《解一元一次方程(一)》典型例题

《解一元一次方程（一）》典型例题
例 1 用适当的数或整式填空，使变形后的方程的解不变，并说明利用了解一元一次方程的哪一步骤．
（1）若253=+x ，则____3=x
（2）若3
14=-x ，则____=x （3）若6113121=++x x x ，则6
11____=
例2 解下列方程：
（1）875=-x （2）5463+=+x x （3）2828-=-x x
（4）454436+=-
y y （5）x x +=-572
（6）31278+=+y y y
例3 已知五个连续整数中三个奇数的和比两个偶数的和多15，求这五个连续整数．
例 4 某种商品的市场需求量D （千件）和单价P （元/件）服从需求关系：031731=-+P D ． （1）单价为4元时，市场需求量是多少？
（2）若出售一件商品要在原单价4元的基础上加收税金1元，那么市场需求量又是多少？
（3）商品原单价4元的，若出售一件商品可得政府的政策性补贴3
1元，于是销售商将货价降低3
1元，那么市场需求量又是多少？ （4）若这种商品的进价是3元，则以上三种情况，销售商各获利多少元？
例5 甲、乙两站间的距离是360千米，一列慢车从甲站开出，平均每小时行驶48千米，一列快车从乙站开出，平均每小时行驶72千米．
（1）若两车同时开出，相向而行，多少小时两车相遇？
（2）若快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时后两车相遇？
例6 邮票不仅是邮资的一种体现方式，它还是一部小百科全书，融入了很多领域的知识，介绍了很多具有纪念意义的事件，具有收藏价值．小明很喜欢集邮，在他收集的邮票中有关植物的邮票共有181枚，其中花卉邮票的数量比树木邮票的数量的2倍少2枚，请你计算一下小明的花卉邮票和树木邮票各有多少枚？
例7游泳是同学们喜爱的一项体育运动．红日游泳馆的票价是每人次30元．现推出每月60元优惠卡政策，当月凭卡购买门票的价格是18元，你知道哪种购票方式比较划算吗？
参考答案
例1 分析：此题利用“移项”“合并同类项”“系数化为1”这三个步骤来完成．
解：（1）2－5（或－3），利用了移项这一步骤．
（2）)4(31-÷（或12
1-），利用了系数化为1这一步骤． （3）x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛++31211（或x 611），利用了合并同类项这一步骤． 说明：①严格按照解一元一次方程的步骤解答．
②熟练后，可按照括号内的数或整式填写．
例2 解：（1）移项，得785+=x
合并，得155=x
系数化为1，得3=x
（2）移项，得
6543-=-x x
合并，得
1-=-x
1=x
（3）移项，得
8282--=--x x
合并，得
1010-=-x
系数化为1，得
（4）移项，得4
34546+=
-y y 合并，得22=y
系数化为1，得1=y
（5）移项，得752+=-x x
合并，得122
=-x 系数化为1，得24-=x
（6）合并，得
33=y
系数化为1，得
1=y
说明：（1）“合并”的依据是分配律，即相同字母不变，将相同字母前的系数相加，这一过程中要注意字母系数的符号，在这个过程中要充分体会其作用；
（2）“移项”的依据是等式的性质1，体会应用等式性质1的过程，注意“移项”时要改变此项原来的符号．总之，解方程的过程就是将方程变形为a x =的过程，在解方程的过程中注意体会这种化归的数学思想．
例3 分析：一般常见的是设最大或最小的整数为x ，但此题设中间的整数为x ，简便多了．
解：设中间的整数为x ，则这五个连续整数从小到大为2,1,,1,2++--x x x x x ，其中2,,2+-x x x 为奇数，1,1+-x x 为偶数，则根据题意，得15)1()1()2()2(+++-=+++-x x x x x ，化简后1523+=x x ，移项得15=x ．
所以，这五个连续整数为13，14，15，16，17．
例4 分析：（1）、（2）、（3）中只要将单价代入，通过解一元一次方程即可，（4）利用利润＝销售总额－进货总额计算．
解：（1）当4=P 时，03
17431=-+D ，移项化简后 3
531=D ，系数化为1，得5=D （千件）． （2）当514=+=P 时，03
17531=-+D 移项化简后， 3
231=D ，系数化为1，得2=D （千件）． （3）当311314=-=P 时 031731131=-+D ，移项化简后，23
1=D ，系数化
为1，得6=D （千件）．
（4）在（1）中销售总额＝4×5 000＝20 000（元）
进货总额＝3×5 000＝15 000（元）
利润＝20 000－15 000＝5 000（元）
在（2）中销售总额＝4×2 000＝8 000（元）
进货总额＝3×2 000＝6 000（元）
利润＝8 000－6 000＝2 000（元）
在（3）中销售总额＝4×6 000＝24 000（元）．
进货总额＝3×6 000＝18 000（元）
利润＝24 000－18 000＝6 000（元）
所以，分别获利5 000元，2 000元，6 000元．
说明：①注意（2）（3）的销售价分别为5元，3
11元． ②计算（2）中获利时，将税金不能考虑在内．
③计算（3）中获利时，将政策性补贴考虑在内．
例5 解：（1）设两车行驶了x 小时相遇，那么慢车行驶了48x 千米，快车行驶了72x 千米，得
3607248=+x x
合并，得
360120=x
系数化为1，得
3=x
答：两车行驶3小时后相遇．
（2）设慢车行驶了x 小时相遇，那么慢车行驶了48x 千米，而快车先行驶了12
572⨯千米，又行驶了72x 千米，得 3607212
57248=+⨯+x x 移项，得
303607248-=+x x
330120=x
系数化为1，得
4
32=x 答：慢车行驶了2小时45分后两车相遇．
说明：在这个有关相遇的问题中所用到的相等关系是；慢车行程＋快车行程＝两站距离．准确的表示相关的量，统一单位后列方程，即构建方程解决实际问题．这是数学中的建模思想，在解题中注意体会．
例6 解：设树木邮票x 枚，那么花卉邮票)22(-x 枚，则
18122=-+x x
移项，得
21812+=+x x
合并，得
1833=x
系数化为1，得
61=x
所以
12022=-x
答：小明的花卉邮票有120枚，树木邮票有61枚．
说明：本题的解题过程中，用到的相等关系是：总量=各分量之和，所以要注意找准表示各分量的式子，建立正确的数学模型．
例7 解：设每月游泳x 次，则不购买优惠卡要花去30x 元，用优惠卡要花去)1860(x +元．如果两种购票方式花去的钱一样，则
x x 186030+=
移项，得
601830=-x x
60
x
12=
系数化为1，得
x
=
5
由上可知，如果一个月内能游泳5次的话，两种购票方式花费一样，如果多于5次的话，应购买优惠卡，如果少于5次的话，则不要购买优惠卡．说明：这个问题是生活中常见的有关决策性的问题，往往先找到两种方式中，花费相同的次数，即“表示同一个量的两个不同的式子相等”作为相等关系，列方程求解，然后根据这个标准进一步判断，确定购票方案．。