广东省韶关市南雄中学2017_2018学年高一数学上学期第一学段考试试题(含解析)

南雄中学学年度高一第一学期第一学段考试
数学试卷
满分：分时间: 分钟
一、选择题：本大题共个小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
. 已知集合，则下列式子表示正确的有（）
①②③④
. 个 . 个 . 个 . 个
【答案】
【解析】因为，所以正确，正确，正确，
故选.
. 函数的定义域为（）
. . . .
【答案】
【解析】欲使函数有意义则，所以的定义域为，故选.
【点睛】
求函数的定义的常用方法步骤有：
、列出使函数有意义的自变量的不等式关系式.依据有：①分母不为；②偶次根式中被开方数不小于；③指数幂的底数不为零；
、求解即可得函数的定义域.
. 已知，，等于（）
. . . .
【答案】
【解析】解：
因为∞，故选.
. 已知全集，，则如图阴影部分表示的集合为（）
. .
. .
【答案】
【解析】根据题意，分析可得，图中阴影部分表示的为集合，的并集中的元素去掉，的交集中元素得到的集合，
又由全集{}{}{}，
则∩{}∪{}，
∴下列阴影部分表示集合为{}
故选.
. 已知，则（）
. . . .
【答案】
【解析】
根据分段函数解析式知，故选.
. 函数的图象是（）
. . . .
【答案】
【解析】由于函数()，故当时，函数()取得最小值。

结合所给的选项，只有满足条件，
故选.
. 已知函数的定义域为，则实数的值为（）
. . . .
【答案】
【解析】解：
由条件知：的两根是，，根据韦达定理，
ｍ．故选.
. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则的大小关系是（）
. ＞＞ . ＞＞
. ＜＜ . ＜＜
【答案】
【解析】试题分析：因为函数为偶函数，所以。

又因且函数在为增函数，所以．因此＞＞，故选
考点：利用函数的奇偶性及单调性比大小。

. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数
的大致图象可能是（）
. . . .
【答案】
【解析】−有两个不相等的实数根，
∴△−()>，
解得<，
>，>，即>，故不正确；
>，<，即<，故正确；
<，<，即>，故不正确；
<，，即，故不正确；
故选：.
点睛：（）二次函数有轴有两个交点等价于二次方程有两个根，等价于判别式恒大于；
（）直线与轴交点的纵坐标即为直线的纵截距；
（）直线单调递增时斜率，直线单调递减时斜率.
. 设是定义在上的偶函数，则的值域是（）
() () () ()与有关，不能确定
【答案】
【解析】试题分析：函数的定义域关于原点对称是函数成为奇偶函数的必要条件，所以，．
考点：函数的奇偶性．
. 在任意三角形中,若角，，的对边分别为，我们有如下一些定理：①；
②三角形的面积.在三角形中，角，，，则三角形的面积为（）. . . .
【答案】
【解析】由①得：，则，
由②得：，故选。

点睛：本题考查学生的数学应用能力，条件给出了解三角形的余弦定理和面积公式，高一阶段学生没有学过，但希望学生在给定的公式下能够学会自主应用公式来解题，是对学生能力要求考查的一个题型，难度较高。

学生需要自主探究公式的应用技巧，解得答案。

. 定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式解集是（）
. . . .
【答案】
【解析】因为，则在单调递减，由题可知，的草图如下：
则，则由图可知，解得，故选。

点睛：抽象函数的综合应用，学生要根据单调性和奇偶性画出函数的草图，再根据图象来解题。

本题中根据单调性的定义推论，表示在单调递减，
表示二、四象限的区域，得到答案。

二、填空题（每题分，满分分，将答案填在答题纸上）
. 已知函数，则．
【答案】
【解析】由题意，
. 若全集且，则集合的真子集共有个.
【答案】
【解析】真子集共有个，．
共个．
点睛:另外有结论，集合中有元素个数个，则该集合的子集个数为个，真子集为．
. 已知集合，且，则实数的取值范围是.
【答案】
【解析】试题分析：,,通过数轴分析得：. 考点：集合的交并补
【答案】
【解析】由⩾−⇒()⩾(−)⇒⩾，
故，
其图象如图，
则()().
故答案为：.
三、解答题（本大题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
. 已知函数的定义域为集合，的值域为．
（）若，求∩
（）若∪，求实数的取值范围．
【答案】（）∩{︳＜≤}；（）[，∞）.
【解析】试题分析：先求出集合，，（）根据要求解出；（）因为，通过数轴，得到，解得。

试题解析：
依题意：整理得，函数，
即，
（）当时，，
；
（），根据题意得：，解得：，
则实数的取值范围是．
. 已知函数，且．
()判断函数的奇偶性；
() 判断函数在(，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
()若，求实数的取值范围．
【答案】（）见解析；（）见解析；（）()∪(，＋∞).
【解析】本题考查函数的性质，考查学生的计算能力，证明函数的单调性按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行．
（）函数为奇函数．确定函数的定义域，利用奇函数的定义，即可得到结论；
（）按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行证明，作差后要因式分解．
（）根据函数单调性，得到不等式的解集。

解∵，且
∴，解得
()为奇函数，
证：∵，定义域为，关于原点对称…
又
所以为奇函数
（）在上的单调递增
证明：设，
则
∵
∴，
故，即，在上的单调递增
又，即，所以可知
又由的对称性可知时，同样成立∴
. 已知函数的定义域为集合，
（）求；（）若，求实数的取值范围.
【答案】（）；（）.
【解析】试题分析：（）先求出集合,化简集合,根据根据集合的运算求
（）若,则可以比较两个集合的端点,得出参数所满足的不等式解出参数的取值范围.
试题解析：
（）
.
()因为
所以
所以
. 已知函数是定义域为上的奇函数，且
（）求的解析式;
（）用定义证明：在上是增函数;
（）若实数满足，求实数的范围.
【答案】（）；（）见解析；（）.
【解析】试题分析：（）由函数是定义在上的奇函数，所以再据可求出的值．
（）利用增函数的定义可以证明在上是增函数；
（）利用函数是奇函数及在上是增函数，可求出实数的范围.
试题解析：（）函数是定义域为上的奇函数
∴
；
又
；
∴
()证明:设是上任意两个实数，且，
且
在上是单调递增的.
()
；
又由已知是上的奇函数
∴<
∴
综上得：
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，充分理解以上性质是解决问题的关键．利用已证结论解决问题是常用的方法，注意体会和使用．
. 据市场分析，南雄市精细化工园某公司生产一种化工产品，当月产量在吨至吨时，月生产总成本(万元)可以看成月产量(吨)的二次函数；当月产量为吨时，月总成本为万元；当月产量为吨时，月总成本最低为万元，为二次函数的顶点．写出月总成本(万元)关于月产量(吨)的函数关系．已知该产品销售价为每吨万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
【答案】（）＝ (－)＋(≤≤)；（）当月产量为吨时，可获最大利润万元.
【解析】试题分析：（）本题为二次函数模型，根据题意，解出函数解析式；（）根据题意，写出利润的解析式，再去求解最大值。

本题要注意定义域的要求。

试题解析：
()，将代入上式，解得，
所以．
()设最大利润为，
则，
因为，
所以月产量为吨时，可获最大利润万元．
答：当月产量为吨时，可获最大利润万元．
点睛：本题为函数的实际应用，考察二次函数模型，学生要学会理解题中的函数模型背景，能够正确表示对应的函数解析式。

如本题（）中设函数为，（）中设函数
，再进一步解题。

. 已知函数，对任意实数，.
（）在上是单调递减的，求实数的取值范围；（）若对任意恒成立，求正数的取值范围. 【答案】（）；（）.
试题解析：
（）由已知得:，
任取，则
＝
要使在上单调递减，须恒成立．
，，
恒成立，即恒成立，
又，
实数的取值范围是.
（）解法一：由，得
又，
又对任意恒成立
，
当时，函数取得最小值
又，
正数的取值范围是.
解法二：由，得
令，则
对任意恒成立
，即，解得.
正数的取值范围是.
点睛：函数经常会遇见恒成立的问题：
（）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;
（）若恒成立，可转化为.
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