河北省唐山市林西中学2024届中考数学五模试卷含解析

河北省唐山市林西中学2024学年中考数学五模试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列几何体中三视图完全相同的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．对于数据：6,3,4,7,6,0,1．下列判断中正确的是（ ） A ．这组数据的平均数是6，中位数是6 B ．这组数据的平均数是6，中位数是7 C ．这组数据的平均数是5，中位数是6 D ．这组数据的平均数是5，中位数是7
3．一元二次方程4x 2﹣2x+
1
4
=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根
D ．无法判断
4． “保护水资源，节约用水”应成为每个公民的自觉行为．下表是某个小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是（ ） 月用水量（吨） 4 5 6 9 户数（户） 3 4 2
1
A ．中位数是5吨
B ．众数是5吨
C ．极差是3吨
D ．平均数是5.3吨
5．已知关于x 的不等式组0
217x a x -<⎧⎨
-≥⎩
至少有两个整数解，且存在以3，a ，7为边的三角形，则a 的整数解有（ ） A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
6．抛物线2
23y x
+＝（﹣）的顶点坐标是（ ） A ．（2，3）
B ．（-2，3）
C ．（2，-3）
D ．（-2，-3）
7．下列各式：①331
7
72682243
2 ）．
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
8．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于（ ）
A ．43
B ．63
C ．23
D ．8
9．如图，已知双曲线(0)k
y k x
=
<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为
A ．12
B ．9
C ．6
D ．4
10．一组数据3、2、1、2、2的众数，中位数，方差分别是（ ） A ．2，1，0.4 B ．2，2，0.4 C ．3，1，2
D ．2，1，0.2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．如图，点,A B 是反比例函数(0,0)k
y k x x
=
>>图像上的两点（点A 在点B 左侧），过点A 作AD x ⊥轴于点D ，交OB 于点E ，延长AB 交x 轴于点C ，已知
2125OAB ADC S S ∆∆=，145
OAE S ∆=，则k 的值为__________．
12．如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 两边中线，则
EDC ABC
S
S
=_____．
13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点O ，A ，B ，M 均在格点上，P 为线段OM 上的一个动点． （1）OM 的长等于_______；
（2）当点P 在线段OM 上运动，且使PA 2+PB 2取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P 的位置，并简要说明你是怎么画的．
14．如图，在△ABC 中，P ，Q 分别为AB ，AC 的中点．若S △APQ ＝1，则S 四边形PBCQ ＝__．
15．化简：+3=_____．
16．已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是 ． 三、解答题（共8题，共72分） 17．（8分）先化简代数式：2
2
2111a a a a a +⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭
，再代入一个你喜欢的数求值. 18．（8分）如图，己知AB 是的直径，C 为圆上一点，D 是
的中点，
于H ，垂足为H ，连
交弦
于
E ，交
于F ，联结
. (1)求证：. (2)若
，求
的长.
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且AF FC CB
==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF 交AF延长线于点D，垂足为D．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD=23，求⊙O的半径．
20．（8分）在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边BC上任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD 于点E．
（1）如图1，若∠BAD=15°，且CE=1，求线段BD的长；
（2）如图2，过点C作CF⊥CE，且CF=CE，连接FE并延长交AB于点M，连接BF，求证：AM=BM．
21．（8分）两家超市同时采取通过摇奖返现金搞促销活动，凡在超市购物满100元的顾客均可以参加摇奖一次．小明和小华对两家超市摇奖的50名顾客获奖情况进行了统计并制成了图表（如图）
奖金金额
20元15元10元5元
获奖人数
商家甲超市 5 10 15 20
乙超市 2 3 20 25
（1）在甲超市摇奖的顾客获得奖金金额的中位数是，在乙超市摇奖的顾客获得奖金金额的众数是；
（2）请你补全统计图1；
（3）请你分别求出在甲、乙两超市参加摇奖的50名顾客平均获奖多少元？
（4）图2是甲超市的摇奖转盘，黄区20元、红区15元、蓝区10元、白区5元，如果你购物消费了100元后，参加一次摇奖，那么你获得奖金10元的概率是多少？
22．（10分）如图，在直角坐标系中△ABC 的A 、B 、C 三点坐标A （7，1）、B （8，2）、C （9，0）．
（1）请在图中画出△ABC 的一个以点P （12，0）为位似中心，相似比为3的位似图形△A′B′C′（要求与△ABC 同在P 点一侧），画出△A′B′C′关于y 轴对称的△A′'B′'C′'； （2）写出点A'的坐标．
23．（12分）已知，关于x 的方程x 2+2x -k =0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）若x 1，x 2是这个方程的两个实数根，求12
1211
x x x x +++的值； （3）根据（2）的结果你能得出什么结论？
24．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元． （1）求w 与x 之间的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、A
【解题分析】
找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．
【题目详解】
解：A、球的三视图完全相同，都是圆，正确；
B、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误；
C、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；
D、四棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；
故选A．
【题目点拨】
考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
2、C
【解题分析】
根据题目中的数据可以按照从小到大的顺序排列，从而可以求得这组数据的平均数和中位数．
【题目详解】
对于数据：6，3，4，7，6，0，1，
这组数据按照从小到大排列是：0，3，4，6，6，7，1，
这组数据的平均数是：0346679
5
7
++++++
=，中位数是6，
故选C.
【题目点拨】
本题考查了平均数、中位数的求法，解决本题的关键是明确它们的意义才会计算，求平均数是用一组数据的和除以这组数据的个数；中位数的求法分两种情况：把一组数据从小到大排成一列，正中间如果是一个数，这个数就是中位数，
如果正中间是两个数，那中位数是这两个数的平均数.
3、B
【解题分析】
试题解析：在方程4x2﹣2x+ =0中，△=（﹣2）2﹣4×4×1
4
=0，
∴一元二次方程4x2﹣2x+1
4
=0有两个相等的实数根．
故选B．
考点：根的判别式．
4、C
【解题分析】
根据中位数、众数、极差和平均数的概念，对选项一一分析，即可选择正确答案．
【题目详解】
解：A、中位数＝（5+5）÷2＝5（吨），正确，故选项错误；
B、数据5吨出现4次，次数最多，所以5吨是众数，正确，故选项错误；
C、极差为9﹣4=5（吨），错误，故选项正确；
D、平均数=（4×3+5×4+6×2+9×1）÷10=5.3，正确，故选项错误．
故选：C．
【题目点拨】
此题主要考查了平均数、中位数、众数和极差的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．
5、A
【解题分析】
依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞5，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得4＜a＜10，进而得出a 的取值范围是5＜a＜10，即可得到a的整数解有4个．
【题目详解】
解：解不等式①，可得x＜a，
解不等式②，可得x≥4，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴a＞5，
又∵存在以3，a，7为边的三角形，
∴4＜a＜10，
∴a的取值范围是5＜a＜10，
∴a的整数解有4个，
故选：A．
【题目点拨】
此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
6、A
【解题分析】
已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
【题目详解】
解：y=（x-2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选A．
【题目点拨】
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
7、A
【解题分析】
33+3=63，错误，无法计算；②1
7
7=1，错误；③2+6=8=22，错误，不能计算；④
24
3
=22，
正确.
故选A.
8、A
【解题分析】
解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=1
2
∠AOC，
∴∠COD=∠B=60°；
在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，
∴
∴ 故选A ． 【题目点拨】
本题考查三角形的外接圆；勾股定理；圆周角定理；垂径定理． 9、B 【解题分析】
∵点(6,4)A -，D 是OA 中点 ∴D 点坐标(3,2)- ∵(3,2)D -在双曲线(0)k y k x =<上，代入可得23
k =- ∴6k =-
∵点C 在直角边AB 上，而直线边AB 与x 轴垂直 ∴点C 的横坐标为-6 又∵点C 在双曲线6y x
-= ∴点C 坐标为(6,1)-
∴3AC == 从而11
36922
AOC S AC OB ∆=⨯⨯=⨯⨯=，故选B 10、B 【解题分析】
试题解析：从小到大排列此数据为：1，2，2，2，3；数据2出现了三次最多为众数，2处在第3位为中位数．平均数为（3+2+1+2+2）÷5=2，方差为1
5
[（3-2）2+3×（2-2）2+（1-2）2]=0.1，即中位数是2，众数是2，方差为0.1． 故选B ．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11、
203
【解题分析】
过点B 作BF ⊥OC 于点F ，易证S △OAE =S 四边形DEBF =145，S △OAB =S 四边形DABF ，因为2125OAB ADC S S ∆∆=，所以2125DABF ADC S S ∆=四边形，
425BCF ADC S S ∆∆=，又因为AD ∥BF ，所以S △BCF ∽S △ACD ，可得BF:AD=2：5，因为S △OAD =S △OBF ，所以12
×
OD×AD =
12
×OF×BF ，即BF:AD=2：5= OD ：OF ，易证：S △OED ∽S △OBF ，S △OED ：S △OBF =4:25，S △OED ：S 四边形EDFB =4:21，所以S △OED =815 ，S △OBF = S △OED + S 四边形EDFB =815+145=103, 即可得解：k=2 S △OBF =
20
3
. 【题目详解】
解：过点B 作BF ⊥OC 于点F ，
由反比例函数的比例系数|k|的意义可知：S △OAD =S △OBF ， ∴S △OAD - S △OED =S △OBF 一S △OED ，即S △OAE =S 四边形DEBF =
14
5
，S △OA B =S 四边形DABF ， ∵
21
25
OAB ADC S S ∆∆=， ∴2125DABF ADC S S ∆=四边形，4
25
BCF ADC S S ∆∆=，
∵AD ∥BF ∴S △BCF ∽S △ACD ，
又∵4
25
BCF ADC S S ∆∆=， ∴BF:AD=2：5， ∵S △OAD =S △OBF ， ∴
12×OD×AD =12
×OF×BF ∴BF:AD=2：5= OD ：OF 易证：S △OED ∽S △OBF ，
∴S △OED ：S △OBF =4:25，S △OED ：S 四边形EDFB =4:21
∵S 四边形EDFB =145， ∴S △OED =815 ，S △OBF = S △OED + S 四边形EDFB =815+145=103
, ∴k=2 S △OBF =203
. 故答案为203
. 【题目点拨】
本题考查反比例函数的比例系数|k|的几何意义，解题关键是熟练运用相似三角形的判定定理和性质定理.
12、14
【解题分析】
利用三角形中位线的性质定理以及相似三角形的性质即可解决问题；
【题目详解】
∵AE=EC ，BD=CD ，
∴DE ∥AB ，DE=12
AB ， ∴△EDC ∽△ABC ，
∴EDC
ABC S S ＝21()4
ED AB ， 故答案是：
14． 【题目点拨】
考查相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理．
13、（1）42；（2）见解析；
【解题分析】
解:(1)由勾股定理可得OM 的长度
(2)取格点 F , E, 连接 EF , 得到点 N ,取格点S, T, 连接ST, 得到点R, 连接NR 交OM 于P,则点P 即为所求。

【题目详解】
（1）OM=
=4；
故答案为4． （2）以点O 为原点建立直角坐标系，则A （1，0），B （4，0），设P （a ，a ），（0≤a≤4），
∵PA 2=（a ﹣1）2+a 2，PB 2=（a ﹣4）2+a 2，
∴PA 2+PB 2=4（a ﹣）2+
，
∵0≤a≤4， ∴当a=时，PA 2+PB 2 取得最小值
， 综上，需作出点P 满足线段OP 的长=；
取格点F ，E ，连接EF ，得到点N ，取格点S ，T ，连接ST ，得到点R ，连接NR 交OM 于P ，
则点P 即为所求．
【题目点拨】(1) 根据勾股定理即可得到结论;
(2) 取格点F, E, 连接EF, 得到点N, 取格点S, T,连接ST, 得到点R, 连接NR 即可得到结果.
14、1
【解题分析】
根据三角形的中位线定理得到PQ ＝
12BC ，得到相似比为12，再根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得到结果.
【题目详解】
解：∵P ，Q 分别为AB ，AC 的中点，
∴PQ ∥BC ，PQ ＝12
BC ， ∴△APQ ∽△ABC ， ∴APQ ABC S S ＝（12
）2＝14， ∵S △APQ ＝1，
∴S △ABC ＝4，
∴S 四边形PBCQ ＝S △ABC ﹣S △APQ ＝1，
故答案为1．
【题目点拨】
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15、
【解题分析】
试题分析：先进行二次根式的化简，然后合并，可得原式=2+=3． 16、1
【解题分析】
试题分析：∵多边形的每一个内角都等于108°，∴每一个外角为72°．
∵多边形的外角和为360°，∴这个多边形的边数是：360÷
÷72=1．
三、解答题（共8题，共72分）
17、13 【解题分析】 先根据分式的运算法则进行化简，再代入使分式有意义的值计算. 【题目详解】
解：原式2211(1)(1)
a a a a a a ⎡⎤+-=-⋅⎢⎥-+-⎣⎦ 2(1)21(1)(1)a a a a a a +---=⋅+- 11
a =+. 使原分式有意义的a 值可取2， 当2a =时，原式11213=
=+. 【题目点拨】
考核知识点：分式的化简求值.掌握分式的运算法则是关键.
18、（1）证明见解析；（2）
【解题分析】
（1）由题意推出再结合，可得△BHE ～△BCO.
（2）结合△BHE ～△BCO ，推出
带入数值即可. 【题目详解】
（1）证明：∵为圆的半径，是的中点，
∴,,
∵,
∴，
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
又∵,
∴∽．
（2）∵∽，
∴,
∵，,
∴得，
解得，
∴.
【题目点拨】
本题考查的知识点是圆与相似三角形，解题的关键是熟练的掌握圆与相似三角形.
19、(2)1
【解题分析】
试题分析：（1）连结OC，由FC=BC，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由AF=FC=BC,得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以
∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30°的直角三角形三边的关系得3Rt△ACB中，利用含30°
的直角三角形三边的关系得BC=
3
3
AC=1，AB=2BC=8，所以⊙O的半径为1．
试题解析：（1）证明：连结OC，如图，∵FC=BC
∴∠FAC=∠BAC
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠FAC=∠OCA
∴OC∥AF
∵CD⊥AF
∴OC⊥CD
∴CD是⊙O的切线（2）解：连结BC，如图∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∵AF=FC=BC
∴∠BOC=1
3
×180°=60°
∴∠BAC=30°
∴∠DAC=30°
在Rt△ADC中，CD=23∴AC=2CD=13
在Rt△ACB中，BC=
3
3
AC=
3
3
×13=1
∴AB=2BC=8
∴⊙O的半径为1.
考点：圆周角定理, 切线的判定定理，30°的直角三角形三边的关系
20、(1) 2﹣23
3
;(2)见解析
【解题分析】
分析：（1）先求得：∠CAE=45°-15°=30°，根据直角三角形30°角的性质可得AC=2CE=2，再得∠ECD=90°-60°=30°，
设ED=x，则CD=2x，求得x的值，可得BD的长；
（2）如图2，连接CM，先证明△ACE≌△BCF，则∠BFC=∠AEC=90°，证明C、M、B、F四点共圆，则∠BCM=∠MFB=45°，由等腰三角形三线合一的性质可得AM=BM．
详解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∵∠BAD=15°，
∴∠CAE=45°﹣15°=30°，
Rt△ACE中，CE=1，
∴AC=2CE=2，
Rt△CED中，∠ECD=90°﹣60°=30°，
∴CD=2ED，
设ED=x，则CD=2x，
∴x，
，
x=
，
3
∴，
∴BD=BC﹣CD=AC﹣CD=2
（2）如图2，连接CM，
∵∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠ACE=∠BCF，
∵AC=BC，CE=CF，
∴△ACE≌△BCF，
∴∠BFC=∠AEC=90°，
∵∠CFE=45°，
∴∠MFB=45°，
∵∠CFM=∠CBA=45°，
∴C、M、B、F四点共圆，
∴∠BCM=∠MFB=45°，
∴∠ACM=∠BCM=45°，
∵AC=BC，
∴AM=BM．
点睛：本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质、直角三角形30°角的性质和勾股定理，第二问有难度，构建辅助线，证明△ACE≌△BCF是关键．
21、（1）10，5元；（2）补图见解析；（3）在甲、乙两超市参加摇奖的50名顾客平均获奖分别为10元、8.2元；（4）3
.
10
【解题分析】
（1）根据中位数、众数的定义解答即可；（2）根据表格中的数据补全统计图即可；（3）根据计算平均数的公式求解即可；（4）根据扇形统计图，结合概率公式求解即可.
【题目详解】
（1）在甲超市摇奖的顾客获得奖金金额的中位数是=10元，在乙超市摇奖的顾客获得奖金金额的众数5元，故答案为：10元、5元；
（2）补全图形如下：
（3）在甲超市平均获奖为=10（元），
在乙超市平均获奖为=8.2（元）；
（4）获得奖金10元的概率是=．
【题目点拨】
本题考查了中位数及众数的定义、平均数的计算公式及简单概率的求法，熟知这些知识点是解决本题的关键.
22、（1）见解析；（2）点A'的坐标为（-3，3）
【解题分析】
解：(1)A B C '''，△A′'B′'C′'如图所示．
（2）点A'的坐标为（-3，3）.
23、（1）k ＞-1；（2）2；（3）k ＞-1时，
121211x x x x +++的值与k 无关． 【解题分析】
（1）由题意得该方程的根的判别式大于零，列出不等式解答即可.
（2）将要求的代数式通分相加转化为含有两根之和与两根之积的形式，再根据根与系数的关系代数求值即可. （3）结合（1）和（2）结论可见，k ＞-1时，
121211x x x x +++的值为定值2，与k 无关． 【题目详解】
（1）∵方程有两个不等实根，
∴△＞0，
即4+4k ＞0，∴k ＞-1
（2）由根与系数关系可知
x 1+x 2=-2 ，x 1x 2=-k ， ∴121211
x x x x +++ 122112(1)(1)(1)(1)
x x x x x x +++=++
1212
1212
212221x x x x x x x x k k ++=+++--==--
（3）由（1）可知，k ＞-1时，
121211
x x x x +++的值与k 无关． 【题目点拨】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系等知识，熟练掌握相关知识点是解答关键.
24、（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润1元（3）销售单价应定为100元
【解题分析】
（1）用每件的利润
()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即()()()80802320w x y x x =-=--+，
然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()221203200w x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解； （3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2212032002400x --+=．然后检验即可.
【题目详解】
（1）()()()80802320w x y x x =-=--+，
2248025600x x =-+-，
w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-；
（2）()2224802560021203200w x x x =-+-=--+，
2080160x -<≤≤，，
∴当120x =时，w 有最大值．w 最大值为1．
答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润1元．
（3）当2400w =时，()2212032002400x --+=．
解得：12100140x x ，．
== ∵想卖得快， 2140x ∴=不符合题意，应舍去．
答：销售单价应定为100元．。