2019版高考数学理全国一轮复习课时分层作业 九 2-6幂函数与二次函数 含解析 精品

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课时分层作业九
幂函数与二次函数
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.函数y=的图象是( )
【解析】选B.由幂函数y=xα,若0<α<1,在第一象限内过(1,1),排除A,D,又其图象上凸,则排除C.
2.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为( )
A.m=2
B.m=-1
C.m=-1或m=2
D.m≠
【解题指南】首先利用幂函数的定义,确定m的范围,其次再依据幂函数的性质,在第一象限是减函数,确定指数小于零.
【解析】选A.依题意y=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数,故m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.
又因为函数在(0,+∞)上是减函数,
所以-5m-3<0,即m>-,
故m=-1舍去,所以m=2.
【巧思妙解】选A.(特殊值验证法),验证m=-1,2时,是否满足题意即可.当m=2时,函数化为y=x-13符合题意,而m=-1时,y=x2不符合题意,故排除B,C,D.
3.幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.因为y=(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点,所以m2-4m<0,即0<m<4.
又因为函数的图象关于y轴对称,且m∈Z,
所以m2-4m为偶数,因此m=2.
4.函数y=x2+ax+6在上是增函数,则a的取值范围为
( )
A.(-∞,-5]
B.(-∞,5]
C.[-5,+∞)
D.[5,+∞)
【解析】选C.因为y=x2+ax+6在上
是增函数,由题意得-≤,所以a≥-5.
【变式备选】已知函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞,6)内单调递减,则
a的取值范围是( )
A.a≥3
B.a≤3
C.a<-3
D.a≤-3
【解析】选D.函数f(x)是抛物线,对称轴是x=-2a,所以f(x)的减区间为
(-∞,-2a).
因为f(x)在(-∞,6)内单调递减,
所以-2a≥6,所以a≤-3.
5.幂函数y=f(x)的图象经过点(3,),则f(x)是( )
A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数
C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数
D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
【解析】选 D.设幂函数f(x)=xα,则f(3)=3α=,解得α=,则
f(x)==,是非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.
6.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是 ( )
【解析】选D.由A,C,D知,f(0)=c<0.
因为abc>0,所以ab<0,所以对称轴x=->0,知A,C错误,D符合要求.
由B知f(0)=c>0,所以ab>0,所以x=-<0,B错误.
【变式备选】对数函数y=log a x(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x 在同一坐标系内的图象可能是 ( )
【解析】选A.若0<a<1,则y=log a x单调递减,y=(a-1)x2-x开口向下,其图象的对称轴在y轴左侧,排除C,D;若a>1,则y=log a x单调递增,y=(a-1)x2-x开口向上,其图象的对称轴在y轴右侧,排除B.
7.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围
是 ( )
A.[0,4]
B.
C. D.
【解析】选 D.二次函数图象的对称轴为x=,且f=-,f(3)=f(0)=-4,如图所示:
由图得m∈.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2018·兰州模拟)已知函数f(x)=,且f(2x-1)<f(3x),则x的取值范围是________.
【解析】f(x)=在[0,+∞)上是增函数,
f(2x-1)<f(3x),则0≤2x-1<3x,所以x≥.
答案:x≥
9.(2018·宿州模拟)二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式为________.
【解析】依题意可设f(x)=a(x-2)2-1,又其图象过点(0,1),所以
4a-1=1,所以a=,
所以f(x)=(x-2)2-1.
答案:f(x)=(x-2)2-1
10.若f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]内有最大值-5,则a=________.
【解题指南】已知的二次函数对称轴随参数a的变化而变化,根据对称轴在已知区间的左侧、内部、右侧,利用函数的单调性和最值点分类求解.
【解析】对称轴x=.
当<0,即a<0时,f(x)在[0,1]上是减函数,
则f(x)max =f(0)=-4a-a2=-5,
解得a=1或a=-5,
而a<0,所以a=-5;
当>1,即a>2时,f(x)在[0,1]上是增函数,
则f(x)max =f(1)=-4-a2=-5,得a=1或a=-1,
而a>2,即a不存在;
当0≤≤1,即0≤a≤2时,则f(x)max =f=-4a=-5,a=,满足0≤a ≤2.综上所述a=-5或.
答案:-5或
1.(5分)(2018·黄冈模拟)已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如表,则不等式f(|x|)≤2的解集是 ( )
A.{x|-4≤x≤4}
B.{x|0≤x≤4}
C.{x|-≤x≤}
D.{x|0<x≤}
【解析】选A.由题意知=,
所以α=,所以f(x)=,
由|x≤2,得|x|≤4,故-4≤x≤4.
2.(5分)(2018·宝鸡模拟)设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则 ( )
A.f(m+1)≥0
B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0
D.f(m+1)<0
【解析】选C.因为f(x)的对称轴为x=-,
f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示.
由f(m)<0,得-1<m<0,所以m+1>0,
所以f(m+1)>f(0)>0.
3.(5分)(2018·湛江模拟)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,
则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m 的取值范围为________.
【解析】由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象如图所示,
结合图象可知,当x∈[2,3]时,
y=x2-5x+4∈,
故当m∈时,函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象有两个交点.
答案:
4.(12分)已知幂函数f(x)=(m∈N*).
(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性.
(2)若该函数f(x)的图象经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.
【解析】(1)因为m2+m=m(m+1)(m∈N*),而m与m+1中必有一个为偶数,所以m2+m为偶数,
所以函数f(x)=(m∈N*)的定义域为
[0,+∞),并且该函数在[0,+∞)上为增函数.
(2)因为函数f(x)的图象经过点(2,),
所以=,即=,
所以m2+m=2,解得m=1或m=-2.
又因为m∈N*,所以m=1,f(x)=.
又因为f(2-a)>f(a-1),
所以解得1≤a<,
故函数f(x)的图象经过点(2,)时,m=1.
满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围为.
5.(13分)若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】 (1)由f(0)=1,得c=1,所以f(x)=ax2+bx+1.
又f(x+1)-f(x)=2x,
所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
即2ax+a+b=2x.
所以所以
因此,所求解析式为f(x)=x2-x+1.
(2)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在区间[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在区间[-1,1]上的最小值大于0即可.
因为g(x)=x2-3x+1-m在区间[-1,1]上单调递减,
所以g(x)min =g(1)=-m-1,由-m-1>0,得m<-1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).
【变式备选】已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.
(1)求a,b的值.
(2)若b<1,g(x)=f(x)-mx在[2,4]上单调,求m的取值范围.
【解析】 (1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a.
当a>0时,f(x)在[2,3]上为增函数,
故⇒⇒
当a<0时,f(x)在[2,3]上为减函数,
故⇒⇒
(2)因为b<1,所以a=1,b=0,即f(x)=x2-2x+2.
g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2,
因为g(x)在[2,4]上单调,所以≤2或≥4.
所以m≤2或m≥6.
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