1 , x2x1 x2时，总有x2 g x1 f ' x1，务实数的值（ f 'x 为 f x的导函数） .
请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图，ABC 内接于直径为 BC 的圆 O ，过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延伸线于点P, BAC 的均分线分别交BC和圆O于点 D , E ，若PA 2PB 10.
（1）求证：AC 2AB；
（2）求AD DE的值 .
23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 C 1 : x
4 cost
（ t 为参数）， C 2 : x 8cos
y 3 sin t
y 3sin
（ 为参数） .
（1）化 C 1, C 2 的方程为一般方程，并说明他们分别表示什么曲线；
（2）若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t
, Q 为 C 2 上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线
2
C 3 : x
3
2t
（ t 为参数）距离的最小值 .
y 2 t
24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f x
x a 2 x 1 a
R .
（1）当 a 3时，求函数 f x 的最大值；
（2）解对于 x 的不等式 f
x
0 .
参照答案及分析
一、选择题
1-5 CABCC6-10 ACCBC11-12CD
二、填空题
13. 614.10,31015. x2y2xy 1 016.
3
554
（2）Q当 n1,2 时，2n50 ，当 n3时， T n 10 123 3 24 L2n 5 2n 2T n20124325L2n 5 2n 1，两式相减，得
T n10 8 224252n2n 5 2n 12412n 3
L 2 2
1
2n 5 2n 1 2
3472n2n 1
T n342n72n 1
6,n1
T n10,n 2
342n72n 1, n3
18.(1)Q PC BC, PC AB, AB BC B
PC平面 ABC ，Q AC平面 ABC ，PC AC
（2）在平面 ABC 内，过点 C 作 BC 的垂线，并成立空间直角坐标系，以下图
设 P 0,0, z
uuur uuuur
3 1 ,0
3 3
CP
0,0, z , AM
0,1, z
,
, , z
2 2
2 2
uuuur uuur
uuuur uuur
z
2
Q cos60
AM CP ，且 z 0
cos AM
CP
uuuur uuur
3 z 2
AM CP
z
z 1 z 1 uuuur 3 , 3
,1 AM
z 2
3
2
2 2
r
x, y,1
设平面 MAC 的一个法向量为 n
r uuuur 3
3
xy
1 0
3
r
n AM 0 2
3
则由
2
x
3
r uuur 0
3 1
， n
, 1,1
n CA 0
y
1
3
x
y
2
2
uuur
0,0,1
平面 ABC 的一个法向量为 CP
r uuur
r uuur 21 n CP
cos n, CP
r
uuur
7
n CP
明显，二面角 M
AC B 为锐二面角，
21 因此二面角 M
AC B 的余弦值为
7
（3）点 B 到平面 MAC 的距离
uuur r 2 21 d
CB n
r
.
n
7
19.（1）若三瓶口胃均不同样，有C8356
若此中两瓶口胃不同样，，有 C81C7156 ，若三瓶口胃同样，有8 种，
因此小王共有56+56+8=120 种选择方式
（2）可能的取值为 0,1,2,3
因为各样口胃的高级口香糖均不超出 3 瓶，且各样口胃的瓶数同样，有8 种不同口胃
因此小王随机点击一次获取草莓味口香糖的概率为
1
8
故随机变量听从二项散布，即: B1
3,
8
0312
P0C0111343，P1C1111147
3
88512388512
12111310
221 ，3
1
P2C3818512P3C3818512
因此的散布列为
0123
P343147211
512512512512
期数学希望 E np313
88
方差 D np 1p1721
3
864
8
20.（1）Q椭圆短轴下端点在抛物线x2 4 y 的准线上， b 1
Q e c a2b22
， a2
a a22
因此椭圆 C1的方程为x
2
y21
2
t
（2）①由（ 1），知F 1,0，设M 2,t，则C2的圆心坐标为1,
2
222
C2的方程为x y t1t，当 t0 时，PQ所在直线方程为 x 1 ，此时1
24
PQ2，与题意不符，不可立，t0 .
可设直线 PQ 所在直线方程为 y2x1t0，即2x ty 2 0 t 0
t
又圆 C2的半径r1t 21t 24
42
由 PQ 22
t2
2
1 t2
d2r 2，得614
224t 244解得 t24t2
圆 C2的方程为x 12
y
2
2 或 x 1
2
y
2
2 11
②当 t0 ，由①，知PQ的方程为2x ty20
x2
y 2
1消去 y ，得8 t2x22t 2
由216x80 2x ty20
则162 4 8 t 28 2t 28 t44t 20
x1x2
816, x1 x28 2t2
t 28t 2
222t24 162 4 8 t28 2t2t 24
AB1x1 2 2
t x24x1 x2t2
8t2
28t2
22t24t24
S21OM AB1t 2 4 2 2
t 4
t 28
228t 2
S1r 2t 2 4 ,QS1S2
4
S14t 24
2t282t244242
S2 2 t 2 4 t 248t 248t 2482 t 28
当且仅当 t244，即 t0 时取等号
t24
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11 / 14
12 / 14 又Q t 0, 2 ，当 t 0 时，直线 PQ 的方程为 x 1 2 AB 2, OM 2 ， S 2 1
OM AB 2 2 1 2 S 1
2 S 1 ，
OM S 2 2 2 2 综上， 2 2 因此实数 的取值范围为 2 ,.
2
21.（1）当 a 1时， f x x 2e 1 x x 1 则 f ' x 2x x 2 e 1 x 1 2x x 2 e x 1 ，令 h x 2x x 2 e x 1，则 h ' x 2 2x e x 1 e x 1 明显 h ' x 在区间 3 , 2 内是减函数，又 Q h ' 3 1 1 0，在区间 3 , 2 内，总有 4 4 2 4 e 4 h ' x 0 h x 在区间 3 , 2 内是减函数，又 Q h 1 0 当 x 3 ,1 时， h x 0 ， 4 4
f ' x 0 ，此时 f x 单一递加； 当 x 1,2 时， h x 0
f ' x 0 ，此时 f x 单一递减； f x 在区间 3
, 2 内的极大值也即最大值是 f 1 1 4
（2）由题意，知 g x x 2 a e 1 x ，则 g ' x 2x x 2 a e 1 x x 2 2x a e 1 x 依据题意，方程 x 2 2x a 0 有两个不同的实根 x 1, x 2 x 1 x 2 4 4a 0 ，即 a 1 ，且 x 1 x 2 2 Q x 1 x 2 x 1 1,且 x 2 2 x 1 ，由 x 2 g x 1 f ' x 1
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13 / 14 此中 f ' x 2x x 2 e 1 x a ，得 2 x 1 x 12 a e 1 x 1 2x 1 x 12 e 1 x 1 2x 1 x 12 Q x 12 2x 1 a 0 因此上式化为 2 x 1 2x 1 e 1 x 1 2x 1 x 12 e 1 x 1 2x 1 x 12 又Q 2 x 1 0 ，因此不等式可化为 x 1 2e 1 x 1 e 1 x 11 0 ，对随意的 x 1 ,1 恒成立 . ①当 x 1 0 ， x 1 2e 1 x 1 e 1 x 1 1 0 不等式恒成立， R ；
②当 x 1 0,1 时， 1 x 1 1 x 1 1 0 恒成立，
2e 1 x 1
2e e e 1 x 1 1
令函数 k x 2e 1 x 1
2 e 1 x 1 2 e 1 x 1 1
1 明显 k x 是 R 内的减函数，当 x 0,1 ， k x k 0 2e 2e e 1 e 1 ③ x 1 ,0 时， 2e 1 x 1 e 1 x 1 1 0 恒成立，即 2e 1 x 1 e 1 x 1 1 由②，当 x ,0 ， k x k 0 2e ，即 2e 2e . e 1 e 1 综上所述， e 1
22.（1）Q PA 是圆 O 的切线， PAB ACB ，又 P 是公共角， ABP : CAP CA AP 2AB ；
AB 2 AC BP
（2）由切割线定理，得 PA 2 PB PC, PC 20 ，又 PB 5, BC 15 又Q AD 是 BAC 的均分线， AC CD 2
AB DB
由订交弦定理，得 AD DE CD DB 50 .
23.（1） C 1 : x 4 2 2 1,C 2 : x 2 y 2
1
y 3
64 9 C 1 为圆心是 4,3 ，半径是 1 的圆， C 2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴，长半轴长 是 8，短半轴长是 3的椭圆.
（2）当 t 时， P 4,4 ,Q 8cos ,3sin ，故 M 2 4cos , 2 3 sin 2 2
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C 3 的一般方程为 x 2 y
7 0 ， M 到 C 3 的距离 d 5 4cos3sin13 5 因此当 cos
4 ,sin 3 时， d 获得最小值 8
5 .
5 5 5 x 1, x
3 24.（1）当 a 3 时， f x x 3 2 x 1 3x 5, 1 x 3
x 1, x 1 因此当 x 1 ，函数 f x 获得最大值 2.
（2）由 f x 0 ，得 x a 2 x 1
两边平方，得 2 4 x 2
x a 1 即 3x 2 2 a 4 x 4 a 2 0 得 x 2 a 3x 2 a 0 ， 因此当 a 1 时，不等式的解集为 2 a, 2 a 3 当 a 1 时，不等式的解集为 x | x 1 当 a 1 ，不等式的解集为 2 a , 2 a . 3
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