单级倒立摆稳定控制

课程设计任务书
学生姓名： 王建华 专业班级： 自动化1005班 指导教师： 陈跃鹏 工作单位： 自动化学院
题 目: 单级移动倒立摆建模及串连超前校正 初始条件：
要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）
1、研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的
线性数学模型－传递函数（以u 为输入，θ为输出）；
2、要求系统输出动态性能满足,1%,3.4%s t s ≤≤σ试设计串连超前校正装置。

3、 用Matlab 对校正后的系统进行仿真分析，比较校正装置加在线性化前的
模型上和线性化后的模型上的时域相应有何区别，并说明原因。

时间安排：
任务 时间（天）
审题、查阅相关资料
2 分析、计算 2 编写程序 2 撰写报告 1 论文答辩
0.5
指导教师签名： 年 月 日
图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。

由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。

系主任（或责任教师）签名：年月日
目录
摘要 (1)
1.一级倒立摆数学模型建立 (2)
1.1一级倒立摆的组成 (2)
1.2应用牛顿力学建立系统数学模型 (2)
1.3数学模型的线性化 (4)
2.校正前系统动态性能分析 (4)
2.1待校正系统阶跃响应曲线 (4)
2.2待校正系统根轨迹分析 (5)
3.串联超前校正设计分析 (6)
3.1系统校正前性能指标要求分析 (6)
3.2校正环节设计分析 (7)
3.3校正后系统动态性能分析 (8)
3.4系统参数的修正 (9)
4.SIMULINK仿真设计 (10)
4.1MATLAB及SIMULINK (10)
4.2绘制系统仿真结构图并进行S IMULINK仿真 (11)
5.系统校正前后动态性能比较 (12)
5.1待校正系统的阶跃响应曲线、根轨迹图、B ODE图和N YQUIST图 (12)
5.2校正以后系统的阶跃响应曲线、根轨迹图、B ODE图和N YQUIST图 (13)
6.小结 (14)
7.心得体会 (15)
8.附录倒立摆在MATLAB中自带的倒立摆模型 (15)
参考文献 (17)
摘要
在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及在实际中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证，倒立摆就是这样一个对象。

倒立摆是一个多变量、快速、非线性、强耦合、不稳定的系统，通过对它引入一个适当的控制方法使之成为一个稳定系统，来验证控制方法对不稳定性、非线性和快速性系统的处理能力。

倒立摆模型和日常见到的任何重心在上，支点在下的控制问题都有很大的相似性，因此对它的稳定控制在实际中有很多应用，例如：海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆等都属于此类。

在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型，倒立摆的数学模型可以用分析力学中的牛顿力学方法来建立。

非线性模型难于研究，可将倒立摆模型线性化，分析其稳定性并设计合适的校正装置，本文使用的是基于极点配置法的串联超前校正装置。

然后需要利用MATLAB绘制校正后系统的单位阶跃响应曲线、根轨迹等验证系统稳定性并分析其动态性能是否达到指标要求。

最后，可以使用MATLAB中的Simulink来对实验模型进行仿真，再次验证校正装置的可靠性。

关键词：MATLAB；倒立摆；控制系统；串联超前校正
单级移动倒立摆建模及串连超前校正1.一级倒立摆数学模型建立
1.1一级倒立摆的组成
一级倒立摆主要以下4部分组成：
1.在有限长的轨道L上作直线运动的小车；
2.与小车铰链在一起，并能在包含L的平面内绕O点转动的摆；
3.驱动小车的传动机构；
4.使摆稳定在垂直向上的平衡位置的控制器。

一级倒立摆的结构参数
小车的质量：M=1kg；
摆的质量：m=0.1kg；
摆长：L=1m；
重力加速度取值：g=10m/
1.2应用牛顿力学建立系统数学模型
根据以上结构数据，假设小车系统受合外力为u，忽略轨道及铰链的摩擦力影响，采用先整体后隔离的方法分析系统受力情况。

整体系统的受力分析，如图1.1所示。

摆杆重心距离左边参考位置距离为，小车距离左边参考位置距离为
1)水平方向上整体受力平衡方程：
图1.1 倒立摆受力分析示意图
2) 摆杆的受力分析，如图1.2所示。

图1,2 摆杆转矩分析示意图
将摆杆作为隔离体，然后对其进行受力分析，摆的转动惯量为，铰链给摆杆转动方向的力矩为
角加速度为
则摆在运动中的力矩平衡方程为：
1.3 数学模型的线性化
以上两个方程均是关于θ的非线性微分方程，为了便于分析方便并得到解析解，需对方程组进行必要的线性化处理。

控制的目的是使摆稳定于竖直位置附近，小车稳定于轨道附近，在施加合适外力的作用下，因此假设 x 均近似为0是合理的。

在F=0的平衡
点X =0,θ=0附近线性化，令sin ≈θ，cos
θ≈1, 并忽略二次以上的项（
θ），得
到线性化后的微分方程组：
(m ⎧
对方程进行拉普拉斯变换得到：
⎧
根据任务书中所给条件可求得系统传递函数为：
()
s θ
2. 校正前系统动态性能分析
2.1 待校正系统阶跃响应曲线
校正前，系统的开环传递函数为：
通过使用MATLAB 可绘制出系统的单位阶跃响应曲线如图 2.1所示，求解过程的MATLAB 文本如下：
num=[-1];den=[0.68 0 -11]; %描述开环传递函数的分子、分母多项式 sys0=tf(num,den); %系统建模
sys=feedback(sys0,1); %加入单位负反馈，得到闭环传递函数
step(sys); %计算系统的单位阶跃响应
运行程序后，可得到系统的单位阶跃响应曲线。

图2.1 单位阶跃响应曲线
由上图可见该系统是不稳定的，需要进行校正。

2.2待校正系统根轨迹分析
同样适用MATLAB也可以绘制出待校正系统的Nyquist图，相应MATLAB文本如下：num=[-1];den=[0.68 0 -11]; %描述开环传递函数的分子、分母多项式
sys0=tf(num,den); %系统建模
> nyquist(sys0)；%计算系统Nyquist图
在MATLAB中运行文本后可得到待校正系统的Nyquist图如图2.1所示。

图2.2 待校正系统Nyquist图
从图中也可看出，该系统为非最小相位系统，在S的右半平面存在一个极点，因此系统不稳定。

3.串联超前校正设计分析
3.1系统校正前性能指标要求分析
对于一级倒立摆系统，主要设计如下2个性能指标要求：
超调量：；
调节时间：；
这里取误差范围为2%，则由公式可知：
将上述性能指标代入公式，得到一级倒立摆系统的2个性能指标满足
ζ≥
将得到的阻尼比与自然频率值代入下式：
1,s 得到倒立摆系统的两个主导极点为：
=s 系统校正前的开环特征方程为：
(
D
可得系统开环极点为：
1s =
系统有一个不稳定的极点
，可见系统是不稳定的，属于非最小相位系统。

3.2
校正环节设计分析
在经典控制理论中，已知系统的极点决定了系统的稳定性，根据稳定性分析可知，一
级倒立摆只有一个特征方程，根据经典控制理论，系统的性能由主导极点近似决定，根据这一理论来对单级移动倒立摆进行校正设计。

系统为非最小相位系统，且有一个不稳定的极点，可以考虑采用基于极点配置法的串联校正来改善系统性能以达到指标要求。

对于一级倒立摆可用距离虚轴最近的两个极点，即主导极点的性能来代替，并配置另外一个非主导极点S 3。

该极点应距主导极点4倍以上，不妨取
系统的期望特征方程为：
展开可得：
加入串联超前校正：
校正后系统闭环特征方程为：
通过系统期望方程系数与校正后系统系数对比可得方程组：
1⎧ 解得： =T 所以系统校正后开环传递函数为：
3.3 校正后系统动态性能分析 用MATLAB 绘制校正后系统的单位阶跃响应曲线，MATLAB 文本如下： num=29.8*[0.185 1];den=conv([0.68 0 -11],[0.033 1]); %系统校正后传递函数分子、分母多项式 sys0=tf(num,den); %系统建模 sys=feedback(sys0,1); %加入单位负反馈 step(sys); %计算系统的单位阶跃响应 得到系统单位阶跃响应曲线如图3.1所示：
图3.1 系统校正后单位阶跃响应曲线
校正系统后，系统超调量
σ=调节时间s t ，显然系统超调量过
大，需要重新选择阻尼比ζ，增大阻尼比可以减小超调量但是调节时间会增大，因此需要找出满足要求的临界范围。

3.4 系统参数的修正
对于一级倒立摆系统，在已知性能指标，采用过阻尼的控制时，系统响应缓慢，因此不希望采用过阻尼控制，另一方面，如果加快动态过程，采用欠阻尼控制，那么系统会出现多次震荡，对于一级倒立摆来说，可靠性会较低。

这种要求相应较快，出现震荡也较少的情况下，采用阻尼比较大的控制，即超调量应取较小值。

通过以上分析可知，阻尼比比需要增大一定值，通过试探法最终确定阻尼比可取值，则自然频率可取值
，再次重复3.2中校正环节设计， 重新得到系统校正后开环传递函数为：。

再次用MATLAB 绘制修正后系统的的单位阶跃响应曲线，相应MATLAB 文本如下：
num=25.32*[0.2167 1];den=conv([0.68 0 -11],[0.0306 1]); %系统传递函数分子、分母多项式
sys0=tf(num,den); %系统建模
sys1=feedback(sys0,1); %加入单位负反馈
step(sys1); %计算单位阶跃响应
输入文本后，可得到修正后的单位阶跃响应曲线如图3.2所示：
图3.2 修正参数后系统单位阶跃响应曲线
可以从图中看出，校正后系统超调量，调节时间，均能满足要求的性能指标，串联超前校正到此设计完成。

4.SIMULINK仿真设计
4.1MATLAB及SIMULINK
MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算机语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。

而Simulink是MATLAB最重要的组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。

在该环境下，无需大量书写程序，而只需通过简单直观的鼠标操作，就可构造出复杂的系统。

Simulink具有适应面广、结构和流程清晰及仿真精细、贴近实际等优点，并基于以上优点Simulink已被广泛应用于控制理论和数字信号处理的复杂仿真和设计。

同时有大量的第三方软件和硬件可应用于或被要求应用于Simulink。

4.2绘制系统仿真结构图并进行Simulink仿真
1.系统校正完毕后，可以利用simulink对系统进行仿真：
（1）在MATLAB命令窗口下选择—Model菜单项，打开“untitled”窗口。

（2）在MATLAB命令窗口下选择Start—Simulink—Library Browser菜单项，加载元件库。

（3）在Libraries中选择Simulink—Sources选项，选择Step模块,并拖拽至“Untitled”
模型窗口，在Sinks中选择Scope显示模块，在Continuous中选择Transfer Fcn模
块，在Math Operations中选择Gain模块，都分别拖至“untitled”窗口中。

（4）双击“Transfer Fcn”模块，在弹出的对话框中修改参数，分别输入系统的分子、分母系数，即可得到系统相应模型，双击“Gain”模块，修正参数。

（5）设置仿真参数，连线。

2.按照以上步骤可绘得系统仿真结构图如图4.1所示：
图4.1 线性化后系统仿真结构图
3.在“untitled”窗口下选择Simulation-Start菜单开始仿真，双击Scope得到仿真波
形：
图4.2 系统Simulink仿真波形
从仿真图中可以观察到，系统从响应开始到趋向稳定，仅用了不到1s的时间稳态值趋近于1.8
5.系统校正前后动态性能比较
使用MATLAB中LTI Viewer工具，来比较校正前后系统稳定性及动态性能，将Workspace中的闭环传递函数导入LTI Viewer中，在LTI Viewer窗口下选择想要显示的曲线图。

通过校正前后系统阶跃响应等曲线的对比分析可以很直观的发现校正前后系统稳定性及动态性能的差异。

5.1待校正系统的阶跃响应曲线、根轨迹图、Bode图和Nyquist图
导入待校正系统的传递函数后可得到系统各曲线图如下图5.1所示。

图5.1 待校正系统阶跃响应、根轨迹、Bode图、Nyquist图
5.2校正以后系统的阶跃响应曲线、根轨迹图、Bode图和Nyquist图
导入校正后系统闭环传递函数后系统各曲线图如下图5.2所示。

图5.2校正后系统阶跃响应、根轨迹、Bode图、Nyquist图
从图5.1—5.2对比可以看到，校正前系统不稳定，校正后一级倒立摆最后实现了稳定控制，摆杆最终稳态值接近，虽然有一定的误差，但这是实验所允许的。

校正后系统超调量小于4.3%，调节时间小于1s，说明采用基于极点配置法的串联校正装置是可行的。

6.小结
本次课程设计，先通过牛顿力学建立倒立摆的非线性数学模型，并提出线性化的数学方法，建立倒立摆的线性数学模型，然后利用拉普拉斯变换求出系统的开环传递函数。

验证系统的稳定性并提出合理的校正方案—基于极点配置法的串联超前校正，根据动态性能指标要求并利用MATLAB进行一级倒立摆的动态性能验证，结果表明本文采用的校正装置是可行的。

然后有利用MATLAB 中Simulink对系统进行仿真，发现结果相吻合，成功稳定了一级倒立摆。

在建立系统模型时，作了以下理想化考虑：假设摆是个均匀刚体；车与轨道间的摩擦力和摆与车绞接处的摩擦力忽略不计，建立的模型只是实际系统的线性近似，倒立摆系统的组成元件存在噪声干扰和非线性。

校正前，系统发散不稳定，加入串联超前校正装置后，系统稳定，超调量和调节时间减小，稳态误差减小，经过适当的参数整定，校正后的系统达到了题目要求的。

关于题目中提出的比较校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域相应有何区别，我不知道如何分析线性化以前的非线性模型，所以不知道怎样将校正装置加入非线性模型并分析时域上差别。

一方面是由于自控知识学习不全面，另一方面是对MATLAB在自控方面的应用还没完全学会，希望能得到老师的一些指导并在今后解决这一问题。

7.心得体会
大三可以说是整个大学的关键时期，而专业课的学习在大三更是显得尤为重要，作为自动化专业的学生，自动控制原理是一门极其重要的专业课，经过半年理论课的学习，我们已经基本掌握了理论上的解题的方法，但对于实际问题的解决能力还有待提升。

MATLAB在自动控制应用方面的应用非常广泛，掌握MATLAB在自动控制方面的技术对自动化学生来说极其重要。

相比于以前的笔算，MATLAB的诞生，使控制系统的分析和设计问题变得简单许多。

MTLAB在SIMULINK仿真方面的功能也非常强大，可以帮助模拟系统仿真，使得自动控制设计是否满足要求得到验证。

本次课程设计时间虽然不长，但对我们基本掌握MATLAB在自动控制方面的应用有很大帮助。

通过线性控制理论研究了倒立摆的稳定控制，加深了对现代控制理论的理解，根据设计的完成的超前校正装置，成功实现了倒立摆的稳定控制，使我深刻体会到了理论知识对实验的指导意义，也体会到了理论与实际的差异。

整个系统校正过程是对专业知识的理解贯通过程，也进一步掌握了数学工具MATLAB及仿真软件Simulink的运用。

对于课程设计所提出的性能指标要求，我们需要选用正确的校正装置完成系统校正并使其能够达到指标要求，然后应用SIMULINK仿真验证校正效果。

一级倒立摆输入为外力u，输出为摆与竖直方向的夹角θ，通过串联超前校正使其超调量稳定在4.3%以内，调节时间稳定在1s以内。

8.附录倒立摆在MATLAB中自带的倒立摆模型
在MATLAB命令窗口下输入命令“slcp”,会弹出倒立摆的模型窗口，如下图8.1所示，选择Simulation—Start菜单，系统开始仿真运行，跟实际倒立摆十分相似如图8.2所示，双击“scope“可以观察到倒立摆的运动关系曲线如图8.3所示。

-C-Target Position (Mouse-Driven)Target Position
Switch
Mux Mux
Mux
Controller
Variable Initialization
1
Constant Cart & Pole
Dynamics
animcp
Animation
图8.1MATLAB 自带倒立摆电路模型
图8.2 MATLAB 自带倒立摆动画模型
图8.3 倒立摆运动状态描述
参考文献
（1）胡寿松.自动控制原理（第五版）. 北京：科学出版社，2007
（2）王万良.自动控制原理. 北京：高等教育出版社，2008
（3）夏玮.MATLAB控制系统仿真与实例详解. 北京：人民邮电大学出版社，2008 （4）周晶,赵新芳.MATLAB数学建模与仿真.北京：国防工业出版社
（5）吴淑红.MATLAB与SIMULINK工程应用.北京：电子工业出版社，2002 （6）葛哲学.精通MATLAB.北京：电子工业出版社，2008
（7）朱齐丹，徐若冰.基于极点配置的倒立摆控制器设计. 哈尔滨工程大学，2007
指导教师签字：
年月日
18 / 21。