最新北师大版九年级上册第二章一元二次方程知识要点和单元测试题

一元二次方程知识要点
知识点1 一元二次方程（1）定义:只有一个未知数x 且含未知数项的最高次数为2的的整式方程是
一元二次方程（2）一般形式：20ax bx c ++=（a ≠0），其中2
,,ax bx c 分别称为二次项、一次项、常数项， ,a b 分别称为二次项系数和一次项系数。

知识点2 一元二次方程的解法
✧ 直接开平方法：形式()2
x m n +=()0n ≥，可化为x m += ✧ 配方法：形式20ax bx c ++=(a ≠0)，一般步骤（1）二次项系数化为1，得20b c x x a a +
+=，（2）移动常数项，得2b c x x a a +
=-，（3）配方，方程两边加上一次项系数的一半的平方，得
222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭
(其中2244b ac a -≥0)，（4）方程两边开平方，得22b x a a +=±。

(简称：一化二移三配四开)
✧ 公式法：形式20ax bx c ++=(a ≠0)，当2
40b ac -≥时，2b x a -= ✧ 因式分解法：形式()()0mx a nx b ++=,则mx a +=0或nx b +=0
知识点3 一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)根的判断
✧ 240b ac ->↔方程有两个不相等的实数根
✧ 2
40b ac -=↔方程有两个相等的实数根
✧ 240b ac -<↔方程没有实数根 知识点4 一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)的两个实数根12,x x 与系数a,b,c 的关系，有
1212+= -,b c x x x x a a
= 知识点5 一元二次方程的应用，一般步骤：（1）审题——理清等量关系，（2）设未知数——直接或间接假设，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验方程的根的合理性并作答。

九年级第二章一元二次方程单元测试题
班级： 姓名： 得分：
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A ．32-=y x
B ．2(1)3x +=
C ．11322+=-+x x x
D ．29x =
2.如果一元二次方程3x 2-2x =0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2的值等于 （ ）
A 、0
B 、2
C 、
23 D 、23- 3. 用配方法解一元二次方程x 2-4x =5时，此方程可变形为（ ）
A.（x +2）2＝1
B.（x -2）2＝1
C.（x +2）2=9
D.（x -2）2＝9
4. 若0是关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根，则a 值是（ ）
A. 1
B. -1
C. 1或-1
D.
12 5. 已知等腰三角形的两边长是方程2680x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 6
B. 8
C. 10
D.8或10
6. 下列一元二次方程中，没有实根的是( )
A ．x 2＋2x －3＝0
B ．x 2＋x ＋14
＝0 C ．x 2＋2x ＋1＝0 D ．－x 2＋3＝0
7.毕业季班上数学兴趣小组的同学，互赠贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x 人，则可列方程为（ ）
A 、x(x-1)=90
B 、x(x-1)=2×90
C 、x(x-1)=90÷2
D 、x(x+1)=90
8. 已知关于x 的一元二次方程a 2x －（2a+3）x+a+1=0有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）． A. a>89- B ．a ≥-98 C ．a ≥-98且a≠0 D．a>8
9-且a≠0 9. 若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ）
A 、1，0
B 、-1，0
C 、1，-1
D 、无法确定
10．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为( )
A ．1 B. 2
C ．4－2 2
D ．32－4 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 一元二次方程4x 2－45＝31x 的二次项系数为： ，一次项系数为： ，
常数项为： ___。

12. 若x 1=－1是关于x 的方程x 2
+mx －5=0的一个根，则此方程的另一个根x 2=
13. 把一元二次方程()423=-x x 化为一般形式是
14. 如果()4122++-x m x 是一个完全平方公式，则=m 15. 某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台．设二、三月份每月的平均增长率为x ，根据题意列出的方程是
16. 已知m 、n 是方程x 2-2x -1=0的两根，且(7m 2-14m+a )(3n 2
-6n-7)=8,则a =
三．解答题（共46分）
17.解下列方程（每题5分，共10分）：
（1）12)1)(8(-=++x x . （2）x 2 -2x +4 =0 （用配方法）
18关于x 的方程kx 2+（k+2）x+
4
k =0有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围；
（2）当k=4时方程的两根分别为x 1 、 x 2 ，直接写出x 1 + x 2 ，x 1 x 2的值（7分）
19. 某商店进了一批服装，进货单价为50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件提价1
元出售，其销售量就减少20件。

现在要获利12000元，且销售成本不超过24000元，问这种服装销售单价确定多少为宜？这时应进多少服装？（7分）
20. 如图, 在△ABC中, ∠B = 90°, AB=6cm，BC=12cm，点P从点 A 开始沿AB边向点B以 1cm / s 的速度移动, Q 从点B开始沿 BC 边向C点以 2 cm / s 的速度移动, 如果点P、Q分别从A、B同时出发, 几秒钟后, △PBQ 的面积等于8 cm2 ?（7分）
21. 阅读下面材料，再解方程：
解方程022=--x x
解：（1）当x ≥0时，原方程化为x 2
– x –2=0，解得：x 1=2,x 2= - 1（不合题意，舍去）
（2）当x ＜0时，原方程化为x 2 + x –2=0，解得：x 1=1,（不合题意，舍去）x 2= -2∴原方程的根是x 1=2, x 2= - 2
（3）请参照例题解方程0112=---x x （7分）
22. 某市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 860元的均价开盘销售.
（1）求平均每次下调的百分率.
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？（8分）。