安 徽 建 筑 工 业 学 院2008-2009-3高等数学A期末考试试卷(A)附答案

共 4 页 第 1 页
东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）
课程名称 高等数学A 期末
考试学期 08-09-3
得分
适用专业 选修高数A 的各专业 考试形式
闭卷
考试时间长度 150分钟
一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)
1. 曲面2cos()e 4xz x x y yz π-++=在点(0,1,2)处的法线方程是 ；
2. 设u =
(1,2,0)
u
=grad ；
3. 设幂级数
n
n n a x ∞
=∑的收敛半径是2，则幂级数0(1)1
n n
n a x n ∞
=++∑
的收敛区间是 ；
4. 设闭曲线:1C x y +=，取逆时针方向，则曲线积分
2
d d C
y x x y -⎰ 的值是 ；
5. 设函数(,)F x y 具有一阶连续偏导数，则曲线积分
(,)(d d )AB
F x y y x x y +⎰与路径无关的
充分必要条件是 ；
6. 将函数1,01
()2,1x f x x x π
-≤<⎧=⎨
≤<⎩在[0,]π上展开为余弦级数，其和函数()S x 在点
21x π=-处的函数值(21)S π-= ；
7. 设C 为圆周2z =，取逆时针方向，则积分
1
d (1i)(3)C z z z ---⎰ 的值是 ；
8. 留数2
1Res sin
,0z z ⎡
⎤
=⎢⎥⎣
⎦
； 9.取n a = ，可使得级数
2
n
n a
∞
=∑收敛，且级数
2
ln n
n a
n ∞
=∑发散.
二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)
共 4 页 第 2 页
10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x y ϕ=-，其中f 具有连续的二阶偏导数，ϕ具有
连续导数，计算2,z z x x y
∂∂∂∂∂.
11．（本小题满分7分）判别级数1e 1
n
n n
∞
=-∑的敛散性，并说明理由．
12．（本小题满分8分）判别级数1
1
(1)2ln n
n n n
∞
=--∑是否收敛，若收敛，判别是绝对收敛，
还是条件收敛？并说明理由.
共 4 页 第 3 页
13. （本小题满分8分） 将函数()1(1)f x x x =-≤展开为以2为周期的Fourier 级数.
三（14）．（本题满分7分）求幂级数21
n
n nx
∞
=∑的收敛域与和函数.
四（15）。

（本题满分7分）将函数21
()4
f z z =+在圆环域1i 3z <+<内展开为Laurent 级数.
共 4 页 第 4 页
五（16）. （本题满分7分）计算 ()e cos d 5e sin d x x C
I y x xy y y =
+-⎰
，其中C 为曲线
x =，方向沿y 增大的方向.
六（17）（本题满分7分）计算()()2
22d d d d ()d d S
I y
xz y z z y z x x z x y =+∧++∧+-∧⎰⎰，
其中S
为2z =-被0z =所截的部分，取上侧.
七（18）（本题满分6分）设0,0(1,2,)n n a b n >>= ，若存在常数0α>，使得
11(1,2,)n
n n n b a a n b α++-≥= ，则级数1
n n b ∞=∑收敛.。