2020届高三数学全程复习08 第八编 立体几何(共77页)

第八编立体几何
§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图
1.
下列不正确的命题的序号是 .
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
④有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥
答案
①②③
2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是 .
答案60°
3.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是 cm2.
答案(20+42)
4.（2008·宁夏文，14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一
个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为 .
答案
3
4
5.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为 .
答案
16
6
a2
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基础自测
例1 下列结论不正确的是 （填序号）. ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 答案 ①②③
解析 ①错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定 是棱锥.
②错误.如下图，若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.
③错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长. ④正确.
例2 （14分）已知△ABC 的直观图A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求原三角形ABC 的面积. 解 建立如图所示的xOy 坐标系，△ABC 的顶点C 在y 轴上，AB 边在x 轴上，OC 为△ABC 的 高.
3分 把y 轴绕原点顺时针旋转45°得y ′轴，则点C 变为点C ′，且OC=2OC ′，A 、B 点即为A ′、 B ′点，AB=A ′B ′.
6分
已知A ′B ′=A ′C ′=a ，在△OA ′C ′中， 由正弦定理得
''sin C OA OC ∠=ο
45sin '
'C A ，
9分
所以OC ′=
a ο
ο45
sin 120sin =
a 2
6
, 所以原三角形ABC 的高OC=6a ， 12分 所以S △ABC =
21×a ×6a=a 2
62
.
14分
例3 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.
解 由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示：
且AA ′=BB ′=CC ′=4cm,正三角形ABC 和正三角形A ′B ′C ′的高为23cm. ∴正三角形ABC 的边长为 |AB|=
ο
60sin 32=4.
∴该三棱柱的表面积为 S=3×4×4+2×
2
1×42sin60°=48+83(cm 2
). 体积为V=S 底·|AA ′|=
2
1×42sin60°×4=163(cm 3
). 故这个三棱柱的表面积为（48+83）cm 2
,体积为163cm 3
.
例4 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示， 求图中三角形（正四面体的截面）的面积. 解 如图所示，△ABE 为题中的三角形， 由已知得AB=2，BE=2×2
3
=3, BF=
32BE=3
32,AF=22BF AB -=344-=38, ∴△ABE 的面积为 S=
21×BE ×AF=21×3×3
8=2. ∴所求的三角形的面积为2.
1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是 （填序号）.
①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 ③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 ④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 答案 ①③④
2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形,则原平面四边形的面积等于 . 答案 22a 2
3.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等 腰三角形，左视图（或称侧视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的侧面积S.
解 （1）由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD 是边长为6和8的矩形，高VO=4，O 点是AC 与BD 的交点. ∴该几何体的体积
V=
3
1
×8×6×4=64. （2）如图所示，侧面VAB 中，VE ⊥AB ，则 VE=22OE VO +=2234+=5 ∴S △VAB =
21×AB ×VE=2
1
×8×5=20 侧面VBC 中，VF ⊥BC ，
则VF=22OF VO +=2244+=42. ∴S △VBC =
21×BC ×VF=2
1
×6×42=122 ∴该几何体的侧面积 S=2（S △VAB +S △VBC ）=40+242.
4.（2007·全国Ⅱ文，15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2
. 答案 2+42
一、填空题
1.利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形，以上正确结论的序号是 . 答案 ①②
2.如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号是 .
①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱. 答案 ④③②
3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 .
答案 ②④
4.用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下：
根据三视图回答此立体模型的体积为 . 答案 5
5.棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O
截得的线段长为 . 答案 2
6.（2008·湖北理）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为 . 答案
3
28π
7.用小立方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体至少要 个小立方块.最多只能用 个小立方块.
答案 9 14
8.如图所示，E 、F 分别是正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的正投影可能是 .（把可能的图的序号都填上）
答案 ②③ 二、解答题
9.正四棱台AC 1的高是17 cm ，两底面的边长分别是4 cm 和16 cm ，求这个棱台的侧棱长和斜高.
解 如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O 1、O ，B 1C 1和BC 的中点分别是E 1和E ，连接O 1O 、E 1E 、O 1B 1、OB 、O 1E 1、OE ，则四边形OBB 1O 1和OEE 1O 1都是直角梯形. ∵A 1B 1=4 cm ，AB=16 cm ， ∴O 1E 1=2 cm ，OE=8 cm ， O 1B 1=22 cm ，OB=82 cm ， ∴B 1B 2
=O 1O 2
+（OB-O 1B 1)2
=361 cm 2
， E 1E 2
=O 1O 2
+（OE-O 1E 1)2
=325 cm 2
， ∴B 1B=19 cm ，E 1E=513cm.
答 这个棱台的侧棱长为19 cm ，斜高为513cm.
10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2
,母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径.
解 圆台的轴截面如图所示，设圆台上下底面半径分别为x cm,3x cm.延长AA 1交OO 1的延长线于S ，
在Rt △SOA 中，∠ASO=45°, 则∠SAO=45°， ∴SO=AO=3x ，∴OO 1=2x ， 又S 轴截面=
2
1
（6x+2x ）·2x=392，∴x=7. 故圆台的高OO 1=14 (cm)， 母线长l=2O 1O=142 (cm)， 两底面半径分别为7 cm,21 cm.
11.正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？ 解 如图所示，正棱锥S-ABCD 中高OS=3，侧棱SA=SB=SC=SD=7， 在Rt △SOA 中， OA=22OS SA =2， ∴AC=4.
∴AB=BC=CD=DA=22.
作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点. 连接SE ，则SE 即为斜高，则SO ⊥OE. 在Rt △SOE 中，∵OE=
2
1
BC=2，SO=3， ∴SE=5，即侧面上的斜高为5.
12. 如图所示的几何体中，四边形AA 1B 1B 是边长为3的正方形，CC 1=2，CC 1∥AA 1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面.
解 这个几何体不是棱柱；
在四边形ABB 1A 1中，在AA 1上取点E ，使AE=2；在BB 1上取F 使BF=2；连接C 1E ，EF ，C 1F ，则过C 1EF 的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC —EFC 1，其棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C 1—EA 1B 1F.
§8.2 空间几何体的表面积与体积
1.（2008·山东）如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,
可得该几何体的表面积是
.
答案 12
2.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1=4
1
A 1
B 1，则多面体P-BC
C 1B 1的体积为 .
基础自测
答案
3
16 3.如图所示，一个空间几何体的正视图、左视图是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为 .
答案 π
4.已知正方体外接球的体积为
3
32
π,那么正方体的棱长等于 . 答案
3
3
4 5.（2008·福建，15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 答案 9π
6.三棱锥S —ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S —ABC 的表面积是 . 答案 3+3
例1 如图所示，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=a ，BC=b ，BB 1=c ，并且a ＞b ＞c ＞0. 求沿着长方体的表面自A 到C 1 的最短线路的长. 解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.
三个图形甲、乙、丙中AC 1的长分别为： 22)(c b a ++=ab c b a 2222+++， 22)(c b a ++=bc c b a 2222+++， 22)(b c a ++=ac c b a 2222+++，
∵a ＞b ＞c ＞0,∴ab ＞ac ＞bc ＞0.
故最短线路的长为bc c b a 2222+++.
例2 如图所示,半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴,旋转一周得到一几何体, 求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积. 解 如图所示,过C 作CO 1⊥AB 于O 1,
在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R, ∴AC=3R,BC=R,CO 1=2
3R, ∴S 球=4πR 2
,
侧圆锥1AO S =π×2
3R ×3R=23πR 2
,
侧圆锥1BO S =π×
23R ×R=
2
3
πR 2, ∴S 几何体表=S 球+侧圆锥1AO S +侧圆锥1BO S =
211πR 2+23πR 2=2
311+πR 2, ∴旋转所得到的几何体的表面积为2
3
11+πR 2. 又V 球=
34πR 3,1AO V 圆锥=3
1
·AO 1·πCO 12=π41R 2·AO 1
1BO V 圆锥=
3
1BO 1·πCO 12=41BO 1·πR 2
∴V 几何体=V 球-（1AO V 圆锥+1BO V 圆锥） =
34πR 3-21πR 3=6
5
πR 3. 例3 如图所示，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C —A ′DD ′， 求棱锥C —A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比. 解 已知长方体可以看成直四棱柱ADD ′A ′—BCC ′B ′. 设它的底面ADD ′A ′面积为S ，高为h ，则它的体积为V=Sh. 而棱锥C —A ′DD ′的底面面积为2
1
S ，高是h, 因此，棱锥C —A ′DD ′的体积 V C —A ′DD ′=
31×21Sh=6
1
Sh. 余下的体积是Sh-
61Sh=6
5
Sh. 所以棱锥C —A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
例4 （14分）如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分
别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合，求形成的三棱锥的外接球的体积. 解 由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. ∴折叠后得到一个正四面体.
2分
方法一 作AF ⊥平面DEC ，垂足为F ，F 即为△DEC 的中心.
取EC 的中点G ，连接DG 、AG ， 过球心O 作OH ⊥平面AEC. 则垂足H 为△AEC 的中心.
4分
∴外接球半径可利用△OHA ∽△GFA 求得. ∵AG=
23，AF=2)33(1-=3
6
，
6分
在△AFG 和△AHO 中，根据三角形相似可知，
AH=33.∴OA=AF AH AG ⋅=36
33
23⋅
=46. 10分
∴外接球体积为
π34×OA 3=34·π·3
46
6=π86. 14分
方法二 如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体 的外接球就是正方体的外接球.
6分
∵正四面体的棱长为1， ∴正方体的棱长为
22，∴外接球直径2R=3·2
2
， 10分
∴R=46，∴体积为π34·3
46⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=π86. 12分
∴该三棱锥外接球的体积为π8
6
. 14分
1.如图所示，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC 1=
2. P 是BC 1上一动点，则CP+PA 1的最小值是 . 答案 52
2.如图所示，扇形的中心角为90°，其所在圆的半径为R ，弦AB 将扇形分成两个部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，所得旋转体的体积V 1和V 2之比为 . 答案 1∶1
3.如图所示，三棱锥A —BCD 一条侧棱AD=8 cm ，底面一边BC=18 cm ，其余四条棱的棱长都是17 cm ， 求三棱锥A —BCD 的体积. 解 取BC 中点M ，连接AM 、DM ， 取AD 的中点N ，连接MN ∵AC=AB=CD=BD ， ∴BC ⊥AM ，BC ⊥DM ， 又∵AM ∩DM=M ，
∴BC ⊥平面ADM ，BC=18， AC=AB=DB=DC=17.
∴AM=DM=413， ∴NM ⊥AD ，∴MN=83. ∴S △ADM =21·MN ·AD =21·83·8=323. ∴V A —BCD =V B —ADM +V C —ADM
=31×S △ADM ×（BM+CM ）=3
1×323×18 =1923（cm 3）.
4.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 中，底面边长为a,侧棱长为2a.
（1）求它的外接球的体积；
（2）求它的内切球的表面积.
解 （1）设外接球的半径为R ，球心为O ，则OA=OC=OS ，所以O 为△SAC 的外心，
即△SAC 的外接圆半径就是球的半径.
∵AB=BC=a ，∴AC=2a.
∵SA=SC=AC=2a ，∴△SAC 为正三角形.
由正弦定理得2R=a a ASC AC 3
6260sin 2sin ==∠ο， 因此，R=36a ，V 球=34πR 3=27
68πa 3. （2）设内切球半径为r ，作SE ⊥底面ABCD 于E ，
作SF ⊥BC 于F ，连接EF ，
则有SF=22BF SB -
=a a a 2
7)2()2(22=-. S △SBC =21BC ·SF=21a ×27a=4
7a 2. S 棱锥全=4S △SBC +S 底=（7+1）a 2.
又SE=22EF SF -=22)2()27(
a a -=a 26， ∴V 棱锥=31S 底h=31a 2×26a=36
6a . ∴r=a a a S V 12642)17(663323-=+⨯=棱锥全
棱锥
, S 球=4πr 2=
3
74-πa 2.
一、填空题
1. 如图所示，E 、F 分别是边长为1的正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，沿线AF ，AE ，EF 折起来，则所围成的三棱锥的体积为 .
答案 241 2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为214，则这个长方体的体积是 . 答案 48
3.已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC=2r ，则球的体积与三棱锥体积的比值是 .
答案 4π
4.（2007·辽宁文，15）若一个底面边长为
26，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 .
答案 4π3
5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 .
答案 24π
6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积
是 .
答案 4
3 7.（2008·四川理，15）已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为
33，则该正四棱柱的体积等于 .
答案 2
8.（2008·上海春招）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，
则该凸多面体的体积V= .
答案 1+
6
2 二、解答题
9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm,高是
23 cm, （1）求三棱台的斜高；
（2）求三棱台的侧面积和表面积.
解 （1）设O 1、O 分别为正三棱台ABC —A 1B 1C 1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，
则O 1O=23，过O 1作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ，则D 1D 为三棱台的斜高； 过D 1作D 1E ⊥AD 于E ，则D 1E=O 1O=
23， 因O 1D 1=63×3=23,OD=6
3×6=3, 则DE=OD-O 1D 1=3-
23=23. 在Rt △D 1DE 中,
D 1D=221ED
E D +=22)2
3()23(+=3. (2)设C 、C ′分别为上、下底的周长，h ′为斜高，
S 侧=21（C +C ′）h ′=21 (3×3+3×6)×3=2
327(cm 2), S 表=S 侧+S 上+S 下=2327+43×32+43×62=4
399 (cm 2). 故三棱台斜高为3 cm,侧面积为
2327 cm 2，表面积为4399 cm 2. 10.如图所示，正△ABC 的边长为4，D 、E 、F 分别为各边中点，M 、N 、P 分别为BE 、DE 、EF 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成了三棱锥以后.
（1）∠MNP 等于多少度？
（2）擦去线段EM 、EN 、EP 后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？
解 （1）由题意，折成了三棱锥以后，如图所示，
△MNP 为正三角形，故∠MNP=∠DAF=60°.
（2）擦去线段EM 、EN 、EP 后，所得几何体为棱台，
其侧面积为S 侧=S E —ADF 侧-S E —MNP 侧
=3×43×22-3×43×12=4
39. 11.如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，BB 1=2， E 是棱CC 1上的点，且CE=
41CC 1. （1）求三棱锥C —BED 的体积；
（2）求证：A 1C ⊥平面BDE.
（1）解 ∵CE=41CC 1=2
1，
∴V C —BDE =V E —BCD =31S △BCD ·CE =31×21×1×1×21=12
1. (2)证明 连接AC 、B 1C.
∵AB=BC ，∴BD ⊥AC.
∵A 1A ⊥底面ABCD,
∴BD ⊥A 1A.
∵A 1A ∩AC=A ，
∴BD ⊥平面A 1AC.
∴BD ⊥A 1C.
∵tan ∠BB 1C=B B BC 1=21, tan ∠CBE=CB CE =2
1,∴∠BB 1C=∠CBE. ∵∠BB 1C+∠BCB 1=90°,
∴∠CBE+∠BCB 1=90°,∴BE ⊥B 1C.
∵BE ⊥A 1B 1，A 1B 1∩B 1C=B 1，
∴BE ⊥平面A 1B 1C ，∴BE ⊥A 1C.
∵BD ∩BE=B ，BE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，
∴A 1C ⊥平面BDE.
12.三棱锥S —ABC 中，一条棱长为a,其余棱长均为1，求a 为何值时V S —ABC 最大，并求最大值.
解 方法一 如图所示，
设SC=a ，其余棱长均为1，
取AB 的中点H ，连接HS 、HC ，
则AB ⊥HC ，AB ⊥HS ，
∴AB ⊥平面SHC.
在面SHC 中，过S 作SO ⊥HC ，则SO ⊥平面ABC.
在△SAB 中，SA=AB=BS=1，
∴SH=2
3， 设∠SHO=θ，则SO=SHsin θ=
23sin θ， ∴V S —ABC =3
1S △ABC ·SO =
31×43×12×23sin θ =81sin θ≤8
1. 当且仅当sin θ=1，即θ=90°时，三棱锥的体积最大.
a=2SH=2×
23=26，V max =81. ∴a 为2
6时，三棱锥的体积最大为81.
方法二 取SC 的中点D ，可通过V S —ABC =31S △ABD ·SC ，转化为关于a 的目标函数的最大值问题，利用基本不等式或配方法解决.
§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一平面的两个平面互相平行；
③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1,l2互相平行；
④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是 .
答案 4
2.
对于平面α和直线l，α内至少有一条直线与直线l （用“垂直”，“平行”或“异面”填空）. 答案垂直
3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成部分.
答案7
4.（2007·广东理，12）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)= ;f(n)= .（答案用数字或n的解析式表示）
答案
2
)1
(+
n
n
8 n(n-2)
5.如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 .
答案60°
例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD=
3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.
基础自测
（1）求AH ∶HD ；
（2）求证：EH 、FG 、BD 三线共点.
(1)解 ∵EB AE =FB CF =2，∴EF ∥AC. ∴EF ∥平面ACD.而EF ⊂平面EFGH ，
且平面EFGH ∩平面ACD=GH ，
∴EF ∥GH.而EF ∥AC ，
∴AC ∥GH.
∴HD AH
=GD CG
=3,即AH ∶HD=3∶1.
（2）证明 ∵EF ∥GH,且AC EF =31，AC GH =41
，
∴EF ≠GH ，∴四边形EFGH 为梯形.
令EH ∩FG=P ，则P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD ，
P ∈FG ，FG ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD=BD ，
∴P ∈BD.∴EH 、FG 、BD 三线共点.
例2 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点.问：
（1）AM 和CN 是否是异面直线？说明理由；
（2）D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由.
解 （1）不是异面直线.理由如下：
∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点.
∴MN ∥A 1C 1，
又∵A 1A D 1D ，而D 1D C 1C ，∴A 1A C 1C ，∴四边形A 1ACC 1为平行四边形.
∴A 1C 1∥AC ，得到MN ∥AC ，
∴A 、M 、N 、C 在同一个平面内，
故AM 和CN 不是异面直线.
（2）是异面直线，证明如下：
假设D 1B 与CC 1在同一个平面D 1CC 1内，
则B ∈平面CC 1D 1，C ∈平面CC 1D 1.
∴BC ⊂平面CC 1D 1，
这与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中BC ⊥面CC 1D 1相矛盾.
∴假设不成立，故D 1B 与CC 1是异面直线.
例3 （16分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，
对角线AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为60°.
（1）求四棱锥的体积；
（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的余弦值.
解 （1）在四棱锥P —ABCD 中，
∵PO ⊥平面ABCD ，
∴∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角，
即∠PBO=60°， 2分
在Rt △POB 中，
∵BO=AB ·sin30°=1，
又PO ⊥OB ，∴PO=BO ·tan60°=3,
∵底面菱形的面积S=2×21×2×2×23=2
3. ∴四棱锥P —ABCD 的体积
V P —ABCD =31×23×3=2. 8分
（2）取AB 的中点F ，连接EF ，DF ，
∵E 为PB 中点，∴EF ∥PA ，
∴∠DEF 为异面直线DE 与PA 所成角（或其补角）.
10分 在Rt △AOB 中，
AO=AB ·cos30°=3=OP ，
∴在Rt △POA 中，PA=6，∴EF=26. 12分
在正三角形ABD 和正三角形PDB 中，DF=DE=3，
由余弦定理得
∴cos ∠DEF=EF DE DF EF DE ⋅-+22
22 14分
=2
632)3()26(
)3(222⨯⨯-+=2346=42. 所以异面直线DE 与PA 所成角的余弦值为
42. 16分
1.如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH 与FG 相交于点O.
求证：B 、D 、O 三点共线.
证明 ∵E ∈AB ，H ∈AD ，
∴E ∈平面ABD ，H ∈平面ABD.
∴EH ⊂平面ABD.
∵EH ∩FG=O ，∴O ∈平面ABD.
同理可证O ∈平面BCD ，
∴O ∈平面ABD ∩平面BCD ，即O ∈BD ，
所以B 、D 、O 三点共线.
2.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点，连接AE 并延长与BC 的延长线交于点F ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点G ，连接FG.
求证：直线FG ⊂平面ABCD 且直线FG ∥直线A 1B 1.
证明 由已知得E 是CD 的中点，在正方体中，
由于A ∈平面ABCD ，E ∈平面ABCD ，
所以AE ⊂平面ABCD.
又AE ∩BC=F ，从而F ∈平面ABCD.
同理G ∈平面ABCD ，
所以FG ⊂平面ABCD.
因为EC 21AB ，故在Rt △FBA 中，CF=BC ， 同理DG=AD.又在正方形ABCD 中，BC AD ，所以CF DG ，
所以四边形CFGD 是平行四边形，
所以FG ∥CD.又CD ∥AB ，AB ∥A 1B 1，
所以直线FG ∥直线A 1B 1. 3.如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，BC=2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA=1，且E 为DA 的中点.求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值.
解 取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，
∴EF ∥CD ，
∴∠BEF 即为异面直线BE 与CD 所成的角或其补角.
在Rt △EAB 中，AB=AC=1，
AE=21AD=21，∴BE=2
5， 在Rt △EAF 中，
AF=21AC=21，AE=21，∴EF=2
2， 在Rt △BAF 中，AB=1，AF=
21，∴BF=25， 在等腰三角形EBF 中，
cos ∠FEB=2
5
4221=BE EF =1010， ∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为10
10.
一、填空题
1.若直线a 与b 是异面直线，直线b 与c 是异面直线，则直线a 与c 的位置关系是 . 答案 平行、相交或异面
2.给出下列命题：
①若平面α内的直线a 与平面β内的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么直线c 至多与a 、b 中的一条相交；
②若直线a 与b 为异面直线，直线b 与c 平行，则直线a 与c 异面；
③一定存在平面α和异面直线a 、b 同时平行.
其中正确命题的序号是 .
答案 ③
3.已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a,则c 与b 的位置关系 .
①一定是异面直线
②一定是相交直线 ③不可能是平行直线
④不可能是相交直线
答案 ③ 4.若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则说法错误的有 （填序号）. ①过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行
②过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直
③过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交
④过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面
答案 ①③④
5.（2008·辽宁文）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1、EF 、CD 都相交的直线有 条.
答案 无数
6.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 . 答案 5
4 7.如图所示，在三棱锥C —ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4， EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是 .
答案 30°
8.已知a 、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面，则a 、b 在α上的射影可能是 ①两条平行直线；
②两条互相垂直的直线； ③同一条直线；
④一条直线及其外一点. 则在上面的结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 答案 ①②④
二、解答题
9.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点.
求证：（1）E ，C ，D 1，F 四点共面；
（2）CE ，D 1F ，DA 三线共点.
证明 （1）如图所示，连接CD 1，EF ，A 1B ，
∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点，
∴EF ∥A 1B 且EF=
21A 1B ， 又∵A 1D 1 BC,
∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，
∴EF 与CD 1确定一个平面α，
∴E ，F ，C ，D 1∈α，
即E ，C ，D 1，F 四点共面.
（2）由（1）知EF ∥CD 1，且EF=
21CD 1， ∴四边形CD 1FE 是梯形，
∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，
则P ∈CE ⊂平面ABCD ，
且P ∈D 1F ⊂平面A 1ADD 1，
∴P ∈平面ABCD 且P ∈平面A 1ADD 1.
又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1=AD ，
∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点.
10.定线段AB 所在的直线与定平面α相交，P 为直线AB 外的一点，且P 不在α内，若直线AP 、BP 与α分别交于C 、D 点，求证：不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点.
证明 设定线段AB 所在直线为l,与平面α交于O 点，即l ∩α=O.
由题意可知，AP ∩α=C ，BP ∩α=D ，∴C ∈α，D ∈α.
又∵AP ∩BP=P,
∴AP 、BP 可确定一平面β且C ∈β，D ∈β.∴CD=α∩β.
∵A ∈β，B ∈β,∴l ⊂β,∴O ∈β.∴O ∈α∩β，即O ∈CD.
∴不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点.
11.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为CC 1、AA 1的中点，画出平面BED 1F
与平面ABCD 的交线.
解 在平面AA 1D 1D 内，延长D 1F ，
∵D 1F 与DA 不平行，
因此D 1F 与DA 必相交于一点，设为P ，
则P ∈FD 1，P ∈DA.
又∵FD 1⊂平面BED 1F ，AD ⊂平面ABCD ，
∴P ∈平面BED 1F ，P ∈平面ABCD.
又B 为平面ABCD 与平面BED 1F 的公共点，连接PB ，
∴PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线.如图所示.
12.如图所示，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是线段AD 、BC 上的点，ED AE =FC BF =21，AB=CD=3，EF=7，求AB 、CD 所成角的大小.
解 如图所示，在线段BD 上取一点G ，使GD GB =2
1.连接GF 、GE 、EF. ED AE =GD BG =FC BF =21，GE ∥AB ，且GE=3
2AB=2， 同理，GF ∥CD ，且GF=3
1CD=1， 在△EGF 中，cos ∠EGF=1
2271222⨯⨯-+=-21, ∴∠EGF=120°.
由GF ∥CD,GE ∥AB 可知,AB 与CD 所成的角应是∠EGF 的补角为60°.
§8.4 直线、平面平行的判定及性质
基础自测
1.下列命题中，正确命题的个数是 .
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α;②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
答案 1
2.下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）.
①一个平面内的一条直线平行于另一个平面
②一个平面内的两条直线平行于另一个平面
③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
答案①②③
3.对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中假命题是（填序号）.
①若m⊥α，m⊥n，则n∥α
②若m∥α，n∥α，则m∥n
③若m⊂α，n∥α，则m∥n
④若m、n与α所成的角相等，则m∥n
答案 ①②④
4.已知直线a,b,平面α，则以下三个命题：
①若a ∥b,b ⊂α,则a ∥α;
②若a ∥b,a ∥α,则b ∥α;
③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b. 其中真命题的个数是 . 答案 0 5.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点.
求证：MN ∥平面AA 1C 1.
证明 设A 1C 1中点为F ，连接NF ，FC ，
∵N 为A 1B 1中点，
∴NF ∥B 1C 1，且NF=2
1B 1C 1， 又由棱柱性质知B 1C 1
BC ，
又M 是BC 的中点，
∴NF MC ， ∴四边形NFCM 为平行四边形.
∴MN ∥CF ，又CF ⊂平面AA 1C 1，
MN ⊄平面AA 1C 1，
∴MN ∥平面AA 1C 1.
例1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E=C 1F. 求证：EF ∥平面ABCD.
证明 方法一 分别过E ，F 作EM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，连接MN.
∵BB 1⊥平面ABCD ，
∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，
∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1，
∴EM ∥FN.
又∵B 1E=C 1F ，∴EM=FN ，
故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN.
又MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，
所以EF ∥平面ABCD.
方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ，
连接GF ，则B
B G B A B E B 1111=， ∵B 1E=
C 1F ，B 1A=C 1B ，
∴B
B G B B
C E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ， 又EG ∩FG=G ，AB ∩BC=B ，
∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ⊂平面EFG ，
∴EF ∥平面ABCD.
例2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心.
（1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ；
（2）求S △3
21G G G ∶S △ABC . （1）证明 如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ，
连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD=2∶3，
PG 2∶PE=2∶3，∴G 1G 2∥DE.
又G 1G 2不在平面ABC 内，
∴G 1G 2∥平面ABC.同理G 2G 3∥平面ABC.
又因为G 1G 2∩G 2G 3=G 2，
∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC.
（2）解 由（1）知PE PG PD PG 21==32，∴G 1G 2=32DE. 又DE=21AC ，∴G 1G 2=3
1AC. 同理G 2G 3=
31AB ，G 1G 3=31BC. ∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3，
∴S △321G G G ∶S △ABC =1∶9.
例3 （16分）如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β,点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB=CF ∶FD.
（1）求证：EF ∥β;
（2）若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC=4，BD=6，且AC ，BD 所成的角为60°，
求EF 的长.
（1）证明 ①当AB ，CD 在同一平面内时，
由α∥β，平面α∩平面ABDC=AC ，
平面β∩平面ABDC=BD ，∴AC ∥BD ，
2分
∵AE ∶EB=CF ∶FD ，∴EF ∥BD ，
又EF ⊄β,BD ⊂β,∴EF ∥β.
4分 ②当AB 与CD 异面时，
设平面ACD ∩β=DH ，且DH=AC.
∵α∥β，α∩平面ACDH=AC ，
∴AC ∥DH ，∴四边形ACDH 是平行四边形，
6分 在AH 上取一点G ，使AG ∶GH=CF ∶FD ，
又∵AE ∶EB=CF ∶FD ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH ，
又EG ∩GF=G ，∴平面EFG ∥平面β.
∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥β.综上，EF ∥β. 8分 （2）解 如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF.
∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，
∴ME ∥BD ，MF ∥AC ，
且ME=21BD=3，MF=2
1AC=2， ∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角），
∴∠EMF=60°或120°， 12分
∴在△EFM 中由余弦定理得， EF=EMF MF ME MF ME ∠••-+cos 222 =2
12322322⨯⨯⨯±+=613±， 即EF=7或EF=19.
16分
1.如图所示，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA=SB=SC ，SG 为△SAB 上的高，
D 、
E 、
F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断S
G 与平面DEF 的位置关系，并给予证明.
解 SG ∥平面DEF ，证明如下：
方法一 连接CG 交DE 于点H ，
如图所示.
∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ∥AB.
在△ACG 中，D 是AC 的中点，
且DH ∥AG.
∴H 为CG 的中点.
∴FH 是△SCG 的中位线，
∴FH ∥SG.
又SG ⊄平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，
∴SG ∥平面DEF.
方法二 ∵EF 为△SBC 的中位线，∴EF ∥SB.
∵EF ⊄平面SAB ，SB ⊂平面SAB ，
∴EF ∥平面SAB.
同理可证，DF ∥平面SAB ，EF ∩DF=F ，
∴平面SAB ∥平面DEF ，又SG ⊂平面SAB ，
∴SG ∥平面DEF.
2.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、
C 1
D 1、A 1A 的中点.求证：
（1）BF ∥HD 1；
（2）EG ∥平面BB 1D 1D ；
（3）平面BDF ∥平面B 1D 1H.
证明 （1）如图所示，取BB 1的中点M ，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1.
又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.
（2）取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ，
则OE
21DC ， 又D 1G 21DC ，∴OE D 1G ，
∴四边形OEGD 1是平行四边形，
∴GE ∥D 1O.
又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D.
（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1，BF 、BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1=D 1， DB ∩BF=B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H.
3.如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形.
（1）求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH.
（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH 周长的取值范围.
（1）证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG.
∵HG ⊂平面ABD ，∴EF ∥平面ABD.
∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC=AB ，
∴EF ∥AB.∴AB ∥平面EFGH.
同理可证，CD ∥平面EFGH.
(2)解 设EF=x （0＜x ＜4），由于四边形EFGH 为平行四边形，∴4x CB CF =. 则6FG =BC BF =BC CF BC -=1-4
x . 从而FG=6-x 2
3. ∴四边形EFGH 的周长l=2(x+6-
x 23)=12-x. 又0＜x ＜4,则有8＜l ＜12,
∴四边形EFGH 周长的取值范围是（8，12）.
一、填空题
1.下列命题，其中真命题的个数为 .
①直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；
②若直线a 在平面α外，则a ∥α;
③若直线a ∥b,直线b ⊂α,则a ∥α；
④若直线a ∥b,b ⊂α,那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线.
答案 1
2.写出平面α∥平面β的一个充分条件 （写出一个你认为正确的即可）.
答案 存在两条异面直线a,b,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α
3.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ;
②存在平面γ，使得α，β都平行于γ;
③存在直线l ⊂α,直线m ⊂β,使得l ∥m;
④存在异面直线l 、m ，使得l ∥α,l ∥β,m ∥α,m ∥β.
其中，可以判定α与β平行的条件有 （写出符合题意的序号）.。