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高中数学学习材料
唐玲出品
第8课函数的图象和周期性
【自主学习】
第8课函数的图象和周期性
(本课时对应学生用书第页)
自主学习回归教材
1.(必修1P35练习4改编)设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，则在下面四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有.(填序号)
①②③④
(第1题)
【答案】②③
【解析】由函数的定义易知②③成立.
2.(必修1P31练习2改编)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)=.
(第2题)
【答案】1[-10]
1
-(02]2x x x x ∈∈+⎧⎪⎨⎪
⎩，，，，，
【解析】分段考虑，由于都是一次函数，所以从端点确定，分别过(-1，0)，(0，1)，(0，0)，(2，-1)，从而求出解析式.
3.(必修1P45习题9改编)已知函数f (x )是奇函数且周期为3，若f (1)=-1，则f (2 015)= . 【答案】1
【解析】由条件，f (2 015)=f (671×3+2)=f (2)=f (-1)=-f (1)=1.
4.(必修1P29练习6改编)方程|x-1|=1
x 的正实数根的个数是
.
(第4题)
【答案】1
【解析】在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=|x-1|和y=1
x 的图象如图所示，由图象可知两者只有1个交点，所以方程只有1个正根.
5.(必修1P87习题14改编)任取x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，若f
12
2
x x
+
⎛⎫
⎪
⎝⎭>
1
2[f(x
1
)+f(x2)]，
则称f(x)是(a，b)上的凸函数.在下列图象中，是凸函数图象的是.(填序号)
①②
③④
(第5题)
【答案】④
1.作函数图象有两种方法：
(1)描点法：①列表；②描点；③连点成线.
运用描点法作图前，必须对图象的特征(包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势等)做到心中有数，这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处.
(2)图象变换法：包括平移变换、伸缩变换、对称变换.
2.周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
3.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.
【要点导学】
要点导学 各个击破
作函数的图象
例1 分别画出下列函数的图象.
(1)y=2-1x x +；
(2)y=||
12x ⎛⎫ ⎪
⎝⎭；
(3)y=|log 2x-1|.
【思维引导】(1)形如f (x )=cx d
ax b ++的函数的图象是由反比例函数的图象经过平移变换得到的.
(2)要得到y=f (|x|)的图象，可将y=f (x )，x ≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出x<0时的图象.
(3)要得到y=|f (x )|的图象，可将y=f (x )的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变.
【解答】(1)因为y=1+3-1x ，先作出函数y=3
x 的图象，将其图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，即得到y=2
-1x x +的图象，如图(1)所示.
(2)作出y=
1
2
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭的图象，保留y=
1
2
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭图象中x≥0的部分，加上y=
1
2
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭的图象中
x>0部分关于y轴的对称部分，即得y=
||
1
2
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭的图象，如图(2)实线部分所示.
(3)先作出y=log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留x轴上方的
部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y=|log2x-1|的图象，如图(3)所示
.
图(1)
图(2)
图(3) (例1)
【精要点评】为了正确地作出函数的图象，必须做到以下两点：
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对
数函数、幂函数、形如y=x+1
x的函数；
(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程.
变式分别画出下列函数的图象.
(1)y=|lg x|；
(2)y=x2-2|x|-1.
【解答】(1)y=
lg1
-lg0 1.
x x
x x
≥
⎧
⎨
<<
⎩
，，
，图象如图(1)所示.
(2)y=
2
2
-2-10
2-10.
x x x
x x x
⎧≥
⎨
+<
⎩
，，
，
图象如图(2)所示
.
图(1)
图(2)
(变式)
【精要点评】画函数图象的一般方法：(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出.(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称等变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
利用函数图象解题
例2(2014·中华中学)已知函数y=
2
|-1|
-1
x
x的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个
交点，那么实数k的取值范围是.
【思维引导】根据绝对值的意义作出函数y=
2
|-1|
-1
x
x的图象，然后由于函数y=kx-
2的图象是过定点(0，2)的一条直线，结合交点个数，确定参数k的范围.
【答案】(0，1)∪(1，4)
(例2)
【解析】y=
2
|-1|
-1
x
x=
--1-11
1-11
x x
x x x
≤<
⎧
⎨
+<>
⎩
，，
，或，在同一平面直角坐标系内画出函数
y=kx-2与y=
2
|-1|
-1
x
x的图象如图所示，结合图象知，当0<k<1时，y=kx-2与y=
2
|-1|
-1
x
x在x
轴下方的图象有两个公共点；当k∈(1，4)时，y=kx-2与y=
2
|-1|
-1
x
x的图象在x轴的上、
下方各有一个公共点.
【精要点评】作函数图象的基本方法：列表、描点、连线，但更多的是通过已知的初等函数的图象经过平移、伸缩、对称变换得到.作图一般有两种方法：直接作图法、图象变换法.其中图象变换法，包括平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律.注意对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减.但要注意加、减指的是自变量，否则不成立.
变式(2014·湖北卷)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=1
2(|x-
a2|+|x-2a2|-3a2).若对任意的x∈R，f(x-1)≤f(x)，则实数a的取值范围为.
【答案】
66 -
66⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
【解析】因为当x≥0时，
f(x)=1
2(|x-a2|+|x-2a2|-3a2)，
所以当0≤x≤a2时，
f(x)=1
2(a2-x+2a2-x-3a2)=-x；
当a2<x<2a2时，
f(x)=1
2(x-a2+2a2-x-3a2)=-a2；
当x≥2a2时，
f (x )=1
2(x-a 2+x-2a 2-3a 2)=x-3a 2.
综上，f (x )=222222-0-2-32.
x x a a a x a x a x a ⎧≤≤⎪<<⎨⎪≥⎩，，，，，
因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如图所示，
(变式)
观察图象可知，要使对任意的x ∈R ，f (x-1)≤f (x )，
则需满足2a 2-(-4a 2)≤1，解得-66≤a ≤66.
函数的周期性
例3 (2014·泸州模拟)设f (x )是定义在(-∞，+∞)上的奇函数，且f (x+2)=-f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )=x.
(1)求f (π)的值；
(2)当-4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积.
【思维引导】(1)利用f (x+2)=-f (x )确定函数f (x )的周期为4，然后计算；(2)根据函数f (x )的奇偶性和周期性作出函数的图象.
【解答】(1)由f (x+2)=-f (x )， 得f (x+4)=f [(x+2)+2]=-f (x+2)=f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，
从而得f (π)=f (-1×4+π)=f (π-4)=-f (4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f (x )是奇函数与f (x+2)=-f (x )，得f [(x-1)+2]=-f (x-1)=f [-(x-1)]，即f (1+x )=f (1-x ).
所以函数y=f (x )的图象关于直线x=1对称. 又0≤x ≤1时，f (x )=x ，
且f (x )的图象关于原点成中心对称， 则f (x )的图象如图所示
.
(例3)
当-4≤x ≤4时，设f (x )的图象与x 轴围成的图形的面积为S ，则S=4S △OAB =4×
1212⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=4.
【精要点评】周期性常用的结论：对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若
f (x+a )=-f (x )，则T=2a ；(2)若f (x+a )=1()f x ，则T=2a ；(3)若f (x+a )=-1
()f x ，则T=2a.
变式 已知函数f (x )是(-∞，+∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x=1对称，当x ∈[0，1]时，f (x )=2x -1.
(1)求证：f (x )是周期函数；
(2)当x ∈[1，2]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2 017)的值.
【思维引导】(1)只需证明f (x+T )=f (x )，即可说明f (x )为周期函数；(2)由f (x )在[0，1]上的解析式及f (x )图象关于直线x=1对称求得f (x )在[1，2]上的解析式；(3)由周期性求和.
【解答】(1)因为f (x )为奇函数， 所以f (-x )=-f (x )，
函数f (x )的图象关于直线x=1对称，
则f(2+x)=f(-x)=-f(x)，
所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数.
(2)当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，
又f(x)的图象关于x=1对称，
则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x∈[1，2].
(3)因为f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，
f(3)=f(-1)=-f(1)=-1，
又f(x)是以4为周期的周期函数，
f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0，
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 017)=504[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(0)+f(1)=1.
1.(2015·平潮中学)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是.(填序号)
①②
③④
(第1题)
【答案】①
【解析】f(x)=ln(x2+1)，x∈R，当x=0时，f(0)=ln 1=0，即f(x)过点(0，0)，排除②④.又f(-x)=ln[(-x)2+1]=ln(x2+1)=f(x)，即f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除③，所以选①.
2.(2015·全国卷)已知函数f (x )=ax 3-2x 的图象过点(-1，4)，则实数a= . 【答案】-2
【解析】由f (x )=ax 3-2x 过点(-1，4)，知f (-1)=-a+2=4⇒a=-2.
3.已知f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，f (x )=lo
1
2
g (1-x )，则f
2015-4⎛⎫ ⎪
⎝⎭= .
【答案】lo
1
2
3g 4
【解析】f 2015-4⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 20154⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 74⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 14⎛⎫ ⎪
⎝⎭=lo 12
g 114⎛⎫- ⎪
⎝⎭=lo 123g 4.
4.(2014·天津卷)已知函数f (x )=|x 2+3x|，x ∈R .若方程f (x )-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为
.
(第4题)
【答案】(0，1)∪(9，+∞)
【解析】在同一坐标系内分别作出函数y=|x 2+3x|与y=a|x-1|的图象如图所示.
当y=a|x-1|与y=|x 2
+3x|的图象相切时，由2---30ax a x x a ⎧+=⎨
>⎩，
，
整理得x 2+(3-a )x+a=0，则Δ=(3-a )2-4a=a 2-10a+9=0，解得a=1或a=9.故根据图象知，当0<a<1或a>9时y=a|x-1|与y=f (x )的图象有4个交点.
5.(2014·泰州期末)设函数f(x)=(x-a)|x-a|+b(a，b都是实数)，则下列叙述中正确的是.(填序号)
①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数；
②存在实数a，b，函数y=f(x)在R上不是单调函数；
③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图形；
④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图形
.
(第5题)
【答案】①③
【解析】函数f(x)的图象是由g(x)=x|x|的图象向右平移a个单位长度，再向上平移b
个单位长度得到的，而g(x)=
2
2
-0
x x
x x
⎧≥
⎨
<
⎩
，，
，，
其图象如图所示，可知g(x)关于原点对称，
且在R上为增函数，所以f(x)关于点(a，b)对称，且在R上为增函数，故选①③.
趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第15~16页.
【检测与评估】
第8课函数的图象和周期性
一、 填空题
1.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x +2)=13，则f (x )的一个周期为 .
2.(2014·启东中学)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x )，那么f (6)的值为 .
3.(2015·烟台模块检测)若函数f (x )=01log 09c ax b x x x +≤⎧⎪
⎨⎛
⎫+> ⎪⎪⎝⎭⎩，，
， 的图象如图所示，则
a +
b +
c =
.
(第3题)
4.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R 都有f (x +4)=f (x )+2f (2)，且f (-1)=2，那么f (2 017)= .
5.(2014·浙江卷)已知函数f (x )=22
0-0.
x x x x x ⎧+<⎨≥⎩，，，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是 .
6.某同学从A 地跑步到B 地，随路程的增加速度减小.若以y 表示该同学离B 地的距离，x 表示出发后的时间，则下列图象中较符合该同学走法的是 .(填序号
)
①②③④
(第6题)
7.(2015·安徽卷)在平面直角坐标系x O y中，若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点，则实数a的值为.
8.(2015·北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是.
(第8题)
二、解答题
9.写出下列函数的作图过程，然后画出下列函数图象的草图.
(1)y=2-1 -1
x
x；
(2)y=(x+1)|x-2|；
(3)y=2|x+1|.
10.已知定理：“若a，b为常数，g(x)满足g(a+x)+g(a-x)=2b，则函数y=g(x)的图象关
于点(a，b)成中心对称”.已知函数f(x)=-1+1 -a x.
(1)求证：函数f(x)的图象关于点(a，-1)成中心对称；
(2)当x∈[a-2，a-1]时，求证：f(x)∈[1
2，0].
11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称.
(1)求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；
(2)若f(x)=x(0<x≤1)，求当x∈[-5，-4]时函数f(x)的解析式.
三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)
12.(2015·上海徐汇区高三诊断)已知函数f(x)=|x|·(a-x)，a∈R.
(1)当a=4时，画出函数f(x)的大致图象，并写出其单调增区间；
(2)若函数f(x)在x∈[0，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
(3)若不等式|x|·(a-x)≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围.
(第12题)
【检测与评估答案】
第8课函数的图象和周期性
1. 4 【解析】由f (x )·f (x+2)=13，得f (x+2)=13
()f x ，所以f (x+4)=f [(x+2)+2]=13
(2)f x +=f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数.
2.0 【解析】由题意得f (x+4)=-f (x+2)=f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (6)=f (2).由f (x+2)=-f (x )得f (2)=-f (0).因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)=0，所以f (6)=0.
3.133 【解析】由图象可求得直线的方程为y=2x+2.又函数y=log c 19x ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭的图象过点(0，2)，将其坐标代入可得c=13，所以a+b+c=2+2+13=13
3.
4. 2 【解析】在f (x+4)=f (x )+2f (2)中，令x=-2，得f (2)=f (-2)+2f (2)，即
f (2)=f (2)+2f (2)，故f (2)=0，所以f (x+4)=f (x )，即函数f (x )是以4为周期的周期函数.又2 017=4×504+1，因此f (2 017)=f (1)=f (-1)=2.
5.(-∞，2] 【解析】函数f (x )的图象如图所示，令t=f (a )，则f (t )≤2，由图象知t ≥-2，所以f (a )≥-2，则a ≤2
.
(第5题)
6.③ 【解析】由于y 表示该同学离B 地的距离，所以答案在①③中选，又随路程的增加速度减小，前一半的时间内所走的路程要大于总路程的一半，故选③.
7.-1
2【解析】在同一平面直角坐标系内，作出y=2a与y=|x-a|-1的大致图象如图所
示，由题意，可知2a=-1⇒a=-1
2
.
(第7题)
8.(-1，1]【解析】如图把函数y=log2x的图象向左平移一个单位长度得到
y=log2(x+1)的图象，当x=1时，两图象相交，由图象知不等式的解集为{x|-1<x≤1}
.
(第8题)
9. (1) y=2-1
-1
x
x=
2(-1)1
-1
x
x
+
=2+
1
-1
x.
先作出函数y=1
x的图象，再把函数y=
1
x的图象向右平移1个单位长度得到函数y=
1
-1
x的图象，最后把函数y=1
-1
x的图象向上平移2个单位长度得到函数y=2+
1
-1
x的图
象，如图(1)所示.
(2) y=(x+1)|x-2|=
2
2
-22
--2 2.
x x x
x x x
⎧++<
⎨
≥
⎩
，，
，
函数的图象如图(2)所示.
(3) 首先作出函数y=2x的图象，在y轴右边的保持不变，去掉y轴左边的图象，再把y 轴右边的图象对称地翻折到y轴左边，即得函数y=2|x|的图象，最后把函数y=2|x|的
图象向左平移1个单位长度，得到函数y=2|x+1|的图象，如图(3)所示
.
图(1)
图
(2)
图(3)
(第9题)
10.(1) 因为f(a+x)+f(a-x)=
1
-1
-()
a a x
⎡⎤
+
⎢⎥
+
⎣⎦+
1
1
-(-)
a a x
⎡⎤
-+
⎢⎥
⎣⎦=-2，所以函数f(x)的图象关于点(a，-1)成中心对称.
(2) 由f(x)=-1+
1
-a x=-1-
1
-x a，知f(x)在(-∞，a)和(a，+∞)上均为增函数，所以f(x)在[a-2，a-1]上单调递增，从而f(x)∈[f(a-2)，f(a-1)]，即f(x)∈
1
-0
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
.
11. (1) 由函数f(x)的图象关于直线x=1对称，
知f(x+1)=f(1-x)，
即有f(-x)=f(x+2).
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
故有f(-x)=-f(x)，故f(x+2)=-f(x)，
从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
即函数f(x)是以4为周期的周期函数.
(2) 由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)=0.
当x∈[-1，0)时，-x∈(0，1]，f(x)=-f(-x)=--x.
故当x ∈[-1，0]时，f (x )=--x . 当x ∈[-5，-4]时，x+4∈[-1，0]， f (x )=f (x+4)=---4x .
从而当x ∈[-5，-4]时，函数f (x )=---4x .
12.(1) 当a=4时，f (x )=22
-40-40x x x x x x ⎧+≥⎨<⎩，，，，
函数f (x )的大致图象如图所示. 由图象知单调增区间为[0，2]
.
(第12题)
(2)方法一：设0≤x 1<x 2≤2，
由f (x )在x ∈[0，2]上单调递减，知f (x 1)-f (x 2)>0对任意0≤x 1<x 2≤2都成立，即(x 1-x 2)[a-(x 1+x 2)]>0，所以a<x 1+x 2对任意的0≤x 1<x 2≤2都成立，所以a ≤0.
方法二：(数形结合方法)当x ∈[0，2]时，f (x )=x (a-x )=-x 2
+ax=-2
-2a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2
4a ，
若函数f (x )在x ∈[0，2]上是单调减函数，则2a
≤0，所以a ≤0. (3) 当x=0时，0≤6成立，所以a ∈R ；
当0<x ≤2时，a-x ≤6x ，即a ≤x+6x ，只要a ≤
min 6x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可. 设g (x )=x+6
x ，g (x )在(0，6]上单调递减，在[6，+∞)上单调递增， 当0<x ≤2时，g (x )min =g (2)=5，
所以a≤5.
综上，|x|(a-x)≤6对x∈[0，2]恒成立的实数a的取值范围是(-∞，5].。